張小蓉

高中數(shù)學(xué)解題過程中經(jīng)?？梢酝ㄟ^換元，將問題所呈現(xiàn)的復(fù)雜表象簡(jiǎn)單化，從而更利于發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).因此，“換元法”這種基本方法，值得引起我們的重視，基于它在三角函數(shù)的解題中重要作用與地位，筆者認(rèn)為應(yīng)該把它作為一種重要方法在這一知識(shí)模塊進(jìn)行專題訓(xùn)練.

關(guān)于函數(shù)在x屬于某個(gè)范圍的性質(zhì)

思路：換元法

令，函數(shù)在t屬于某個(gè)范圍（R或區(qū)間等）的性質(zhì)

此時(shí)，只需要研究函數(shù)，

即可解決函數(shù)的問題.但如果函數(shù)如果含有未知參數(shù)，那變量t的取值范圍經(jīng)常難以確定，使得研究難度大大增加.這個(gè)問題是三角函數(shù)的一個(gè)重難點(diǎn)，但我們只要抓住最基礎(chǔ)的問題，比如要研究的函數(shù)的定義域和圖象特征，即可使問題迎刃而解.

筆者根據(jù)變量t的取值范圍十分關(guān)鍵，分為以下幾個(gè)類型：

類型一、無需確定變量t的具體范圍，只需在一個(gè)或幾個(gè)周期內(nèi)研究

例1.【原創(chuàng)題 改編自2019年新課標(biāo)2文科08】若是函數(shù) 兩個(gè)最值點(diǎn)，則ω的最小值為?????????? （答案：2）

【思路探析】

令，則為函數(shù)的兩個(gè)最值點(diǎn)，

所以當(dāng)ω最小時(shí)，應(yīng)為函數(shù)的兩個(gè)相鄰最值點(diǎn).

【詳解示范】

解析：令，則為函數(shù)的兩個(gè)最值點(diǎn)，

所以當(dāng)，即時(shí)，ω取最小值2

【解后反思】

研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，可結(jié)合函數(shù)圖象.

類型二、可以確定變量t范圍中的一點(diǎn)

變式1.【原創(chuàng)題】已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)最值點(diǎn)，

則ω的取值范圍為

【思路探析】0

令，則. 因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)榭梢源_定t范圍中的一點(diǎn)，我們可以由此確定區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)最值點(diǎn).

【詳解示范】

解析：令，則. 因?yàn)椋?

（1）在區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)最值點(diǎn)為，

所以，無解.

（2）在區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)最值點(diǎn)為，

所以，解得.

（1）在區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)最值點(diǎn)為，

所以，無解.

綜上，

【解后反思】

恰有兩個(gè)最值點(diǎn)包含兩層意思：

（1）有兩個(gè)最值點(diǎn);

（2）只有兩個(gè)最值點(diǎn).

變式2.已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)最值點(diǎn)，

則ω 的取值范圍為

【思路探析】令，則，

區(qū)間的左端點(diǎn)是確定的，

則函數(shù)兩個(gè)最值點(diǎn)一定是，.

【詳解示范】

解析：令，則，

由已知在區(qū)間上有兩個(gè)最值點(diǎn)，

所以，所以.

【解后反思】

利用換元法研究含參三角函數(shù)的性質(zhì)，如果可以確定變量t范圍中的一點(diǎn)，我們就可以確定要在哪一個(gè)或哪幾個(gè)周期內(nèi)研究函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象，經(jīng)?？梢源蟠蟮睾?jiǎn)化問題.

類型三、變量t范圍無法確定

變式3.已知函數(shù)，在區(qū)間上

存在，，使得，則ω的范圍為

【思路探析】

函數(shù)的最大值為1，最小值為-1.

所以要使， 要是函數(shù)的最值點(diǎn).

另一方面，令，則.

所以將在區(qū)間上至少存在兩個(gè)最值點(diǎn)，

所以將的所有最值點(diǎn)求出與區(qū)間端點(diǎn)作比較.

【詳解示范】

解析：函數(shù)的最大值為1，最小值為-1.

，所以是函數(shù)的最值點(diǎn).

令，則.

所以將在區(qū)間上至少存在兩個(gè)最值點(diǎn)，

即在區(qū)間上存在相鄰的最值點(diǎn)，

即存在整數(shù)k，使得，

即，且

時(shí)，;時(shí)，.

綜上，

【解后反思】

這類型的含參三角函數(shù)性質(zhì)問題通常難度較大，計(jì)算過程較為繁瑣，但利用換元法，轉(zhuǎn)化為研究的問題，可以使解決問題的思路變得直接明了.

換元法也可以研究形如的函數(shù)的其他性質(zhì)，思路與上述研究最值點(diǎn)一致.

變式4.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為

【詳解示范】

解析：令，則.

所以函數(shù)在區(qū)間，上遞增，

即，即，且

時(shí)，;時(shí)，.

綜上，

【解后反思】

研究形如函數(shù)的各種性質(zhì)，思路是相通的.

變式5.已知函數(shù)，

若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為，

且，則=

【詳解示范】

解析：令，因?yàn)椋裕?/p>

求函數(shù)的零點(diǎn)，等價(jià)于求方程的根.

由可得，方程的根依次為，

且，

所以，

【課堂小結(jié)】

形如函數(shù)的性質(zhì)

1.換元;

2.求出變量的范圍;

3.結(jié)合函數(shù)的圖象解決問題.

【選題說明】

本專題針對(duì)經(jīng)過一輪復(fù)習(xí)，對(duì)三角函數(shù)的基本性質(zhì)和方法已經(jīng)有一定了解的同學(xué)，目標(biāo)是使學(xué)生通過訓(xùn)練，能夠熟練掌握研究函數(shù)的性質(zhì)的方法，并做到在考試中不失分，優(yōu)生做到快速準(zhǔn)確. 并且通過本專題的訓(xùn)練，讓學(xué)生體會(huì)到基礎(chǔ)解法的重要性，感受到數(shù)學(xué)邏輯的流暢優(yōu)美.

研究函數(shù)的性質(zhì)是高考常見的考點(diǎn)（如2018年新課標(biāo)2文科10等等），而且當(dāng)函數(shù)含參時(shí)，題目的難度大大增加了，很多同學(xué)在處理這類難題時(shí)無從下手. 本專題在研究這類問題時(shí)，只用了基礎(chǔ)的換元法，在解題過程中注意變量的范圍和基本初等函數(shù)的圖象，并沒有華麗復(fù)雜的技巧，卻一樣能使問題得到很好的解決，所以我們?cè)趶?fù)習(xí)的時(shí)候更應(yīng)著重于基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)方法的教學(xué)，以不變應(yīng)萬變.

注：本文系2020年度福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目立項(xiàng)課題《大數(shù)據(jù)環(huán)境下促進(jìn)高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)策略研究》（項(xiàng)目編號(hào)JSZJ20085）研究成果

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