孫 露 方輝平 胡建偉

(黃山學院 數學與統(tǒng)計學院，安徽 黃山 245041)

微積分作為高等數學中一個重要的分支，是高等院校理、工、管理類等專業(yè)的必修課程。其作為大學數學與中學數學的重要銜接部分，不僅是隨后專業(yè)知識學習的基礎，也是培養(yǎng)學生邏輯思維、數學素養(yǎng)的重要平臺。因而，對微積分教學的研究一直以來受到廣大一線教師和學者的關注，在CNKI數據庫中以“微積分教學”為主題的相關論文就有800余篇。如此豐富的研究成果給教師在微積分教學時提供了一定有益、可行的借鑒范本，但梳理發(fā)現，文獻中鮮有關于我國微積分教學這一主題的研究綜述，僅有一篇以美國學者Chappell圍繞微積分概念教學研究的述評[1]。鑒于此，本研究基于科學計量學視角，運用Citespace軟件對文獻中的關鍵詞進行分析，借助可視化手段對我國微積分教學研究的研究熱點、研究前沿及演進歷程與趨勢等進行梳理與揭示，以期為開展更深層次的研究提供一定的參考與啟示。

一、研究方法

(一)研究工具

本文借助美國學者陳超美所研發(fā)的CitespaceⅢ軟件進行計量分析。此工具“主要基于共引分析理論和尋徑網絡算法等，對特定領域文獻(集合)進行計量，以探尋出學科領域演化的關鍵路徑及知識轉折點，并通過一系列可視化圖譜的繪制來形成對學科演化潛在動力機制的分析和學科發(fā)展前沿的探測?！盵2]12

(二)研究樣本

選取CNKI為數據檢索平臺，以“微積分教學”為主題，以“期刊、碩士、博士”庫為搜索范圍，共檢索到1975年到2019年(截止到8月31日)相關文獻807篇。對其中有關數學名人簡介、書籍介紹及重復發(fā)表等不符合標準的文獻進行剔除后，最終得到有效樣本量728篇。參考Citespace Manual及中文手冊對以上文獻進行格式轉化并導入CitespaceⅢ軟件中，通過設置每2年為一個時間區(qū)間及每個時間片段出現頻次最高的20個節(jié)點數據，依次對其關鍵詞進行詞頻、中介中心性、突變檢測及聚類等分析。

二、結果分析

(一)我國微積分教學的研究熱點分析

1.共詞圖譜整體分析

圖1展示了CitespaceⅢ所繪制的1975—2018年我國微積分教學研究的共詞圖譜，“此網絡可以反映出某一領域當前研究熱點及過去產生過哪些熱點研究?！盵2]65縱觀整個圖譜可知，與此主題相關的關鍵詞有739個，關鍵詞之間的連線共有2 001條?？梢?，我國微積分教學研究所涉及的面非常廣，從時間跨度上囊括了高中、高職、大學三個不同的階段；從內容上不僅有對微分、積分、導數、極限、中值定理、復合函數、曲邊梯形、微元法等具體知識教學的探討，也有對案例教學、數學建模、數學文化等教學方法、教學策略、教學改革方面的研究。

圖1 1975—2018年我國“微積分教學研究”的共詞圖譜

2.關鍵詞詞頻分析

關鍵詞作為“表達文獻主題概念的自然語言”[3]。因而，“如果某一關鍵詞或主題詞在其所在的領域的文獻中反復出現，則可反映出該關鍵詞或主題詞所表征的研究主題是該領域的研究熱點。”[4]圖1中的節(jié)點代表了所分析的對象——關鍵詞，且其大小與其出現的頻次成正比例。可見，出現頻次TOP10的關鍵詞依次為微積分、微積分教學、導數、教學改革、極限、教學方法、定積分、積分、教學策略和課堂教學，各關鍵詞的頻次如表1所示。

表1數據顯示，前10個高頻關鍵詞出現頻次共計375次，占總頻次的29.1%。其中，“微積分”這一關鍵詞的頻次最高，達到了213次，占總頻次的16.6%，占前10個高頻詞頻次總計的56.8%，而“微積分教學”則排在第二，占前10位高頻詞頻次總計的10.7%。可見，“微積分”和“微積分教學”作為研究對象一直以來是研究者關注的焦點。剔除研究對象的其他8個關鍵詞雖然所占頻次比例不高，但反映出國內有關微積分教學的研究熱點主要聚焦于兩個方面，一是有關導數、極限、積分等重難點知識內容本身的教學，二是有關課堂教學方法的改革方面。

