張超，劉有智，焦緯洲，張巧玲

（中北大學(xué)超重力化工過程山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西太原030051）

引 言

氣升式環(huán)流反應(yīng)器(ALR)是在鼓泡塔反應(yīng)器基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種多相流反應(yīng)器，由于其具有出色的混合和傳熱性能，目前已在能源化工、環(huán)保和生物化工等領(lǐng)域[1?3]得到了廣泛的應(yīng)用。當(dāng)前ALR主要有內(nèi)循環(huán)式(ILALR)和外循環(huán)式兩種類型，相比于鼓泡塔反應(yīng)器，ALR 中部設(shè)置了導(dǎo)流筒，使液相流動(dòng)更加規(guī)整，氣液相間動(dòng)量傳遞更加均勻，更適用于對剪應(yīng)力敏感的生化反應(yīng)過程，可以為脆弱的微生物提供適宜生長的流體力學(xué)環(huán)境，避免因流體劇烈湍動(dòng)和機(jī)械攪拌所帶來的物理損傷[4?5]。

苯酚作為一種重要的化工原料，對人體和環(huán)境會(huì)造成巨大危害，因而我國已將其列入須優(yōu)先處理的污染物之一。苯酚廢水來源廣泛，焦化、食品、農(nóng)藥、塑料樹脂和石油化工等行業(yè)都是苯酚廢水的主要來源，當(dāng)水體中苯酚濃度超過0.015 mg/L后，會(huì)引發(fā)魚類的大量死亡，作為農(nóng)田灌溉水則會(huì)造成農(nóng)作物的減產(chǎn)。當(dāng)前微生物降解法已被證明是處理低濃度有機(jī)廢水的一種有效方法，具有投資成本低、處理效率高、設(shè)備簡單等優(yōu)勢，并且可將有機(jī)污染物降解為對環(huán)境和人體無害的CO2和水等，避免了二次污染。而ALR 由于具有較大的氣液接觸面積、良好的傳熱和傳質(zhì)性能以及溫和的流體力學(xué)環(huán)境，在生物法處理有機(jī)廢水中受到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用[6]。Loh 等[7]設(shè)計(jì)了一種新型外循環(huán)式ALR，并采用固定化惡臭假單胞菌對含酚廢水進(jìn)行處理，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法可處理廢水含酚濃度高達(dá)3000 mg/L。Ryan 等[8]采用白根霉菌在ALR 內(nèi)對苯酚廢水的生物降解過程進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)反應(yīng)器內(nèi)流體流動(dòng)環(huán)境非常適于菌體的生長，該體系內(nèi)菌體生長速率和苯酚去除率都較高。Feng 等[9]針對一ALR 內(nèi)生物降解苯酚廢水過程建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，考察了氣液兩相流動(dòng)特性對生物降解過程的影響。

ALR 中氣相含率、液相速度、氣液相界面積等基本參數(shù)對于反應(yīng)器的設(shè)計(jì)和放大至關(guān)重要[10?11]，而近年來隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，計(jì)算流體力學(xué)(CFD)已經(jīng)成為研究ALR 等多相流反應(yīng)器中流體流動(dòng)特性的一種主要方法。目前針對ALR 等多相流反應(yīng)器中氣液兩相的模擬主要有兩種模型：歐拉?歐拉(E?E)模型和歐拉?拉格朗日(E?L)模型。在E?E 模型中，氣液兩相被看作是兩種相互滲透的連續(xù)流體，流場中的任一位置都同時(shí)被兩相所占據(jù)，氣液兩相按照自身的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，相間存在著動(dòng)量、能量以及質(zhì)量交換，通過求解Navier?Stokes 方程來描述氣液兩相的流動(dòng)狀態(tài)[12?13]。在E?L 模型中，氣相被看作是一群離散的顆粒，液相被視為連續(xù)相，離散顆粒與連續(xù)相之間存在動(dòng)量、能量和質(zhì)量交換，通過對大量顆粒的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行追蹤，最終得到反應(yīng)器內(nèi)流場信息以及離散顆粒的運(yùn)動(dòng)軌跡[14]。E?L模型可清晰地描繪出氣泡之間的相互作用，但由于需要追蹤每一個(gè)氣泡的運(yùn)動(dòng)軌跡，所以計(jì)算量巨大，目前僅適用于低氣含率情況下小尺度反應(yīng)器的模擬計(jì)算[15]。E?E 模型所需計(jì)算量較小并且具有較高的精度，是目前多相流反應(yīng)器模擬中使用最為廣泛的模型。

