丁多利

(安徽省淮南市第二十一中學(xué) 232082)

高中數(shù)學(xué)中的代換類型較多，包括參數(shù)與常量之間的代換、參數(shù)之間的代換、參數(shù)與公式之間的代換等.代換法之所以能夠進(jìn)行，關(guān)鍵在于兩者之間存在著數(shù)或邏輯上的相等關(guān)系.教學(xué)中為加深學(xué)生對(duì)代換法的深刻認(rèn)識(shí)，牢固的掌握最重要的解題方法，應(yīng)做好應(yīng)用代換法解題的教學(xué).

一、三角變換中代換法的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)涉及很多三角恒等變換公式，如cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ、sin2α=2sinαcosα、cos2α+cos2α=1等，這些公式是進(jìn)行代換的重要依據(jù)，因此，教學(xué)中應(yīng)對(duì)三角恒等變換公式進(jìn)行分類，要求學(xué)生采用對(duì)比法牢固的記憶，避免張冠李戴.同時(shí)，結(jié)合授課經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)選經(jīng)典的例題，與學(xué)生一起剖析解題過(guò)程，使學(xué)生能夠掌握代換法的切入點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)高效解題.

該習(xí)題屬于三角函數(shù)中較為常規(guī)的題目，難度并不大.教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析要求了解分式的特點(diǎn)，積極聯(lián)系所學(xué)知識(shí)進(jìn)行合理的代換.如要求解分式的分子為1,很容易聯(lián)想到cos2α+cos2α=1，通過(guò)代換后，則可轉(zhuǎn)化為齊次式便可求解.

正確選項(xiàng)為C.

教學(xué)中通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析該題目，使其認(rèn)識(shí)到在解答三角函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題時(shí)一定不要忘記使用cos2α+cos2α=1進(jìn)行代換.

二、常規(guī)函數(shù)中代換法的應(yīng)用

對(duì)常規(guī)函數(shù)而言奇、偶函數(shù)、周期函數(shù)等存在等量關(guān)系，如f(x)=-f(-x)、f(x)=f(x+T)(T為周期)等.為使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用常規(guī)函數(shù)中的等量關(guān)系進(jìn)行巧妙的代換，順利解答相關(guān)題目，應(yīng)結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)代表性的問(wèn)題，要求學(xué)生在課堂上思考解答，并做好解題經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，在以后的學(xué)習(xí)中遇到類似的問(wèn)題，能夠迅速的破題.

例2已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)與奇函數(shù)，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，則f(1)+g(1)=( ).

A.-3 B.-1 C.1 D.3

該題目難度并不大，解題的關(guān)鍵能夠通過(guò)代換構(gòu)建已知條件和要求解問(wèn)題的關(guān)聯(lián).因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，即，f(x)=f(-x)，g(x)=-g(-x)，顯然可使用f(-x)-g(-x)代換f(x)+g(x).則可推出f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)，又因?yàn)閒(x)-g(x)=x3+x2+1，則將x=-1代入f(-1)-g(-1)=-1+1+1=1，正確選項(xiàng)為C.

通過(guò)做該問(wèn)題的求解使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，為順利解答常規(guī)函數(shù)問(wèn)題應(yīng)注重常用等量關(guān)系的積累，并深刻理解，結(jié)合具體問(wèn)題進(jìn)行合理的變形與代換.

三、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中代換法的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，與其他知識(shí)聯(lián)系緊密.部分習(xí)題常與基本不等式知識(shí)結(jié)合起來(lái).解題時(shí)需要具體問(wèn)題具體分析，巧妙的借助等量關(guān)系進(jìn)行代換.教學(xué)中為提高學(xué)生運(yùn)用代換法解答導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的意識(shí)，在解題中少走彎路，應(yīng)注重為學(xué)生詳細(xì)的講解相關(guān)的例題，認(rèn)真板書(shū)解題步驟，使其掌握代換法解題的相關(guān)細(xì)節(jié).

該題目是導(dǎo)數(shù)與不等式的結(jié)合習(xí)題，解題時(shí)需要從已知條件中挖掘隱含條件，而后通過(guò)等量代換，運(yùn)用基本不等式公式進(jìn)行求解.

又因?yàn)閒′(1)=2a+b=2.

=5+4=9

當(dāng)且僅當(dāng)4a=b時(shí)，取“=”，因此，正確選項(xiàng)為B.

在課堂上為學(xué)生講解該例題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“1”這一特殊的代換媒介，任何一個(gè)數(shù)或公式均可以看作其與“1”的乘積，或者分母為“1”，而后尋找與“1”相關(guān)的等量關(guān)系進(jìn)行代換解題.

四、數(shù)列問(wèn)題中代換法的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中還有一種特殊的代換關(guān)系，即，參數(shù)與公式間的代換.該代換關(guān)系雖然不難理解，但具有一定的技巧性.很多學(xué)生常因不會(huì)應(yīng)用代換法而不能順利的解答出相關(guān)習(xí)題，因此教學(xué)中應(yīng)注重向?qū)W生展示相關(guān)的習(xí)題，并給予學(xué)生解題的引導(dǎo)，使其能夠及時(shí)找到代換的突破口.

例4在等比數(shù)列{an}中，a1=2，a8=4，函數(shù)f(x)=x·(x-a1)·(x-a2)……(x-a8)，則f′(0)=( ).

A.26B.29C.212D.215

該題目數(shù)列與函數(shù)的綜合題目，具有一定的技巧性，很多學(xué)生看到該題目后不知所措，事實(shí)上采用整體代換問(wèn)題便可迎刃而解.令g(x)=(x-a1)·(x-a2)……(x-a8)，則f(x)=x·g(x)，則由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得f′(x)=g(x)+xg′(x)，則f′(0)=g(0)=(a1·a8)4=212，正確選項(xiàng)為C.

通過(guò)該習(xí)題的解答，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真觀察給出的已知條件，構(gòu)建參數(shù)與公式之間的等量關(guān)系，注重運(yùn)用代換法進(jìn)行解答.

高中數(shù)學(xué)部分習(xí)題應(yīng)用代換法求解，可獲得事半功倍的效果，因此教學(xué)中應(yīng)做好這一重要方法的講解，尤其圍繞具體內(nèi)容，選擇不同類型的習(xí)題，為學(xué)生講解帶換法的具體應(yīng)用，使其通過(guò)學(xué)習(xí)總結(jié)代換法的應(yīng)用規(guī)律，充分把握其本質(zhì)，在解題中做到游刃有余.