馬躍如，文 錚，易 丹

(中南大學(xué) 商學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083)

目前，我國(guó)人口的老齡化程度處于加速加深的過程。截至2018年底，全國(guó)65歲以上人口達(dá)1.7億，預(yù)計(jì)到2020年，我國(guó)老年人將有2.48億，老齡化水平達(dá)到17.17%，2025年甚至成為超老年型國(guó)家[1]。針對(duì)老齡化的嚴(yán)峻形勢(shì)，我國(guó)出臺(tái)多項(xiàng)關(guān)于老齡事業(yè)發(fā)展以及養(yǎng)老服務(wù)發(fā)展的政策文件，主張建設(shè)“以居家為基礎(chǔ)、社區(qū)為依托、機(jī)構(gòu)為支撐、醫(yī)養(yǎng)相結(jié)合”的養(yǎng)老服務(wù)體系，9073養(yǎng)老服務(wù)格局初具雛形，居家養(yǎng)老服務(wù)模式成為我國(guó)應(yīng)對(duì)人口老齡化危機(jī)的重點(diǎn)發(fā)展模式。但從整體來看，有效供給不足、質(zhì)量效益偏低、服務(wù)資源配置不均衡且失位錯(cuò)位等突出問題制約著整個(gè)居家養(yǎng)老服務(wù)業(yè)的高質(zhì)量發(fā)展[2]，居家養(yǎng)老服務(wù)的供需矛盾依然是我國(guó)養(yǎng)老服務(wù)體系建設(shè)中存在的主要問題。從實(shí)際運(yùn)營(yíng)層面來看，居家養(yǎng)老護(hù)理員為老年人提供即時(shí)型服務(wù)，護(hù)理員資源的優(yōu)化配置是保障老年人享受高質(zhì)量服務(wù)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。因此，為了積極應(yīng)對(duì)老齡化，充分利用服務(wù)資源，并提高老年人居家養(yǎng)老滿意度，合理調(diào)度居家養(yǎng)老護(hù)理員并優(yōu)化其對(duì)老年人的服務(wù)次序具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

由于西方部分國(guó)家較早進(jìn)入老齡化社會(huì)，其養(yǎng)老服務(wù)體系發(fā)展相對(duì)成熟，其中關(guān)于家庭護(hù)理調(diào)度的研究受到眾多學(xué)者的關(guān)注。此類研究被看作是車輛路徑[3]和多旅行商[4]問題，它們被分為單周期[5]和多周期[6]規(guī)劃問題，大多考慮時(shí)間窗[3,5,7-8]、技能要求[4-5,7]、工作時(shí)間[6,9-10]、同時(shí)服務(wù)[6-7,11]等因素，并利用近似方法[12]、啟發(fā)式算法[3]等進(jìn)行求解。而我國(guó)居家養(yǎng)老服務(wù)盡管呈現(xiàn)良好發(fā)展態(tài)勢(shì)，但在居家養(yǎng)老護(hù)理調(diào)度方面的研究稍顯薄弱，僅有小部分學(xué)者引入時(shí)間窗、同時(shí)服務(wù)等約束，并利用分支定價(jià)、領(lǐng)域搜索等算法進(jìn)行了研究。如袁彪等[13-14]引入隨機(jī)服務(wù)時(shí)間以及最遲開始服務(wù)時(shí)間約束和多類型護(hù)理人員約束，設(shè)計(jì)列生成算法和分支定價(jià)算法進(jìn)行求解；陶楊懿等[15]設(shè)計(jì)鄰域搜索算法以求解具有同時(shí)服務(wù)需求的護(hù)理員調(diào)度問題。卓藝赫等[16]針對(duì)客戶周期性服務(wù)需求提出一種改進(jìn)禁忌算法。楊欣潼等[17]基于改善蟻群算法實(shí)現(xiàn)護(hù)理員的預(yù)約調(diào)度。然而，上述研究要么僅考慮居家養(yǎng)老服務(wù)中心運(yùn)營(yíng)成本最小化，要么僅考慮護(hù)理員的時(shí)間成本最小化，忽視了老年人對(duì)提升養(yǎng)老服務(wù)質(zhì)量的訴求[18]。以往研究表明，考慮消費(fèi)者滿意度有利于提升服務(wù)的質(zhì)量或企業(yè)的績(jī)效[19]，而且有學(xué)者采用消費(fèi)者滿意度來主觀評(píng)價(jià)服務(wù)質(zhì)量[20]，因此在考慮居家養(yǎng)老服務(wù)中心運(yùn)營(yíng)成本的同時(shí)考慮老年人的服務(wù)滿意度，可能更有利于提升居家養(yǎng)老服務(wù)中心的整體服務(wù)質(zhì)量。另外，服務(wù)滿意度通常是基于人的非完全理性而作出的行為判斷[21]，作為涉及心理學(xué)和行為科學(xué)的前景理論恰好能較好地描述行為主體的非完全理性特征[22]。寧濤等[23]針對(duì)物流配送過程中出現(xiàn)的動(dòng)態(tài)擾動(dòng)問題，提出基于前景理論的多目標(biāo)優(yōu)化求解方法。楊琴等[24]結(jié)合前景理論研究汽修車間瓶頸設(shè)備的調(diào)度，并有效提升系統(tǒng)效率和客戶滿意度。上述研究為本文考慮老年人評(píng)價(jià)服務(wù)滿意度時(shí)的決策心理提供了較好的思路。

