彭家寅

內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江641199

量子糾纏是量子計(jì)算和量子信息理論的核心，它被用作執(zhí)行諸如量子安全直接通信[1-2]、量子密鑰分配[3]、量子對話[4]、量子簽名[5]、量子隱形傳態(tài)[6-7]、量子態(tài)分享[8]、量子信息集中[9-10]和遠(yuǎn)程態(tài)制備[11-12]等量子任務(wù)的物理資源。在這些量子任務(wù)中，糾纏的一個(gè)引人注目的應(yīng)用是由Bennett 等于1993 年提出的量子隱形傳態(tài)[13]，它允許以Einstein-Podolsky-Rosen對為量子信道來實(shí)現(xiàn)任意單量子態(tài)的隱形傳輸。除量子隱形傳態(tài)外，量子糾纏還允許人們將任意的酉算子從發(fā)送者Alice 傳送給遙遠(yuǎn)的接受者Bob，以操控某些量子態(tài)。稱這種量子算子的傳輸為量子算子的遠(yuǎn)程實(shí)現(xiàn)（有時(shí)也稱它為量子遠(yuǎn)程控制），它將在分布式量子計(jì)算、大規(guī)模量子模擬、量子程序或其他遠(yuǎn)程量子信息處理任務(wù)中發(fā)揮重要作用。Huelga等[14]提出的第一個(gè)量子遠(yuǎn)程控制方案，探索了在遙遠(yuǎn)的量子系統(tǒng)上傳輸任意酉算子的方法。即Alice可以對位于遠(yuǎn)處的Bob 所持有的量子態(tài)實(shí)施任意酉運(yùn)算U，這個(gè)任務(wù)通過雙向量子態(tài)隱形傳態(tài)來完成。隨后，一些量子遠(yuǎn)程控制的理論方案被提出[15-20]，并且用線性光學(xué)元件也證明了單光子的遠(yuǎn)程旋轉(zhuǎn)可以實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)[21]。值得指出的是，當(dāng)酉算子是完全未知的時(shí)候，才需要雙向隱形傳態(tài)來實(shí)現(xiàn)量子遠(yuǎn)程控制；而當(dāng)酉算子取自某些限制集時(shí)，則需要較少糾纏資源且無需雙向隱形傳態(tài)就能實(shí)現(xiàn)量子控制[15-16,19-21]。為了提高量子遠(yuǎn)程控制協(xié)議的安全性，Wang于2007年率先提出了一個(gè)關(guān)于部分未知酉算子的受控遠(yuǎn)程執(zhí)行方案[22]。此后，利用不同量子糾纏資源的酉算子的受控傳輸協(xié)議被報(bào)道[19,23-26]。

近年來，人們對一類特殊的部分糾纏態(tài)——最大slice（MS）態(tài)——進(jìn)行了研究[27]。2008年，Gao等[28]利用三量子MS態(tài)

的受控聯(lián)合遠(yuǎn)程態(tài)制備協(xié)議。

Zhou 等[31]討論了基于MS 態(tài)信道的受控遠(yuǎn)程實(shí)系數(shù)多量子態(tài)的制備。本文以三粒子MS態(tài)為信道，研究任意單量子酉算子的遠(yuǎn)程執(zhí)行問題。僅當(dāng)與控制者合作，一個(gè)任意單量子酉算子才能在接受者的量子系統(tǒng)上被遠(yuǎn)程地執(zhí)行。此外，還討論取自限制集的部分未知酉算子的受控遠(yuǎn)程執(zhí)行問題。

1 任意單量子酉算子的受控遠(yuǎn)程實(shí)現(xiàn)

其中，a和b是實(shí)數(shù)，且滿足歸一化條件a2+b2=1。該態(tài)中量子C與量子B、A之間的糾纏度由參數(shù)b確定。如果b=0，則：

其中，s,t=0,1，⊕表示模2 的加法。常用的Pauli 算子可寫成：

其中，k,l=0,1。

本章的量子任務(wù)是在監(jiān)控者Charlie 的控制下，發(fā)送者Alice 把一個(gè)任意未知單量子酉算子Uτ應(yīng)用到遙遠(yuǎn)的接受者Bob 的量子系統(tǒng)上。具體地，假設(shè)Bob有處于如下量子態(tài)的量子B′：

