伊 雯，邱環(huán)環(huán)，汪劍津

(江西科技師范大學(xué)物理系，江西 南昌 330013)

1 引言

量子力學(xué)作為物理系本科生的一門必修課程，由于涉及很多的數(shù)學(xué)以及與經(jīng)典物理觀念產(chǎn)生強烈的沖突常常被學(xué)生冠以難懂難學(xué)的名號。針對這種情況，學(xué)生唯有多做習(xí)題、勤加練習(xí)才能攻堅克難學(xué)好量子力學(xué)。正如櫻井在他經(jīng)典的《現(xiàn)代量子力學(xué)》序言中所說的那樣：如果一個人學(xué)完全書但不會做練習(xí)那么他什么也沒學(xué)到[1]。由此可見，習(xí)題的訓(xùn)練對學(xué)習(xí)量子力學(xué)的重要性。而實際上不僅僅對于量子力學(xué)，對于其他任何一門理工科課程都是如此。

通常來講，量子力學(xué)主流的表述方法有三種，即波動力學(xué)，矩陣力學(xué)以及路徑積分，它們的代表人物分別是薛定諤，海森堡，費曼。波動力學(xué)的核心是薛定諤方程，它的地位猶如經(jīng)典力學(xué)中的拉格朗日方程或者哈密頓正則方程，規(guī)定了微觀粒子如何運動。矩陣力學(xué)的核心是希爾伯特空間，希爾伯特空間即由系統(tǒng)正交歸一化的能量本征態(tài)所支起來的空間，波函數(shù)可以理解為希爾伯特空間的一個向量。路徑積分的核心是由作用量所定義的傳播子和費曼圖，路徑積分在高能物理和量子場論中具有極其深遠(yuǎn)的影響。由于路徑積分所要求的基礎(chǔ)理論物理知識和數(shù)學(xué)知識要高于波動力學(xué)和矩陣力學(xué)，所以通常的本科學(xué)習(xí)階段接觸的主要是波動力學(xué)和矩陣力學(xué)。

如果說波動力學(xué)的核心是薛定諤方程，那如何求解形如下式的定態(tài)薛定諤方程是波動力學(xué)的核心任務(wù)：

定態(tài)薛定諤方程的求解通常是困難的。能嚴(yán)格求解的也就幾個模型，如常數(shù)勢，簡諧振子，二體中心力場模型。對于稍微復(fù)雜一點的情況如氦原子或者氫分子想要嚴(yán)格求解已是不可能。然而人的求知欲是不可能停止的，于是就發(fā)展出了微擾論和變分法。微擾論和變分法都需要一個能嚴(yán)格求解的模型為基礎(chǔ)才能繼續(xù)往下走。微擾論可以同時給出能級的修正和波函數(shù)的修正，修正的級數(shù)越高所得結(jié)果就越接近真實情況，同時，代價是計算過程也更加的復(fù)雜和冗長，通常能級到二級修正波函數(shù)到一級修正即可。微擾論要求作為微擾的能量項要足夠小才行，否則修正級數(shù)再高也是于事無補。變分法對此沒有要求或者說變分法中并沒有微擾的概念，它只把哈密頓量分解為可解的部分和剩余的部分。對氦原子基態(tài)能級的估計是它的一個典型的應(yīng)用。變分法的關(guān)鍵是構(gòu)造出合適的試探波函數(shù)從而才能達(dá)到對系統(tǒng)基態(tài)能級的準(zhǔn)確估計。而本文所要做的就是研究試探波函數(shù)對估計系統(tǒng)基態(tài)能級的影響，為試探波函數(shù)的構(gòu)造提供一些建議。

在正式進(jìn)入我們的研究之前，這里有必要先介紹一下變分法的原理，同時考慮到變分法在任何一本量子力學(xué)教材上都可以找到相應(yīng)的內(nèi)容，因此我們只做一簡短的介紹。設(shè)ψ是任意一個歸一化的波函數(shù)，它在系統(tǒng)能量本征態(tài)上的展開可以寫為：

其中Ψn為對應(yīng)能量為En的正交歸一本征態(tài)，即有。這里我們約定Ψ0和E0為系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)和基態(tài)能級。根據(jù)量子力學(xué)中力學(xué)量的期望值的定義我們有Ψ狀態(tài)下的能量的期望值為：