基于此，本文綜合考慮老人的服務(wù)滿意度和居家養(yǎng)老服務(wù)中心的運(yùn)營(yíng)成本兩個(gè)要素，構(gòu)建基于前景理論價(jià)值函數(shù)的滿意度函數(shù)，引入時(shí)間窗、服務(wù)技能要求等約束，建立多目標(biāo)養(yǎng)老護(hù)理員路徑優(yōu)化模型，使用改進(jìn)的適用于多目標(biāo)處理的Pareto遺傳算法對(duì)其進(jìn)行求解，使模型更貼合實(shí)際，計(jì)算結(jié)果也更加精確。通過算例對(duì)模型和算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，以期為居家養(yǎng)老服務(wù)中心進(jìn)行護(hù)理員調(diào)度決策提供參考。

1 模型構(gòu)建

1.1 問題描述

本文提出的居家養(yǎng)老護(hù)理員多目標(biāo)調(diào)度問題屬于帶時(shí)間窗的車輛路徑和多旅行商問題。但傳統(tǒng)的車輛路徑優(yōu)化問題往往僅考慮距離和成本因素，而居家養(yǎng)老服務(wù)所針對(duì)的對(duì)象群體為老年人，服務(wù)中心不純粹以盈利性為目標(biāo)，同時(shí)注重人本性、時(shí)代性以及社會(huì)性。因此，一方面需要考慮居家養(yǎng)老服務(wù)中心的運(yùn)營(yíng)成本，另一方面更要保證服務(wù)質(zhì)量以提升老年人對(duì)居家養(yǎng)老服務(wù)的滿意度。具體上門護(hù)理過程可描述為：在一定的社區(qū)范圍內(nèi)，居家養(yǎng)老服務(wù)中心擁有多名不同技能的護(hù)理員，護(hù)理員從服務(wù)中心出發(fā)，按順序依次訪問老年人住所并進(jìn)行上門護(hù)理，完成服務(wù)后返回服務(wù)中心，以滿足老年人的服務(wù)需求，使老年人滿意度最大化，服務(wù)中心運(yùn)營(yíng)成本最小化。上門護(hù)理路徑如圖1。

圖 1 養(yǎng)老護(hù)理員路徑Figure 1 Home-health-care staff for the elderly routing

利用連通圖G=(V,A)定義該問題。其中，V表示點(diǎn)集，V=Vc∪Vd，Vc={0,n+1}表示居家養(yǎng)老服務(wù)中心，Vd={1,2,···n}表示老人的住所；A={(i,j)|i,j∈V,i≠j}表示弧集。對(duì)于老人i∈V，其對(duì)護(hù)理員的服務(wù)技能需求為gi，護(hù)理員擁有不同的服務(wù)技能gk，分初級(jí)、中級(jí)、高級(jí)，護(hù)理員為老人服務(wù)時(shí)必須滿足老人對(duì)服務(wù)技能的需求，當(dāng)護(hù)理員服務(wù)技能高于老人需求時(shí)會(huì)產(chǎn)生過度服務(wù)成本 Cg。對(duì)于養(yǎng)老護(hù)理員k ∈K，其為老年人服務(wù)的持續(xù)時(shí)間為ti，由于護(hù)理服務(wù)持續(xù)時(shí)間與老人的自身狀況有著密切的聯(lián)系，所以服務(wù)時(shí)間具有很強(qiáng)的隨機(jī)性。服務(wù)時(shí)間服從正態(tài)分布ti～N(μi,σ2) ， μi和 σ2分別表示服務(wù)時(shí)間的均值和方差[13]。護(hù)理員為老人提供服務(wù)時(shí)原則上需最佳時(shí)間窗[ei,li]范圍內(nèi)開始，此時(shí)老人滿意度最高。令護(hù)理員到達(dá)老人住所的時(shí)間為 τi，早于 ei可能無法立即服務(wù)，而且會(huì)產(chǎn)生等待服務(wù)時(shí)間 wi，晚于li或許會(huì)擾亂老人的日常生活作息與習(xí)慣，此時(shí)滿意度降低甚至不滿意。由于居家養(yǎng)老服務(wù)中心依托于社區(qū)，且服務(wù)范圍僅限于該社區(qū)，各個(gè)老人之間的住所距離相對(duì)較近且集中，因此，護(hù)理員在老人i與j之間的旅行成本忽略不計(jì)。此外，服務(wù)中心的日常支出等為固定成本 Cf，護(hù)理員所攜護(hù)理工具、用品等為基礎(chǔ)服務(wù)成本 Ck。 xijk為決策變量，當(dāng)護(hù)理員k順利服務(wù)完老人i 后并開始服務(wù)老人 j時(shí)，xijk=1，否則xijk=0。