CFD 已廣泛應(yīng)用于ALR 內(nèi)化工和生物降解過程的模擬研究[16]，Huang等[17]采用E?E 模型對一中試規(guī)模的ALR 中煤直接液化過程進(jìn)行了模擬，對反應(yīng)過程中流體流動(dòng)、質(zhì)量傳遞和化學(xué)反應(yīng)之間的相互作用規(guī)律進(jìn)行了研究，模擬得到的氣相含率和液相速度的分布與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果吻合較好。Wang 等[18]針對一實(shí)驗(yàn)規(guī)模的ALR 中生物降解甲苯廢氣過程建立了三維瞬態(tài)CFD 模型，研究了反應(yīng)器內(nèi)甲苯和菌體濃度的動(dòng)態(tài)分布。在ALR 內(nèi)傳質(zhì)過程的模擬計(jì)算中，為了對組分湍流傳質(zhì)微分方程進(jìn)行封閉，需要獲取湍流擴(kuò)散系數(shù)Dt的數(shù)值。在已有研究中，研究者們普遍采用了經(jīng)驗(yàn)的湍流Schmidt 數(shù)(Sct)模型對Dt進(jìn)行估算，而該方法的準(zhǔn)確性嚴(yán)重依賴Sct的估值，并且也未能考慮組分濃度自身脈動(dòng)特性對傳質(zhì)過程的影響，因此該方法計(jì)算精度并不能達(dá)到要求[19?20]，需采用一個(gè)更為準(zhǔn)確且嚴(yán)格的理論模型對ALR 內(nèi)湍流傳質(zhì)過程進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算傳質(zhì)學(xué)-c2?εc模型是近年來提出的一種用于對化工傳質(zhì)設(shè)備進(jìn)行準(zhǔn)確模擬的湍流擴(kuò)散模型，該模型通過引入脈動(dòng)濃度方差-c2和脈動(dòng)濃度方差耗散率εc兩個(gè)模型方程實(shí)現(xiàn)了對Dt的理論計(jì)算，從而擺脫了傳統(tǒng)需要預(yù)估Sct的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，?shí)現(xiàn)了對傳質(zhì)過程的嚴(yán)格模擬。-c2?εc模型自提出以來已成功應(yīng)用于精餾塔和氣固流化床中傳質(zhì)過程的模擬研究[21?22]，然而其能否適用于氣液兩相相互作用強(qiáng)烈的ALR，目前仍有待進(jìn)一步研究。

本文將建立三維瞬態(tài)CFD 模型對ILALR 中生物降解苯酚廢水過程進(jìn)行模擬研究，采用RNG k-ε模型對流體湍流流動(dòng)進(jìn)行計(jì)算，引入氣泡群平衡模型(PBM)對反應(yīng)器內(nèi)氣泡尺寸分布進(jìn)行預(yù)測，采用計(jì)算傳質(zhì)學(xué)模型對湍流傳質(zhì)過程進(jìn)行模擬。最后將模擬結(jié)果與文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)測量值進(jìn)行對比，以驗(yàn)證模型的有效性。

1 模擬對象

2007 年，F(xiàn)eng 等[9]報(bào)道了利用ILALR 作為生物反應(yīng)器降解苯酚廢水的過程，反應(yīng)器結(jié)構(gòu)如圖1 所示。反應(yīng)器長和寬均為0.2 m，高為1.0 m。導(dǎo)流筒長和寬均為0.14 m，高為0.45 m，安裝在距離反應(yīng)器底部5 cm 高度處。反應(yīng)器底部中心處的布?xì)獍宄叽鐬?0 mm×50 mm，布?xì)饪卓讖綖? mm。反應(yīng)器內(nèi)液相為含游離菌體的苯酚無機(jī)鹽水溶液，菌體為熱帶假絲酵母菌，該微生物可將苯酚作為主要碳源和能量來源，將其完全分解為二氧化碳和水，液面高度為0.6 m；氣相為空氣。反應(yīng)器內(nèi)溫度控制在25℃。在反應(yīng)器中部設(shè)取樣點(diǎn)，用于取樣分析液相中的菌體和苯酚濃度。

圖1 ILALR結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Configuration of the ILALR

2 數(shù)值模型

本文采用E?E 模型來模擬ILALR 中氣液兩相流動(dòng)，空氣是氣相，含游離菌體的苯酚無機(jī)鹽水溶液為液相。建立模型過程中做出如下假設(shè)：

(1) ILALR 內(nèi)初始菌體濃度和初始苯酚濃度均一；

(2)生物降解過程和菌體生長過程僅與液相中菌體和苯酚濃度有關(guān)，其他底物，如無機(jī)鹽和氧氣等，均為非限制性因素。

2.1 連續(xù)性方程

式中，下角標(biāo)k代表相應(yīng)的相(k=G 代表氣相，k=L代表液相)，u為速度，α 代表相含率，ρ代表密度。

2.2 動(dòng)量守恒方程

式中，p為壓力，Mk代表氣相與液相之間的動(dòng)量交換即相間作用力，μk,eff為有效黏度。

2.3 湍流模型

動(dòng)量方程中氣液兩相的有效黏度由分子黏度μlam和湍流黏度μt組成，其中μt可表示為：

采用RNG k-ε 模型來計(jì)算流體的湍流效應(yīng)，湍動(dòng)能k和湍動(dòng)能耗散率ε方程如下[23]：

式中，Gk是由于流體黏性力而引起的湍流產(chǎn)生項(xiàng)，其計(jì)算式為：

2.4 相間作用力模型

氣液相間的動(dòng)量交換可用相間作用力表示，而作用于氣相或液相上的力大小相等，方向相反：

式中，d32為Sauter氣泡尺寸，通過氣泡群平衡模型進(jìn)行計(jì)算。CD為曳力系數(shù)，本文采用Ishii 等[25]提出的模型進(jìn)行計(jì)算：

