朱起源，陳學(xué)文

(重慶科技學(xué)院數(shù)理與大數(shù)據(jù)學(xué)院，重慶 401331)

1 引言

環(huán)形電流在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)是電磁學(xué)及電動(dòng)力學(xué)討論的典型模型之一，掌握環(huán)形電流產(chǎn)生磁場(chǎng)的研究方法和空間特征，有助于提升對(duì)物質(zhì)磁性的理解，同時(shí)也是與磁場(chǎng)相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用基礎(chǔ)。大學(xué)物理教材中一般只討論了近軸及遠(yuǎn)場(chǎng)的磁場(chǎng)分布規(guī)律[1]?；诖耍疚膹睦碚摵头抡鎯蓚€(gè)角度出發(fā)，分別討論環(huán)形電流產(chǎn)生磁場(chǎng)在全空間內(nèi)的分布規(guī)律。

2 環(huán)形電流軸線上任一點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度

如圖1 所示，本文所討論問題可描述為：空間有一半徑為R0的圓形導(dǎo)線置于圖示坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)，圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)。導(dǎo)線中通有穩(wěn)恒電流I，求在空間一點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。

圖1 問題模型及坐標(biāo)系示意圖

原則上依據(jù)畢奧-薩伐爾定律，采用微元法將電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿環(huán)形導(dǎo)線積分一周可得載流導(dǎo)線在空間某點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，即：

在計(jì)算軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度分布規(guī)律時(shí)，由于積分具有高度對(duì)稱性，因此可以很容易求得軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

其中z為軸線上某點(diǎn)的坐標(biāo)。磁場(chǎng)沿軸線方向，其指向與電流方向之間符合右手螺旋定則。

雖然也可以依據(jù)上述方法直接積分求得除軸線以外任意場(chǎng)點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度的解析表達(dá)式[2]。也可以通過其它方式，例如借助高斯求積公式對(duì)此積分進(jìn)行數(shù)值求解，但計(jì)算過程都相對(duì)復(fù)雜。下面我們用一種邏輯清晰，計(jì)算過程相對(duì)簡(jiǎn)單的方法對(duì)問題進(jìn)行求解。

3 任意場(chǎng)點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度

我們先求解磁矢勢(shì)A滿足的定解問題，然后利用磁矢勢(shì)與磁感應(yīng)強(qiáng)度之間的關(guān)系B=?×A求得磁感應(yīng)強(qiáng)度。

首先由麥克斯韋方程組得穩(wěn)恒電流產(chǎn)生磁場(chǎng)的矢勢(shì)A滿足微分方程

在介質(zhì)分界面上矢勢(shì)A滿足的邊值條件為

其中α為介質(zhì)分界面上傳導(dǎo)電流的線密度[3]。

如圖1所示以圓形導(dǎo)線圓心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系。由對(duì)稱性可知，矢勢(shì)A只有φ分量，且只與r,θ有關(guān)，即A=A(r,θ)eφ[4]。因此由微分方程（1）得，矢勢(shì)A的φ分量應(yīng)滿足方程

用半徑為R0的球面將空間分為兩部分，在內(nèi)外兩部分空間內(nèi)均無傳導(dǎo)電流，因此兩個(gè)區(qū)域內(nèi)矢勢(shì)A的φ分量分別滿足Laplace方程，即

考慮到A在球心r=0 位置處應(yīng)為有限值，即存在正數(shù)M，使得。在無窮遠(yuǎn)處，圓形導(dǎo)線可近似視為磁偶極子，根據(jù)磁偶極子在空間產(chǎn)生的矢勢(shì)。并且在θ=0 以及θ=π時(shí)A均為有界函數(shù)。結(jié)合上述邊界條件，由分離變量法可得通解

為了確定一系列未定系數(shù)al和bl，還需利用在球面上滿足的銜接邊值條件，將通解代入公式（2）得，在內(nèi)外空間分界球面上有

在球坐標(biāo)系下對(duì)矢勢(shì)求旋度可得磁感應(yīng)強(qiáng)度[5]，即

結(jié)合矢勢(shì)A的對(duì)稱性，有

4 磁感應(yīng)強(qiáng)度的仿真計(jì)算

接下來使用基于有限元法的多物理場(chǎng)耦合仿真軟件COMSOL Multiphysics對(duì)該問題進(jìn)行仿真計(jì)算。為了方便設(shè)R0=0.35 m，I=1 A。為了盡可能還原理論計(jì)算結(jié)果，圓環(huán)的橫截面積不應(yīng)取得太大，在仿真過程中設(shè)定為半徑為5 mm 的圓。使用AC/DC模塊中磁場(chǎng)接口在半徑為1.5 m 的球形空間內(nèi)進(jìn)行仿真研究。由于在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)具有軸對(duì)稱性，因此在圖2中只給出了yOz平面內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度分布的仿真結(jié)果。可以看出磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布滿足右手螺旋法則，磁感線的分布規(guī)律也具有高度對(duì)稱性。

圖2 yOz平面內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度分布的數(shù)值仿真結(jié)果

基于解析表達(dá)式（6）和（7），取上述級(jí)數(shù)解中前25項(xiàng)特定點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，然后通過坐標(biāo)變換將計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換在空間直角坐標(biāo)系中。為了驗(yàn)證仿真計(jì)算結(jié)果的正確性，分別取z軸上解析解和仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比研究。如圖3所示，在軸線上基于Comsol的仿真結(jié)果和理論計(jì)算得到的Bz的值幾乎完全重合，可以看出數(shù)值仿真結(jié)果可以很好地反映磁場(chǎng)的分布規(guī)律。

圖3 在軸線z 上磁感應(yīng)強(qiáng)度 Bz 的Comsol仿真和理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

本文首先利用分離變量法對(duì)環(huán)形導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)進(jìn)行了解析求解，相比于直接積分計(jì)算過程思路更直接，表達(dá)式也更加簡(jiǎn)潔。然后利用多物理場(chǎng)耦合仿真軟件COMSOL Muliphysics 進(jìn)行了仿真計(jì)算驗(yàn)證，仿真結(jié)果與解析解基本一致，也能夠更加真實(shí)詳細(xì)地還原物理模型。作為一個(gè)有效的數(shù)值仿真工具，在具體的應(yīng)用實(shí)例中，如果定解問題中電流密度分布過于復(fù)雜，例如橢圓形環(huán)狀電流[6]，則解析求解就變得非常困難，或者根本就不存在解析解，此時(shí)可以直接借助于COMSOL 等軟件進(jìn)行數(shù)值仿真求解。