1.2 模型分析

1.2.1 服務(wù)技能違反成本

養(yǎng)老護(hù)理員是對(duì)老年人生活進(jìn)行照料、護(hù)理的服務(wù)人員，在其服務(wù)技能符合老人需求的前提下，才能上門服務(wù)護(hù)理老人。但是其具備不同的職業(yè)等級(jí)，每個(gè)等級(jí)所包含的技能有差異，從低等級(jí)到高等級(jí)，掌握的技能也依次遞增。比如初級(jí)護(hù)理員僅掌握日常的生活照料和技術(shù)護(hù)理，而中級(jí)護(hù)理員還負(fù)責(zé)康復(fù)護(hù)理和心理護(hù)理。因此，當(dāng)護(hù)理員自身服務(wù)技能與老人所期望的技能恰好相匹配時(shí)，不存在任何服務(wù)技能違反成本。然而，護(hù)理員所具備的技能高于老人提出的需求時(shí)，導(dǎo)致居家養(yǎng)老服務(wù)中心增加運(yùn)營(yíng)成本，包括直接成本和間接成本，如時(shí)間成本、人力成本及潛在風(fēng)險(xiǎn)等，本文將該增加的成本稱為過度服務(wù)成本，其與護(hù)理員為老人服務(wù)持續(xù)時(shí)間成線性關(guān)系[15]，其表達(dá)式如下

1.2.2 基于前景理論的服務(wù)滿意度

服務(wù)滿意度不僅描述的是人所具有的一種主觀感受和認(rèn)知，也是對(duì)服務(wù)質(zhì)量?jī)?yōu)劣的評(píng)價(jià)。它可表達(dá)為服務(wù)質(zhì)量函數(shù)[25]，滿意度= f(期望，感知質(zhì)量)。其中，感知質(zhì)量是指客戶在服務(wù)的可靠性、響應(yīng)性、保證性、移情性等方面對(duì)服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行滿意度的評(píng)價(jià)[26]。居家養(yǎng)老服務(wù)針對(duì)的對(duì)象為老人，其作為行為主體，一方面表現(xiàn)為有限理性，另一方面受自身身體狀況等因素的影響，對(duì)服務(wù)的響應(yīng)性即時(shí)間要求較高?；诖?，本文主要考慮護(hù)理員上門服務(wù)的準(zhǔn)時(shí)性來衡量老人對(duì)服務(wù)滿意度的水平。