其中積分遍及整個空間。把(2)代入(3)并利用Ψn的正交歸一性可得能量的期望值為：

可以看到任意的波函數(shù)其能量的平均值總是會大于系統(tǒng)的基態(tài)能量。而變分法則體現(xiàn)在求出關(guān)于某個參數(shù)λ的極小值，即：

其中參數(shù)λ來源于試探波函數(shù)Ψ。根據(jù)以上的討論可知變分法給出的是基態(tài)能級的上限。在利用變分法的時候有兩點需要注意：一是試探波函數(shù)要先進(jìn)行歸一化處理；二是試探波函數(shù)需要包含兩個參數(shù)，這是歸一化和極值兩個條件所限定的。

為了研究試探波函數(shù)對估算系統(tǒng)基態(tài)能級的影響，我們需要一個可以嚴(yán)格求解的模型作為基準(zhǔn)來對照。而這一個模型很容易就可以想到的是簡諧振子模型。不僅其能級具有簡單的表達(dá)式，它的基態(tài)波函數(shù)也非常的簡潔是一個高斯函數(shù)，非常適合本文的研究目的。通過研究，我們發(fā)現(xiàn)在使用變分法時除考慮到波函數(shù)的宇稱性外若放棄波函數(shù)光滑性的嚴(yán)格要求反而能獲得更好的估算結(jié)果，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，由于線性波函數(shù)的一次函數(shù)特性從根本上忽略了動能項對能量的貢獻(xiàn)，因此無論如何也不能把作試探波函數(shù)選為線性函數(shù)的。我們的研究對于學(xué)生掌握變分法、試探波函數(shù)的選取、認(rèn)識力學(xué)量需用算符表示的思想都將有所幫助，從而有助于他們量子力學(xué)的學(xué)習(xí)。

2 模型

首如前文所述，我們采用的是可解的簡諧振子模型，針對我們所要研究的問題我們以一維的系統(tǒng)為例，其哈密頓量如下所示：

為了之后的討論方便，我們首先對系統(tǒng)的哈密頓量做無量綱的處理，令m=?=ω=1，于是得到無量綱的哈密頓量：

圖1 用于估算基態(tài)能級的試探波函數(shù)

3 結(jié)果和討論

3.1 試探波函數(shù)I

實由于簡諧勢沒有奇異性，波函數(shù)需連續(xù)且光滑。為此我們首先考慮形如的波函數(shù),該函數(shù)稱為Lorentz函數(shù)，常用于功率譜的分析計算某一頻率的波所受的散射強度的大小。它在全空間是連續(xù)且光滑的，其圖形如圖1中的“橫-點點”線所示。接下來我們采用變分法來看一下它對基態(tài)能量的估計。

3.2 試探波函數(shù)II

試探波函數(shù)II是分段波函數(shù)，由向下開口的拋物線和常數(shù)0構(gòu)成。其形狀我們用“橫-點”線畫在圖1中。很明顯的可以看到在x=2附近是不光滑的。同樣的根據(jù)歸一化條件，注意此時波函數(shù)是分段的需要改變一下積分限，，可以得到。再求能量的期望值：

3.3 試探波函數(shù)III:

試探波函數(shù)III也是分段波函數(shù)，由余弦函數(shù)和常數(shù)0構(gòu)成。其形狀我們用“橫-橫”線畫在圖1中。同樣地可以看到在x=2附近也是不光滑的。根據(jù)歸一化條件，同樣注意積分限的變化，，可以得到。繼續(xù)求能量的期望值：

利用α3和β3的關(guān)系得到，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號。由此可知試探波函數(shù)給出的最好的結(jié)果是，它對真實能量的相對偏移度為。其估算結(jié)果相對于有了進(jìn)一步的提高，粗略一點的話還是可以接受的。根據(jù)取最小值的條件可得到α3=0.754，β3=0.692。于是得到波函數(shù)為：