表1 我國微積分教學研究熱點詞匯一覽表

3.關鍵詞中介中心性分析

中介中心性作為衡量社會網絡中個體具有媒介能力的有效指標，應用于知識圖譜中即為度量圖中某一節(jié)點與其他節(jié)點間的聯通性程度。陳超美博士提出：“當中介中心性大于0.1時則表明其具有較強的影響力，是一個研究熱點轉向另一個研究熱點的重要拐點。”[5]可見，中心度這一指標不僅能夠探測某學科的研究熱點還能識別其未來的發(fā)展趨勢。表1數據表明，微積分、教學方法、導數、定積分、微積分教學、微積分課程、函數、教學改革、數學、數學方法是排在前10位的高中介中心性關鍵詞。其中排在第一的“微積分”中心性值為0.68，體現出其具有很強的影響力，雖然隨后的4位關鍵詞中心性值與之有一定的差距，但也均超過了0.1，表明其具有較強的紐帶作用。

進一步對表1中關鍵詞的頻次及中心性數據進行比對，可以發(fā)現：雖然兩組關鍵詞存在一定的差異，但重合部分呈現出高詞頻、高中心性的特征。因而，綜合以上詞頻與中心度兩個指標可以得到：微積分、微積分教學、導數、定積分、教學方法這5個關鍵詞不僅是四十多年來我國微積分教學研究的熱點詞匯，同時圍繞導數、定積分等重點內容的教學方法研究將仍然是未來一段時間的研究方向與趨勢。

(二)我國微積分教學的研究前沿探析

1.研究前沿知識基礎分析

聚類分析能夠通過譜聚類算法提取標簽詞對當前我國微積分教學研究領域進行歸類，用以表征一定知識基礎的研究前沿。在對關鍵詞共現分析的基礎之上進一步對其進行聚類分析，圖1左上角的模塊性值(Q=0.774 8)以及平均輪廓值(Mean silhouette=0.822 7)均滿足陳超美博士所提出的可視化效果評價標準[2]24，這也反映出本研究的聚類是高效的，其所劃分出來的結構是顯著的。

圖2 我國微積分教學研究的聚類分析圖譜

圖2直觀展示了我國微積分教學研究的聚類分析結果，共生成18個聚類，按照LLR法則從原文獻關鍵詞中提取聚類名稱，且以其排序最高的特征詞用以表示，各聚類的標簽詞依次為：微積分、極限、分科教學法、曲邊梯形、微積分課程、教學模式、復合函數、教學方法、數列極限、被積函數、定義、導數與微分、數學理論、AP微積分、學時、極限思想、成人高校、比較?？梢姡陨?8個方面是我國微積分教學研究所涉及的主要領域。從聚類的范圍來看，“#0微積分”的規(guī)模最大，共有124篇文獻構成，主要包含“微積分”“教學策略”“高中生”“導數”“學習困難”等關鍵詞，但從結構的輪廓值來看，其值(Mean silhouette=0.778)是18個聚類中最小的，這表明了對其的研究主要圍繞高中生學習的困難及微積分的教學策略等方面進行展開，同時也反映出每個聚類均具有較高的信度。從聚類生成的時間來看，微積分教學的研究最早從數學理論的分析開始，隨后到20世紀90年代對教學方法、教學模式的探討，逐步過渡到21世紀初對極限、積分等具體對象如何教學的探究，到2009年時形成了最新的聚類“#13 AP微積分”，這與《普通高中數學課程標準(實驗稿)》將極限、導數、定積分納入高中數學課程內容的時間相吻合的，且自2005年起部分研究者開展了對美國AP微積分課程的介紹及與我國課程比較的相關研究[6]。進一步結合時間線視圖可知，數學理論、教學方法等研究領域自21世紀以來關注度較低，AP微積分與微積分課程等領域近年來成果不斷豐富，微積分、積分、教學模式等領域則表現出持續(xù)較高的關注度。

2.研究前沿分析

Citation Burst(突變性探測)是Citespace所特有的功能，能夠通過對文獻中頻次變化率或是增長率高的突顯詞進行提取，由此確定出某學科的研究前沿。運用突變性探測技術對文獻中的關鍵詞爆發(fā)性進行探索，繪制出我國微積分教學研究突顯關鍵詞分布圖(圖3)。圖3數據表明，在所有關鍵詞中共有2個突顯詞——“高中生”和“導數”，其均始于2011年終于2015年?？梢?，在2011—2015年間，我國微積分教學研究主要圍繞著高中生微積分的學習及微積分的重點內容——導數。進一步的文獻梳理結果也驗證了這一結論，基于微積分知識納入高中數學課程這一背景在持續(xù)突變的4年期間有關高中生微積分知識理解、導數學習障礙或是困難等現狀調查及有關導數概念與應用的教學研究增長較快[7]。同時，圖3也反映出我國前期微積分教學研究所表現出的零散性、暫時性與不連貫性等特征，雖然相關文獻始于1975年，但就前沿演進這一視角而言其涌現的文獻穩(wěn)定性不足，缺乏不斷演進的共性特征。