運(yùn)用前景理論中的價(jià)值函數(shù)相關(guān)原理[27]對(duì)主體所感知的服務(wù)滿意度曲線進(jìn)行刻畫，分別用價(jià)值函數(shù)的正和負(fù)值表示評(píng)價(jià)中的“滿意”與“不滿意”，由此建立服務(wù)滿意度函數(shù)，以此反映居家養(yǎng)老服務(wù)的現(xiàn)實(shí)情況。其中，老人對(duì)服務(wù)時(shí)間的滿意(收益)和不滿意(損失)具有不同的敏感程度，因此，在對(duì)服務(wù)滿意度進(jìn)行決策評(píng)價(jià)之前，通常會(huì)選擇一個(gè)參考點(diǎn)，收益和損失都是相對(duì)于該參考點(diǎn)而言。每位老人都有各自設(shè)定的時(shí)間窗。實(shí)際上，在軟時(shí)間窗內(nèi)，老人對(duì)服務(wù)的評(píng)價(jià)都是滿意的，反之則不滿意。因此，本文將參考點(diǎn)定義為老人可容忍的最晚服務(wù)時(shí)間。受老人身體狀況與自身需求差異的影響，每位老人對(duì)時(shí)間窗的要求及設(shè)定迥然不同。比如具有糖尿病的老人需要在規(guī)定時(shí)間注射胰島素，此時(shí)為最佳時(shí)間窗[ei,li]，而只需要簡(jiǎn)單生活照料護(hù)理的老人對(duì)時(shí)間沒有剛性要求，此時(shí)為可容忍時(shí)間因此，本文所研究的時(shí)間窗為混合時(shí)間窗，護(hù)理員在老人設(shè)定的時(shí)間窗內(nèi)或窗外到達(dá)均會(huì)影響滿意度。若護(hù)理員在最佳時(shí)間窗[ei,li]內(nèi)到達(dá)，則老人滿意度最高，即對(duì)應(yīng)于價(jià)值函數(shù)中的“收益”，且恒定為1；若護(hù)理員在老人可容忍的時(shí)間窗但非最佳時(shí)間窗內(nèi)到達(dá)，老人將護(hù)理員實(shí)際到達(dá)時(shí)間 τi與上述設(shè)置的端點(diǎn)作比較，滿意度為正值但非最高。另外，在對(duì)老人的影響較小，所以設(shè)定前者的最低滿意度為θ(0 ＜θ ＜1)，后者最低為0。若護(hù)理員晚于老人可容忍的時(shí)間窗到達(dá)，對(duì)老人的影響過大，則其表現(xiàn)為不滿意即損失，滿意度為負(fù)值且隨之降低，超過1倍可容忍時(shí)間窗時(shí)為最低滿意度恒定值-1；若護(hù)理員早于老人到達(dá)，對(duì)老人影響可忽略不計(jì)，因此不考慮服務(wù)滿意度。另外，α、β、λ分別表示收益系數(shù)、損失系數(shù)和損失厭惡系數(shù)，α,β ＜1表示老人對(duì)服務(wù)滿意度是邊際遞減的，系數(shù)λ ＞1表示老人對(duì)服務(wù)不滿意比滿意更加敏感。結(jié)合前景理論構(gòu)建的服務(wù)滿意度函數(shù)表達(dá)式為

綜上所述，服務(wù)滿意度函數(shù)示意圖如圖2。

圖 2 服務(wù)滿意度函數(shù)Figure 2 Service satisfaction function

1.3 模型建立

根據(jù)上述對(duì)模型問題的描述和分析，運(yùn)用前景理論價(jià)值函數(shù)所得出的滿意度函數(shù)，以最小化運(yùn)營(yíng)成本和最大化服務(wù)滿意度為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)建多目標(biāo)養(yǎng)老護(hù)理員路徑優(yōu)化模型如下。

式(3)為成本最小化目標(biāo)函數(shù)，其中第1項(xiàng)為護(hù)理員固定成本，第2項(xiàng)為基礎(chǔ)服務(wù)成本，第3項(xiàng)為服務(wù)等級(jí)違反成本；式(4)為老年人服務(wù)滿意度最大化目標(biāo)函數(shù)，表示老年人的服務(wù)滿意度；式(5)表示護(hù)理員服務(wù)等級(jí)違反產(chǎn)生的過度服務(wù)成本；式(6)表示護(hù)理員等級(jí)匹配約束；式(7)表示護(hù)理員在對(duì)老年人i 服務(wù)結(jié)束后到老年人 j 的時(shí)間不能晚于對(duì)老年人 j的開始服務(wù)時(shí)間，其中 M為大正值；式(8)表示每個(gè)老年人只能被服務(wù)一次；式(9)～(11)表示各養(yǎng)老護(hù)理員從居家養(yǎng)老服務(wù)中心0出發(fā)，服務(wù)完每位老年人后又回到起始點(diǎn)；式(12)表示在養(yǎng)老護(hù)理員訪問老年人住所的路徑中沒有子回路，其中SV表示養(yǎng)老護(hù)理員從居家養(yǎng)老服務(wù)中心出發(fā)訪問老年人住所的路徑；式(13)表示決策變量為0-1變量。

2 算法設(shè)計(jì)