3.4 試探波函數(shù)IV

由于線性函數(shù)的一次特性，上式又可以寫為：

可見線性函數(shù)直接忽略了動能項對能量的貢獻(xiàn)。進(jìn)一步求得能量的平均值為：

最后一步利用了k和b的關(guān)系。由最后結(jié)果可見線性波函數(shù)無法給出有意義的結(jié)果。證實了我們之前所說的線性波函數(shù)不能用作試探波函數(shù)的觀點。

至此我們已經(jīng)完成了4個試探波函數(shù)對基態(tài)能級的估計，我們把結(jié)果總結(jié)在了表1中。可以看到除不能作為試探波函數(shù)的線性函數(shù)外，兩個不光滑的分段波函數(shù)給出的結(jié)果都比光滑的Lorentz試探波函數(shù)給出的結(jié)果要好，其中余弦給出的結(jié)果最接近真實基態(tài)能量。這也給我們一種啟示是：在用變分法估算系統(tǒng)基態(tài)能級時，為了獲得較好的估計結(jié)果，除考慮必要的對稱性外是可以適當(dāng)放寬波函數(shù)的光滑性要求的。

表1 試探波函數(shù)估算出的基態(tài)能量，相對于真實基態(tài)能量的偏離度γ，試探波函數(shù)與嚴(yán)格解高斯函數(shù)的相異度D。其中直線波函數(shù)給不出有意義的結(jié)果我們用橫線表示

表1 試探波函數(shù)估算出的基態(tài)能量，相對于真實基態(tài)能量的偏離度γ，試探波函數(shù)與嚴(yán)格解高斯函數(shù)的相異度D。其中直線波函數(shù)給不出有意義的結(jié)果我們用橫線表示

可以看見的是，試探波函數(shù)對基態(tài)能量估算的好壞和它們與嚴(yán)格解的契合度是直接相關(guān)的。從圖1中可以看到Lorentz函數(shù)偏離嚴(yán)格解高斯函數(shù)是最大的，因此估算出的能量和真實能量相差也最大。對于余弦函數(shù)和拋物線函數(shù)不太好容易看出哪個偏離高斯函數(shù)多一點，于是我們定義一個物理量相異度D來刻畫它們對高斯函數(shù)的偏離程度。D越大表示偏離程度越高，其定義如下：

考慮到波函數(shù)的對稱性以及歸一性D的定義又可以寫為：

經(jīng)過初步的理論計算我們發(fā)現(xiàn)該積分很難得到解析解，即使使用WolframAlpha也無濟(jì)于事，于是我們尋求了數(shù)值計算。為了使用數(shù)值計算我們把積分進(jìn)行了截斷。把積分上限設(shè)定為100，積分步長設(shè)為10?4。經(jīng)驗證這一設(shè)定得到的精度已經(jīng)足夠高，繼續(xù)增大積分上限或者減小積分步長帶來的變化也是微乎其微的。數(shù)值計算結(jié)果顯示在表1中的第4行。可以看到Lorentz函數(shù)，拋物線函數(shù)，余弦函數(shù)對高斯函數(shù)的相異度分別是0.176，0.153，0.107。這和預(yù)期是一致的。Lorentz函數(shù)偏離程度最大因此能量估算的結(jié)果最差，余弦函數(shù)偏離程度最低給出的結(jié)果也最好。

4 結(jié)論

我們以簡諧振子模型為基礎(chǔ)運用變分法研究了試探波函數(shù)對估算基態(tài)能量的影響。我們研究發(fā)現(xiàn)，在選取試探波函數(shù)的時除了要考慮必須的宇稱性外是可以適當(dāng)放寬波函數(shù)的光滑性要求的，否則限制太多未必能得到一個好的能量估算結(jié)果。進(jìn)一步我們還發(fā)現(xiàn)，線性波函數(shù)是無論如何也不能用作試探波函數(shù)來估算基態(tài)能量的，這是因為它的一次函數(shù)特性本質(zhì)上忽略了動能項對能量的貢獻(xiàn)。因此選取試探波函數(shù)時可以完全把線性波函數(shù)排除在外。我們的研究對于學(xué)生掌握變分法、試探波函數(shù)的選取、量子力學(xué)中力學(xué)量需用算符表示的認(rèn)識都將有所裨益，或許還可以提高他們對量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣從而激發(fā)他們量子力學(xué)的學(xué)習(xí)熱情。