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        帶有強(qiáng)阻尼時滯項的m-Laplacian型波方程解的爆破

        2021-03-09 10:17:48高云龍林榮瑞佘連兵李愛靜
        關(guān)鍵詞:粘彈性時滯方程組

        高云龍, 林榮瑞, 佘連兵, 李愛靜

        (六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 六盤水 553004)

        含有m-Laplacian項的擬線性波方程源于非線性Voigt模型,描述的是粘彈性材料桿的縱向振動,特別是可描述受外力作用的Ludwick 材料的振動[1-2]. 近年來, 學(xué)者們對帶有p-Laplacian項的偏微分方程解的性態(tài)作了深入研究,如:PEI等[3]研究了p-Laplacian 型波方程utt-Δpu-Δut=f(u),其中 2

        基于文獻(xiàn)[3,6-8]的研究,本文考慮可描述彈性桿縱波振動的帶有強(qiáng)阻尼時滯項的粘彈性方程:

        (1)

        其中,u(x,t)表示振動的位移,g*Δu表示粘彈性弱阻尼,-Δut表示彈性體的內(nèi)部阻尼,Ω是n(n≥1)上帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,g(·):+→+是正函數(shù),m、μ1、μ2、p為常數(shù),

        Δmu=div(|u|m-2u),(g*Δu)(t)=g(t-s)Δu(s)ds.

        本文主要利用凹性方法,證明當(dāng)初始能量0

        1 預(yù)備知識

        (A1)g:+→+是非增可微函數(shù),滿足:1-g(s)ds=l0>0,g′(t)≤0,t≥0.

        類似文獻(xiàn)[6],引進(jìn)新變量

        z(x,ρ,t)=ut(x,t-ρ)((x,ρ,t)Ω×(0,1)×(0,+)),

        則有

        從而方程組(1)等價于:

        (2)

        定義方程組(2)的修正能量函數(shù)為

        (3)

        其中

        下面給出方程組(1)的弱解定義.

        定義1任給定初始值 (u0,u1)稱=(u,ut)為方程組(1)的弱解,若滿足:(0)=(u0,u1),且對任意w有

        (utt,w)+(|u|m-2u,w)+(u,w)-

        μ2(ut(t-),w)=(|u|p-2u,w).

        類似文獻(xiàn)[5]、[6]、[10]的證明,可直接得到方程組(2)的局部解的存在唯一性:

        定理1假設(shè)(A1)、(A2)成立,若初始值滿足 (u0,u1,f0),0)),則方程組(2)存在唯一局部解,且存在足夠小的T>0,有

        u

        utC([0,T);H1(Ω))∩L2([0,T)×Ω),

        zC([0,T);H1(Ω×(0,1))).

        引理1設(shè)u是方程組(2)的解,則存在正常數(shù)C1>0,使得

        E′(t)≤-C1(‖ut‖2+‖z(x,1,t)‖2)<0.

        證明用ut乘以方程組(2)中的第1個方程,并在Ω上積分,得

        (4)

        (5)

        由Young不等式[13],可得

        (6)

        由式(4)~(6),可得

        (7)

        2 解的爆破

        下面考慮方程組(2)的初始能量為正值和負(fù)值時解的爆破情況. 首先,引入3個正常數(shù):

        引理2若假設(shè)(A1)、(A2)成立,且滿足

        (8)

        則存在正常數(shù)ζ2>ζ1,使得

        (9)

        (10)

        證明由式(3)和假設(shè)(A1)、(A2),可得

        (11)

        (12)

        當(dāng)ζ(0,ζ1) 時,f′(ζ)>0,所以f(ζ)在 (0,ζ1)上嚴(yán)格單調(diào)遞增;當(dāng)ζ(ζ1,+)時,f′(ζ)<0,所以f(ζ)在(ζ1,+)上嚴(yán)格單調(diào)遞減. 又由于E(0)

        再一次利用式(11),可得

        (13)

        因此,式(10)成立.

        定理2在引理2的假設(shè)下,進(jìn)一步假設(shè)(A3)成立,則方程組(2)的解存在有限時間爆破.

        證明設(shè)函數(shù)

        (14)

        其中,ε>0 為足夠小的正實數(shù),且

        (15)

        G1(t)∶=E2-E(t),E2(E(0),E1).

        (16)

        下面將證明存在C>0,使L1(t)滿足微分不等式

        首先,由式(3)、(16)和引理1,得

        0

        由引理2,有

        因此

        (17)

        對L1(t)關(guān)于時間t求導(dǎo),有

        (18)

        由Young不等式,有

        (19)

        (20)

        取0

        ε|μ2|δ2‖z(x,1,t)‖2-εp(1-a)E2.

        (21)

        下面對式(21)中一些項進(jìn)行估計. 令δ2=MG1-α(t)(M>0),由引理1可得

        -ε|μ2|δ2‖z(x,1,t)‖2=

        -εM|μ2|G1-α(t)‖z(x,1,t)‖2≥

        (22)

        (23)

        (24)

        由假設(shè)(A3)和p>m,可得

        因此,令a>0 充分小,取適當(dāng)?shù)腅2(E(0),E1),并結(jié)合引理2可得

        (25)

        將式(22)~(25)代入式(21),可得

        (26)

        (t≥0).

        (27)

        另一方面,由式(14)可得

        (28)

        利用式(15)、(17),結(jié)合Young不等式、Poincaré不等式[13],得

        (29)

        再由式(15)、(17),有

        (30)

        可得

        (31)

        最后,綜合式(27)、(31)可知:存在C>0,使得

        (32)

        對式(32)在(0,t)上積分,有

        定理3若假設(shè)(A1)~(A3)成立,且初始能量E(0)<0時,則方程組(2)的解同樣存在有限時間爆破.

        證明設(shè)函數(shù)

        (33)

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