本文所研究的居家養(yǎng)老上門護(hù)理服務(wù)的護(hù)理員調(diào)度問題是一類含復(fù)雜約束的多目標(biāo)優(yōu)化問題，而具有內(nèi)在并行機(jī)制和全局尋優(yōu)特性的遺傳算法能有效解決該類復(fù)雜問題。通過引入Pareto最優(yōu)理論，基于非支配排序改進(jìn)遺傳算法求出Pareto最優(yōu)解，解集中的所有解不具有相互支配關(guān)系，管理者可根據(jù)自身偏好在多目標(biāo)解集中進(jìn)行權(quán)衡。與傳統(tǒng)遺傳算法相比，本文所改進(jìn)的遺傳算法不僅較好地避免了解集的局部最優(yōu)，提高了收斂速度，而且非支配排序和擁擠度計(jì)算在一定程度上保證了Pareto最優(yōu)解的可靠性和準(zhǔn)確性。具體多目標(biāo)遺傳算法流程如圖3。

2.1 染色體編碼

在遺傳算法中，通常用編碼的方式將解集轉(zhuǎn)化為遺傳空間的基因型串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)以便計(jì)算。由于養(yǎng)老護(hù)理員調(diào)度問題是一類次序組合優(yōu)化問題，其可行解是所有被訪老人與護(hù)理員訪問路徑的組合。為避免大量無效解的產(chǎn)生，本文采用自然數(shù)編碼方式。假設(shè)居家養(yǎng)老服務(wù)中心有k名護(hù)理員，需要服務(wù)n位 老人，則形成一條基因個(gè)數(shù)為k+n?1的染色體編碼串，各基因值即老人編號(hào)，染色體中101、102等數(shù)字表示不同路徑的分隔符。例如，3位護(hù)理員上門護(hù)理9位老人所對(duì)應(yīng)的染色體結(jié)構(gòu)如圖4，可解釋為1、2、3號(hào)護(hù)理員分別從服務(wù)中心出發(fā)，每位居家養(yǎng)老護(hù)理員訪問老人的次序依次為5-3-2，7-1-6-9，8-4。

圖 3 多目標(biāo)遺傳算法流程Figure 3 Multi-objective genetic algorithm flow

圖 4 染色體編碼Figure 4 Chromosome coding

2.2 初始種群生成

遺傳算法中進(jìn)化的起點(diǎn)為初始種群的生成，一個(gè)均勻分布在解集空間的初始種群有助于避免算法陷入局部最優(yōu)解，提高算法的效率，因此本文采用隨機(jī)生成初始種群的方式。為確保初始種群的有效性，作為分隔符的基因不出現(xiàn)于整個(gè)基因的首和尾，而且不存在兩個(gè)分隔符基因相鄰。

2.3 適應(yīng)度函數(shù)

生物進(jìn)化過程中“適者生存，優(yōu)勝劣汰”，同樣地，遺傳算法中需要對(duì)個(gè)體的質(zhì)量?jī)?yōu)劣進(jìn)行衡量以便更好地進(jìn)行遺傳操作。其中衡量的標(biāo)準(zhǔn)用適應(yīng)度表示，個(gè)體的適應(yīng)度與其被選擇的機(jī)會(huì)成正相關(guān)關(guān)系。適應(yīng)度函數(shù)通常根據(jù)目標(biāo)函數(shù)而定，適應(yīng)度函數(shù)的取值為非負(fù)數(shù)，而目標(biāo)函數(shù)的取值可正可負(fù)，因此本文將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為fi=minZ1?100n(1?maxZ2)。其中，由于目標(biāo)函數(shù)Z2表示最大化服務(wù)滿意度，且取值為[?1,1]，與Z1相比，其在適應(yīng)度函數(shù)中所占比重較小。為了便于計(jì)算，將滿意度最大化轉(zhuǎn)化為最小化，同時(shí)選擇100作為變換因子，將服務(wù)滿意度轉(zhuǎn)化為費(fèi)用[28]。

2.4 選擇算子

遺傳算法中選擇算子的目的是從現(xiàn)存種群中選出適應(yīng)度高的個(gè)體，使它們有機(jī)會(huì)被遺傳到下一代。與常用的輪盤賭選擇法相比，錦標(biāo)賽選擇法更勝一籌[29]。本文選取錦標(biāo)賽選擇法與最佳個(gè)體保留相結(jié)合的方法。一方面，提高新一代種群中個(gè)體質(zhì)量，即對(duì)種群中所取出的個(gè)體進(jìn)行篩選，使適應(yīng)度值最高的個(gè)體進(jìn)入下一代，剩余個(gè)體重復(fù)此操作，直至新產(chǎn)生的種群規(guī)模與原來的種群規(guī)模相同；另一方面，保障最優(yōu)個(gè)體成功進(jìn)入下一代種群，即錦標(biāo)賽選擇操作結(jié)束后產(chǎn)生的新一代種群中的最優(yōu)個(gè)體得到進(jìn)化，大大提高種群的收斂速度。

