袁宗文 唐靜

摘要：抽樣定理是信息傳輸技術(shù)的重要定理，通常驗(yàn)證該定理的硬件電路固化，缺少分析和設(shè)計(jì)過(guò)程，不利于理解定理的本質(zhì)內(nèi)容?；贛ultisim仿真平臺(tái)進(jìn)行抽樣定理的驗(yàn)證電路設(shè)計(jì)，首先基于信息傳輸理論進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)，其次對(duì)設(shè)計(jì)出的系統(tǒng)進(jìn)行仿真，最后對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析，并結(jié)合仿真結(jié)果修改系統(tǒng)參數(shù)后再次仿真。結(jié)果表明這種做法不僅有利于全面理解抽樣定理所涉及的相關(guān)理論，而且還鍛煉了系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的能力。

關(guān)鍵詞：抽樣定理;頻譜;電路設(shè)計(jì);仿真

中圖分類號(hào)：TP391.9? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2021）36-0175-04

開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Circuit Design for Verification of Sampling Theorem Based on Multisim

YUAN Zong-wen， TANG Jing

（School of Electronic Engineering， Chaohu University， Hefei 238024， China）

Abstract： Sampling theorem is an important law of information transmission technology. Usually， the hardware circuit to verify the theorem is solidified. The lack of analysis and design process is not conducive to understanding the essence of the theorem. Based on the Multisim simulation platform to design the verification circuit of the sampling theorem， firstly design the system based on the information transmission theory， secondly simulate the designed system， finally analyze the simulation results， and modify the system parameters based on the simulation results and then simulate again. The results show that this approach is not only conducive to a comprehensive understanding of the relevant theories involved in the sampling theorem， but also exercises the ability of system analysis and design.

Key words： sampling theorem; spectrum; circuit design; simulation

1 引言

信號(hào)與系統(tǒng)課程是大學(xué)電氣信息類重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，該課程數(shù)學(xué)要求較高，理論復(fù)雜抽象，為掌握好課程理論知識(shí)，必須輔以必要數(shù)量的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目。信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)通常通過(guò)實(shí)驗(yàn)箱完成，然而實(shí)驗(yàn)箱的固定化電路結(jié)構(gòu)限制了學(xué)生動(dòng)手能力和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，而且實(shí)驗(yàn)箱電路因?yàn)楦鞣N原因容易損壞，維修也不方便，因此軟件仿真是極好的補(bǔ)充。Multisim軟件具有強(qiáng)大的電路仿真能力，且易學(xué)易用，為當(dāng)今高校電路教學(xué)和學(xué)習(xí)普遍使用的仿真平臺(tái)[1-2]。

抽樣定理是信號(hào)與系統(tǒng)課程重要的定理，其推導(dǎo)和結(jié)論都比較抽象難懂，本文在Multisim平臺(tái)通過(guò)選擇合適的元器件搭建出抽樣定理的驗(yàn)證電路[3]，為便于對(duì)比分析，搭建的電路盡量與實(shí)驗(yàn)箱實(shí)際電路一致，仿真過(guò)程表明，該虛擬電路完全可替代實(shí)際電路，讓學(xué)生掌握抽樣定理的本質(zhì)。

2 抽樣定理理論分析

2.1 信號(hào)的頻譜

傅里葉分析是分析信號(hào)的基本工具，它從另一個(gè)視角——頻域來(lái)觀察和理解信號(hào)，獲得信號(hào)更為本質(zhì)的一些特征[4]。傅里葉分析包括傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換，周期信號(hào)[f（t）]的傅里葉級(jí)數(shù)如式（1）。

[f（t）=A0+n=1∞Ancos（nω0t+?n）]? ? ? ? ? ? ? ? （1）

其中[A0]為直流分量，[An]為第n次諧波的振幅，也稱之為振幅譜，[ω0]為基波的角頻率，[T0=2π/ω0]為基波周期，[nω0]為第n次諧波的角頻率，[?n]為第n次諧波的初相位，也稱之為相位譜。設(shè)[Cn=1T00T0f（t）e-jnω0tdt]，則式（1）中的[An=2Cn]，[?n=?Cn]，根據(jù)這些關(guān)系可以求出周期信號(hào)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)的具體形式。本實(shí)驗(yàn)將對(duì)方波和三角進(jìn)行抽樣，它們的波形及傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)如下：

方波的時(shí)域波形如圖1所示，其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)如式（2）所示，其振幅譜如圖2所示。

[fsqua（t）=4Aπcosω0t-13cos3ω0t+15cos5ω0t-17cos7ω0t+…]? ?（2）

三角波的時(shí)域波形如圖3所示，其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)如式（3）所示，其振幅譜如圖4所示。

[ftria（t）=8Aπ2cosω0t+19cos3ω0t+125cos5ω0t+149cos7ω0t+…]? ? ? （3）

2.2 時(shí)域抽樣定理

若帶限信號(hào)[f（t）]的最高頻率為[ωm]，當(dāng)抽樣頻率[ωs≥2ωm]時(shí)，則信號(hào)[f（t）]可以用其樣本值唯一地表示。

信號(hào)的抽樣過(guò)程可用圖5簡(jiǎn)單地描述，其中[δT（t）]為周期性沖激串，其周期[T=2π/ωs]， [fs（t）=f（t）·δT（t）]，稱之為抽樣信號(hào)。