圖3 我國微積分教學研究突顯關鍵詞分布圖

(三)我國微積分教學的研究演進剖析

為了能夠清晰地展示知識演進的過程，特繪制了關鍵詞的時區(qū)視圖(圖4)。結合關鍵詞所處二維坐標的時間橫軸信息，不僅能獲取文獻更新的相關信息，還能對研究的演變歷程進行刻畫。圖4表明，隨著時間的不斷推進，我國微積分教學研究所探討的對象群體、研究內容等均不斷擴大，就對象而言，由早期對成人微積分教學的探討逐步過渡到對大學生、高職學生及高中學生；就內容來看，由初期對數學理論的思考逐步擴大到對教學方法、教學模式的探究。

圖4 我國微積分教學研究時區(qū)視圖

基于時區(qū)視圖所展示的文獻增長情況，可以將我國微積分教學研究的研究歷程大致分為四個階段：

1.萌芽階段(1975—1990年)

此階段文獻相對較少，僅有9篇文獻，主要圍繞成人教育中一元微積分部分教學及微積分中數學的本質進行探究[8]。

2.發(fā)展階段(1991—2000年)

由圖4可知，自1990年以來文獻發(fā)表量有了一定的上升，且在前10位高頻關鍵詞中有“微積分教學”“教學改革”“極限”“教學方法”等均聚集在此時期。對于微積分教學的研究主要集中于一線教師對微積分教學改革的思考與經驗，如運用辯證法指導微積分教學，或是在教學時運用課堂討論、類比等方法[9]。

3.繁榮階段(2001—2008年)

此時期文獻的增長速度非?？?，如圖4所示，大量的高頻關鍵詞聚集在此階段，如“課堂教學”“教學模式”“課程改革”“高中生”“數學史”等?？梢?，由于新一輪課程改革的需要，在這一時期對于微積分教學的研究不再局限于成人及大學生，開始對高中階段的微積分教學進行探討，并及時將數學史、信息技術[10]等新理念、新理論融入到課堂教學改革的探索之中，尋求新的教學模式。

4.穩(wěn)定階段(2009年至今)

圖4表明，2009—2010年這一時間片段文獻量較少，也表明對于微積分教學研究進入了一個穩(wěn)定且理智的發(fā)展時期。在此階段，研究者仍然保持著對于諸如“案例教學”[11]等教學方法及策略這些傳統(tǒng)研究領域的探究，同時對于“留學生”“AP微積分課程”“MOOC”等新領域的探究也開始不斷涌現[12]。

三、研究結論

本文對從CNKI數據庫中所檢索到以微積分教學為主題的728篇文獻的關鍵詞進行可視化分析，得到有關我國微積分教學研究領域熱點、前沿與歷程的如下結論：

第一，通過繪制關鍵詞共現圖譜，并結合關鍵詞詞頻與中介中心性的分析，“微積分”“微積分教學”“導數”“定積分”“教學方法”是當前我國微積分教學的研究熱點詞匯，主要關注有關微積分重難點知識內容本身的教學及教學方法的改革兩個方面。

第二，基于聚類分析對我國微積分教學研究前沿的知識基礎進行剖析，共劃分為18個種類，分別是微積分、極限、分科教學法、曲邊梯形、微積分課程、教學模式、復合函數、教學方法、數列極限、被積函數、定義、導數與微分、數學理論、AP微積分、學時、極限思想、成人高校、比較。進一步的突變性探測分析可知，高中生是研究者近期關注的主要人群，同時有關導數教學研究的文獻于2009—2015年間大量涌現，文獻梳理表明這與高中數學課程改革的大背景是相一致的。

第三，對所繪制的關鍵詞時區(qū)視圖進行探析，我國微積分教學研究經歷了萌芽(1975—1990年)、發(fā)展(1991—2000年)、繁榮(2001—2008年)、穩(wěn)定(2009年至今)四個階段。隨著時間的推移，我國微積分教學研究的對象和內容均不斷擴大，在對大學微積分教學方法、教學模式探討的基礎上逐步向高中、高職階段擴展；同時，有關“AP微積分課程”“MOOC”等新領域的探究也開始不斷涌現。