2.5 交叉算子

作為提供新個(gè)體來源的交叉算子，其在遺傳算法中起著舉足輕重的作用。根據(jù)個(gè)體的自然數(shù)編碼方式，同時(shí)避免傳統(tǒng)交叉算子可能無法產(chǎn)生新個(gè)體的弊端，因此本文選用部分匹配交叉法。首先隨機(jī)在2個(gè)父代個(gè)體A和B中選擇2個(gè)交叉點(diǎn)組成交叉區(qū)域“||”，然后將確定的2個(gè)交叉區(qū)域進(jìn)行互換得到子代個(gè)體A'和B'，最后對(duì)2個(gè)子代個(gè)體交叉區(qū)域外出現(xiàn)的重復(fù)遍歷點(diǎn)進(jìn)行交換，得到A''和B''2個(gè)新個(gè)體。具體如圖5所示。

圖 5 部分匹配交叉Figure 5 Partially matched crossover

2.6 變異算子

變異算子在算法中盡管扮演著輔助進(jìn)化的角色，但是它有助于保持群體多樣性，增強(qiáng)局部搜索能力。為了使種群中的個(gè)體在進(jìn)化中能有效地變化調(diào)整，避免早熟現(xiàn)象，本文采用倒位變異法操作 (圖6)，隨機(jī)選擇染色體C上的兩點(diǎn)，即變異點(diǎn)，兩點(diǎn)之間為變異區(qū)域，將其進(jìn)行倒位得到新個(gè)體C'。另外，由于染色體中分隔符的存在沒有實(shí)際意義，所以在操作中設(shè)定不允許同時(shí)選擇2個(gè)分隔符基因?yàn)樽儺慄c(diǎn)。

圖 6 倒位變異Figure 6 Inversion mutation

2.7 基因修復(fù)

由于交叉算子和變異算子對(duì)染色體的操作易導(dǎo)致染色體出現(xiàn)不符合基因約束條件的情況，例如同一名老人被多名護(hù)理員服務(wù)，老人未被護(hù)理員服務(wù)，護(hù)理員服務(wù)等級(jí)不滿足老人所期望的等級(jí)等，因此需要對(duì)基因進(jìn)行修復(fù)操作，如修改、消除，或者添加染色體基因等，使之滿足模型約束。

2.8 非支配排序

多目標(biāo)優(yōu)化問題中Pareto解集包括無數(shù)個(gè)非劣解。在實(shí)際決策中，并不是每一個(gè)非劣解都符合管理者要求，因此獲得Pareto最優(yōu)解是關(guān)鍵。目前利用遺傳算法求Pareto解集的方法有VEGA、NSGA、NSGA -II等，相比而言，NSGA -II在處理多目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí)具有更好的性能[30]。其基本思想是將合并的種群進(jìn)行快速非支配排序，根據(jù)個(gè)體的非劣解質(zhì)量對(duì)種群分級(jí)，使算法朝著Pareto最優(yōu)解集的方向進(jìn)行搜索。本文引入NSGA -II算法思想求解模型，在其基礎(chǔ)上調(diào)整了計(jì)算順序，即先通過基本遺傳算法的操作產(chǎn)生新的子代種群，接著與父代種群合并后再進(jìn)行快速非支配排序，使得算法最終能集中于均勻分布的Pareto前沿面。不僅在一定程度上降低了算法本身的計(jì)算復(fù)雜度，更重要的是在保持種群多樣性的基礎(chǔ)上提升了種群水平，保證算法以優(yōu)良的搜索性能順利完成對(duì)Pareto解集的尋優(yōu)過程。