其中，j=1,2，量子A1和A2屬于發(fā)送者Alice，量子B1和B2屬于接受者Bob，而量子C1和C2屬于控制者Charlie。

為完成量子任務(wù)，本協(xié)議設(shè)計(jì)成如下連續(xù)6步來完成。

這表明通過上述6步后，單量子遠(yuǎn)程控制任務(wù)就完成了，并且成功的概率為100%。

2 部分未知單量子酉算子的受控遠(yuǎn)程實(shí)現(xiàn)

眾所周知，在量子信息處理中，所需的量子糾纏和經(jīng)典通信耗費(fèi)扮演著十分重要的角色。在量子遠(yuǎn)程控制中，如果被執(zhí)行的量子算子是部分未知酉算子，那么經(jīng)典通信和量子糾纏耗費(fèi)是可以減少的。本章考慮利用三量子MS態(tài)為信道，取自兩個(gè)限制集的部分未知酉算子的受控遠(yuǎn)程執(zhí)行問題。

文獻(xiàn)[15]給出了取自限制集的部分未知酉算子Ud(d=0,1)為：

其中，θ是任意實(shí)數(shù)。換言之，矩陣中非零元素的值是未知的，而矩陣的結(jié)構(gòu)——非零元素的位置——是已知的。

對于酉算子Ud的受控遠(yuǎn)程執(zhí)行，Alice、Bob 和Charlie 如第1 章那樣預(yù)先分享一個(gè)三量子MS 態(tài)（1），即量子A屬于發(fā)送者Alice，量子B屬于接受者Bob，而量子C屬于控制者Charlie。此外，Bob 有處于態(tài)（3）所示的量子B′。由量子A、B、C和B′構(gòu)成的初始系統(tǒng)總態(tài)為：

其中，k,l=0,1。然后，Alice 對量子A執(zhí)行如式（4）所示的部分未知酉算子Ud(d=0,1)，則式（6）所示態(tài)變成：

3 結(jié)論

本文研究了基于三量子最大slice態(tài)為量子信道的單量子態(tài)之遠(yuǎn)程控制問題，提出了酉算子的受控遠(yuǎn)程執(zhí)行的兩個(gè)協(xié)議。在第一個(gè)協(xié)議中，通過非最大糾纏量子信道以及所有參與者的合作，任意單量子酉算子能夠在遙遠(yuǎn)接受者的量子系統(tǒng)上被遠(yuǎn)程地執(zhí)行。當(dāng)發(fā)送者和控制者對各自量子施行適當(dāng)?shù)耐队皽y量時(shí)，該受控量子遠(yuǎn)程控制方案的成功概率達(dá)到1。在第二個(gè)協(xié)議中，利用非最大糾纏態(tài)作為量子信道，提出了確定性的部分未知單量子酉算子之受控遠(yuǎn)程執(zhí)行方案。結(jié)果表明，如果被遠(yuǎn)程執(zhí)行單量子酉算子取自于兩個(gè)限制集，那么量子糾纏和經(jīng)典通信耗費(fèi)都能減少。

在本文所提出的兩個(gè)方案中，盡管量子信道是非最大糾纏的，但單量子酉算子的受控遠(yuǎn)程執(zhí)行協(xié)議的成功概率仍然達(dá)到了1，它等于以最大糾纏態(tài)為信道的受控量子遠(yuǎn)程控制協(xié)議[32]的概率。不同于基于非最大糾纏信道的方案[33]，本文方案不需要引入輔助量子去改變信道為目標(biāo)信道。產(chǎn)生上述兩個(gè)結(jié)果的原因是作為量子信道的MS態(tài)：

去測量自己的量子C，則發(fā)送者和接受者的量子的態(tài)總是塌陷成兩個(gè)最大糾纏的Bell態(tài)

之一。當(dāng)控制者通過經(jīng)典信道公布自己的測量結(jié)果時(shí)，發(fā)送者和接受者就會知道他們分享的具體Bell態(tài)，并且用它就可以進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的量子遠(yuǎn)程控制。因此，這樣的方案不需引入輔助量子，且成功的概率和保真度都為1，而與量子信道的糾纏度無關(guān)。