如果讓抽樣信號(hào)[fs（t）]通過(guò)一截頻[ωc]滿足[ωm≤ωc<ωs-ωm]的理想低通濾波器[H（jω）]，如圖6所示，則濾波器的輸出就是原信號(hào)[f（t）]。

3 抽樣定理驗(yàn)證電路設(shè)計(jì)

根據(jù)抽樣定理，信號(hào)的抽樣與恢復(fù)電路原理圖可以如圖7所示，其中乘法器用模擬開(kāi)關(guān)代替，信號(hào)源分別是周期電壓信號(hào)和脈沖電壓信號(hào)，濾波器為有源低通濾波器[5-6]。

①信號(hào)源

周期信號(hào)分別選擇方波信號(hào)與三角波信號(hào)，頻率皆為1 KHz，振幅皆為1 V;脈沖信號(hào)的占空比為50%，幅度為5 V，其頻率即為抽樣頻率。

②乘法器

為實(shí)現(xiàn)本實(shí)驗(yàn)的乘法功能，可以用模擬開(kāi)關(guān)代替，這里選用開(kāi)關(guān)速度高、寬電壓范圍、低噪聲、低成本的4路模擬開(kāi)關(guān)MC74HC4066D。

③低通濾波器

為簡(jiǎn)單、調(diào)節(jié)方便、易實(shí)現(xiàn)起見(jiàn)，選擇二階有源低通濾波器，其實(shí)現(xiàn)電路如圖8所示。

當(dāng)[R1=R2=R]、[C1=2C2=C]時(shí)，則濾波器截止頻率[ωc=1.414RC]或[fc=0.225RC]。實(shí)際電路中為保證[R1=R2]，這里的[R1]、[R2]由雙聯(lián)調(diào)電位器取代。

3.1 方波的抽樣與恢復(fù)

根據(jù)上述要求，設(shè)計(jì)出的方波信號(hào)抽樣與恢復(fù)電路如 9所示，其中，V1為被抽樣的方波信號(hào)，V2為周期性脈沖信號(hào)，U1A的輸出為恢復(fù)信號(hào)，為降低抽樣電路對(duì)濾波電路的影響，在此之間插入跟隨器U1B，其他元器件參數(shù)如圖9所示。

理論上方波信號(hào)的最高頻率為無(wú)窮大，但根據(jù)頻譜圖可知其分量的振幅是隨頻率增加而逐漸衰減的，這里不妨令其最高頻率[fm=7f0]，即[fm=7KHz]。分別改變圖9電路中周期性脈沖信號(hào)頻率（即抽樣頻率）、濾波器截止頻率（通過(guò)改變雙聯(lián)調(diào)電位器[R1]、[R2]的阻值），得到如表1所示的結(jié)果。

在前述假定[fm=7KHz]情況下，若[fs=10KHz]，則顯然[fs<2fm]，不滿足抽樣定理，抽樣后頻譜發(fā)生混疊，方波的恢復(fù)情況如表1的第一次測(cè)量結(jié)果。

若[fs=16KHz]，則[fs>2fm]滿足抽樣定理，且[fc=8KHz]也滿足[fm≤fc

若[fs=16KHz]，[fc=12KHz]，雖然滿足[fs>2fm]但不滿足[fm≤fc

3.2 三角波的抽樣與恢復(fù)

三角波的抽樣與恢復(fù)電路完全同方波，只是將信號(hào)源的方波改成三角波即可。這里同樣設(shè)三角波的最高頻率[fm=7f0]，即[fm=7KHz]。然后做如表1一樣的三次測(cè)量，得到如表2的結(jié)果。

如同方波的抽樣與恢復(fù)，三角波的抽樣與恢復(fù)也存在混疊失真和鏡像失真。但因?yàn)槿遣ǖ姆至侩S頻率增加，其幅度衰減速度要大于方波，所以同樣設(shè)置[fm=7KHz]情況下，三角波混疊失真要小得多，比如表2的第二次測(cè)量，在同樣條件[fs>2fm]和[fm≤fc

4 結(jié)論

抽樣定理是信號(hào)與系統(tǒng)課程重要的內(nèi)容，一般都會(huì)在該課程的實(shí)驗(yàn)課里開(kāi)設(shè)這個(gè)定理的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，但多數(shù)是硬件實(shí)驗(yàn)，即電路已經(jīng)設(shè)計(jì)好，基本上連接導(dǎo)線就完成了實(shí)驗(yàn)，從而導(dǎo)致對(duì)定理本身并沒(méi)有很好理解和掌握。該文從頻譜分析到電路設(shè)計(jì)，然后再通過(guò)Multisim軟件搭建虛擬電路、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)條件，最后給出仿真結(jié)果并結(jié)合原理解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，通過(guò)較固定的硬件電路既靈活方便又安全可靠，既加深了對(duì)專業(yè)知識(shí)的理解又鍛煉了電路設(shè)計(jì)的能力，既可作為獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目又可作為硬件實(shí)驗(yàn)的補(bǔ)充，類似的其他電路實(shí)驗(yàn)也可以這樣完成。

參考文獻(xiàn)：

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【通聯(lián)編輯：梁書(shū)】