3 算例分析

3.1 算例描述

為了驗(yàn)證上述構(gòu)建的養(yǎng)老護(hù)理員調(diào)度問題的數(shù)學(xué)模型和改進(jìn)的遺傳算法的有效性，本文利用Matlab編程工具，選取Solomon測(cè)試數(shù)據(jù)集進(jìn)行算例分析。由于我國(guó)居家養(yǎng)老服務(wù)是以社區(qū)為依托，老人通常在小區(qū)內(nèi)分布密集，因此選用數(shù)據(jù)集中表示位置聚集分布的C101中的25個(gè)數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，根據(jù)本文模型對(duì)其時(shí)間窗和服務(wù)時(shí)間進(jìn)行了修改，在最佳時(shí)間窗[ei,li]基礎(chǔ)上，將其兩端各擴(kuò)展10%得到可容忍時(shí)間窗同時(shí)將服務(wù)時(shí)間轉(zhuǎn)化成服從正態(tài)分布的隨機(jī)生成數(shù)。此外，采用隨機(jī)生成方式增添了服務(wù)等級(jí)。該算例可描述為：已知所處位置的編號(hào)為0的居家養(yǎng)老服務(wù)中心，安排調(diào)度7位擁有不同服務(wù)等級(jí)(1，2，3)的護(hù)理員對(duì)具有不同時(shí)間要求和服務(wù)等級(jí)要求的25位已知地理位置的老人進(jìn)行上門護(hù)理服務(wù)。其中，模型的參數(shù)設(shè)置為收益及損失系數(shù)α,β=0.88[26]，損失厭惡系數(shù)λ=2.25[26]，提前到達(dá)時(shí)滿意度臨界點(diǎn)θ=0.5；遺傳算法的參數(shù)設(shè)置為初始種群N=100，交叉概率PC=0.90，變異概率Pm=0.01，迭代次數(shù)Gen=100。

3.2 結(jié)果分析

根據(jù)修改后的C101數(shù)據(jù)，利用改進(jìn)的遺傳算法求解多目標(biāo)養(yǎng)老護(hù)理員調(diào)度問題，獲得Pareto最優(yōu)解集，即兩個(gè)目標(biāo)之間的關(guān)系，如圖7所示。

圖 7 Pareto最優(yōu)解集Figure 7 Pareto optimal solution set

結(jié)果表明，就兩個(gè)目標(biāo)而言，最小化運(yùn)營(yíng)成本和最大化服務(wù)滿意度之間存在沖突，居家養(yǎng)老服務(wù)中心向老人提供的服務(wù)質(zhì)量對(duì)其運(yùn)營(yíng)成本有一定影響，總體趨勢(shì)為服務(wù)滿意度提高時(shí)運(yùn)營(yíng)成本也隨之增高。以A點(diǎn)為分割點(diǎn)，前半段與后半段花費(fèi)相近的成本，但前者滿意度增加幅度較大，后者滿意度增加幅度較小，說明當(dāng)滿意度提高到一定的程度時(shí)需要更多的成本來支持。在居家養(yǎng)老服務(wù)中心運(yùn)營(yíng)的實(shí)際過程中，當(dāng)耗費(fèi)一定的人力、物力、財(cái)力時(shí)服務(wù)滿意度會(huì)逐步增高，但是會(huì)遇到瓶頸，此時(shí)需要購(gòu)入更昂貴的設(shè)備和用品，招聘更資深的護(hù)理員，以提升老人對(duì)服務(wù)的滿意度。因此，管理者在實(shí)際決策中應(yīng)在兩者之間進(jìn)行權(quán)衡，不應(yīng)為了過度節(jié)約經(jīng)營(yíng)成本而舍棄服務(wù)質(zhì)量，但也不應(yīng)盲目追求過高滿意度，要根據(jù)自身經(jīng)營(yíng)實(shí)際情況作出合理的安排部署，有效配置資源，實(shí)現(xiàn)老年人服務(wù)滿意度最大化和自身運(yùn)營(yíng)成本最小化的目標(biāo)。由圖7可知，當(dāng)管理者綜合考慮兩者的影響時(shí)，A點(diǎn)為解集中的最優(yōu)方案，即服務(wù)滿意度為81.9%，運(yùn)營(yíng)成本為2 009.8元，養(yǎng)老護(hù)理員上門服務(wù)路線如圖8所示。

圖 8 養(yǎng)老護(hù)理員服務(wù)路徑Figure 8 Home-health-care staff for the elderly routing

養(yǎng)老護(hù)理員具體訪問順序如表1所示。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證服務(wù)滿意度函數(shù)中表示風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度系數(shù)的α,β ∈(0,1)對(duì)求解多目標(biāo)護(hù)理員調(diào)度問題的影響，在上述對(duì)α、β參數(shù)的設(shè)置基礎(chǔ)上，增設(shè)α,β=0.2,0.5,1三組參數(shù)，通過遺傳算法迭代10次，分別得到10組非劣解集，匯總計(jì)算求出最大值、最小值和平均值，并進(jìn)行對(duì)比，見表2。

表 1 養(yǎng)老護(hù)理員上門護(hù)理服務(wù)路線Table 1 Home-health-care staff for the elderly routing

表 2 敏感性參數(shù)匯總計(jì)算數(shù)據(jù)Table 2 Sensitivity parameter summary data

由表2可知，對(duì)于服務(wù)滿意度，無論是最大值、最小值還是平均值，α=β=0.2最高，α=β=0.5次高，α=β=0.88再次高，α=β=1最低；對(duì)于運(yùn)營(yíng)成本，則與滿意度排列順序相反。在服務(wù)滿意度函數(shù)中，老人對(duì)護(hù)理員的服務(wù)進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)也是一個(gè)作決策的過程，而這個(gè)決策的依據(jù)是護(hù)理員到達(dá)老人住所的時(shí)間。α、β值越大意味著老人對(duì)時(shí)間的敏感度越大，對(duì)時(shí)間的要求較為嚴(yán)格，此時(shí)護(hù)理員的到達(dá)時(shí)間對(duì)服務(wù)滿意度的影響也隨之增大，提前或者延誤到達(dá)造成滿意度水平更低。因此，居家養(yǎng)老服務(wù)中心可以根據(jù)老人對(duì)時(shí)間敏感性的差異，選擇不同的α、β值獲得護(hù)理員上門服務(wù)路徑，不僅有助于更精確地生成最優(yōu)服務(wù)路徑，而且在一定程度上提高了服務(wù)滿意度。

另外，針對(duì)居家養(yǎng)老護(hù)理員調(diào)度問題，將本文所改進(jìn)的遺傳算法與標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法進(jìn)行對(duì)比，其中兩者所涉及到的各類參數(shù)完全相同。通過標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法得到居家養(yǎng)老服務(wù)中心運(yùn)營(yíng)成本為2 365.30元，老人服務(wù)滿意度為75.23%。而在Pareto最優(yōu)解集圖中，當(dāng)居家養(yǎng)老服務(wù)中心運(yùn)營(yíng)成本為2 365.30元時(shí)，老人服務(wù)滿意度大于80%；當(dāng)老人服務(wù)滿意度為75.23%時(shí)，居家養(yǎng)老服務(wù)中心運(yùn)營(yíng)成本小于2 000元。可見，基于改進(jìn)的遺傳算法不僅運(yùn)營(yíng)成本優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法，而且在相同成本下服務(wù)滿意度更高，易于接近理想解，有效兼顧運(yùn)營(yíng)成本和服務(wù)滿意度的雙重優(yōu)化。因此，本文應(yīng)用的改進(jìn)遺傳算法比標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法更具有高效性和優(yōu)越性。

4 結(jié)語(yǔ)

隨著人民生活水平的日益提高和老齡化程度的不斷加深，我國(guó)養(yǎng)老服務(wù)發(fā)展已步入新時(shí)代，而居家養(yǎng)老服務(wù)模式是適應(yīng)我國(guó)國(guó)情的必然趨勢(shì)，老人的獲得感和幸福感的提高與養(yǎng)老服務(wù)供給的優(yōu)化、質(zhì)量的提升息息相關(guān)。本文研究的最大化滿意度和最小化運(yùn)營(yíng)成本兩個(gè)目標(biāo)實(shí)際上具有相互制約性，得到了算例的驗(yàn)證。因此，管理者應(yīng)因人而異、因時(shí)制宜，在成本和滿意度兩方面進(jìn)行權(quán)衡考慮，注重以老人為中心的服務(wù)思想，增進(jìn)與老人的溝通交流，及時(shí)收集并整理老人對(duì)時(shí)間的敏感性程度數(shù)據(jù)，做好時(shí)間窗的數(shù)據(jù)分析，以實(shí)現(xiàn)高質(zhì)高效的養(yǎng)老護(hù)理員調(diào)度，進(jìn)而提升老年人的滿意度，盡可能保障老人享有一個(gè)有尊嚴(yán)的幸福晚年。

由于居家養(yǎng)老服務(wù)發(fā)展日漸繁榮，其服務(wù)模式呈多元化、多層次，服務(wù)對(duì)象呈差異化，在實(shí)際應(yīng)用中，可能還需要將其他要素納入考慮，如養(yǎng)老護(hù)理員的偏好、服務(wù)的連續(xù)性、老人的隨機(jī)或動(dòng)態(tài)需求等。因此在后續(xù)研究中可以改進(jìn)和完善數(shù)學(xué)模型，使模型與中國(guó)養(yǎng)老模式更契合，并結(jié)合多種啟發(fā)式算法提出更精確有效的求解方法。