升力是促使氣泡徑向運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵作用力，是由于氣泡在液相中受浮力作用上升過程中表面受到不平衡的壓力作用而產(chǎn)生的一種與氣泡運(yùn)動(dòng)方向垂直的力：

式中，CL為升力系數(shù)，取0.5[26]。

2.5 氣泡群平衡模型

氣泡尺寸是決定氣液相間質(zhì)量傳遞速率的關(guān)鍵參數(shù)之一，氣泡群平衡模型(PBM)目前已廣泛應(yīng)用于氣液兩相流體系中氣泡尺寸分布的預(yù)測，其通過系統(tǒng)地對氣泡之間的聚并和氣泡破碎行為進(jìn)行考察，可從不同尺度對氣液兩相的流動(dòng)行為進(jìn)行深入研究[27]。本文采用離散區(qū)間法[28?29]對PBM 模型方程進(jìn)行求解，將直徑在1.2～12.5 mm 范圍內(nèi)的氣泡分為十組，每組氣泡的守恒方程如下：

式中，fj為第j組氣泡的體積分?jǐn)?shù)，Sj為由于氣泡的聚并和破碎而產(chǎn)生的源項(xiàng)，其表達(dá)式為：

其中

式中，vj是第j 組氣泡的氣泡體積，c(vm,vn)和b(vj)分別代表氣泡的聚并和破碎速率，β(v,vm)為子氣泡的分布函數(shù)。本文中氣泡的聚并模型采用Luo[30]提出的模型，氣泡的破碎模型采用Lehr 等[31]提出的模型。式(8)中的Sauter 氣泡尺寸d32可由式（15）計(jì)算得到：

式中，dj是第j組氣泡的氣泡尺寸。

2.6 局部最大剪應(yīng)力

對于生物反應(yīng)器，局部最大剪應(yīng)力是一個(gè)重要參數(shù)，因?yàn)榇蠖鄶?shù)微生物對剪應(yīng)力的大小十分敏感，剪應(yīng)力過高會(huì)對微生物細(xì)胞形態(tài)造成損傷，從而影響生化反應(yīng)的效率。局部最大剪應(yīng)力計(jì)算公式為[32]：

2.7 組分守恒方程

模型中相關(guān)參數(shù)數(shù)值為[34]：Cc0=0.11，Cc1=1.80，Cc2=2.20，Cc3=0.80，σc=1.0，σεc=1.0。

2.8 生化反應(yīng)動(dòng)力學(xué)模型

本文采用Jiang 等[35]得到的熱帶假絲酵母菌降解苯酚的本征動(dòng)力學(xué)模型來計(jì)算菌體的生長速率rx和苯酚的降解速率rs：

式中，上角標(biāo)x和s分別代表菌體和苯酚，μmax為最大比生長速率，Ks為苯酚的飽和常數(shù)，KI為苯酚的抑制常數(shù)，各動(dòng)力學(xué)參數(shù)的數(shù)值如表1所示。

表1 生化反應(yīng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)Table 1 Microbial kinetic constants

2.9 初始條件和邊界條件

初始條件和邊界條件對于模型方程的求解至關(guān)重要。ILALR 底部氣相入口設(shè)為速度入口條件，入口速度uin根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件確定，湍動(dòng)能k 初始值和湍動(dòng)能耗散率ε 初始值根據(jù)Liu 等[36]采用的方法進(jìn)行計(jì)算，脈動(dòng)濃度方差和脈動(dòng)濃度方差耗散率εc的初始值采用Li等[21]提出的關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算：

氣泡在入口處尺寸均一，入口氣泡直徑db采用Chen等[37]提出的關(guān)聯(lián)式進(jìn)行計(jì)算：

式中，do為氣體分布器孔徑。

液相苯酚初始濃度為1200 mg/L，壁面對于氣液兩相均設(shè)為非滑移條件，出口采用脫氣邊界條件[38]。

2.10 網(wǎng)格劃分和數(shù)值方法

ILALR 模型網(wǎng)格如圖2 所示，采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格對計(jì)算域進(jìn)行劃分，通過對網(wǎng)格獨(dú)立性進(jìn)行測試，最終采用網(wǎng)格數(shù)目為19665 個(gè)的網(wǎng)格進(jìn)行模擬計(jì)算。

采用商業(yè)軟件Fluent 15.0 的三維非穩(wěn)態(tài)求解器，微分方程組采用有限體積法進(jìn)行求解，壓力速度耦合問題采用SIMPLE 算法，為了保證計(jì)算精度而采用了二階數(shù)值方法。為了提升計(jì)算過程的穩(wěn)定性，使用Krishna 等[39]推薦的逐級(jí)遞增時(shí)間步長策略：計(jì)算第一個(gè)100 時(shí)間步長采用0.001 s；第二個(gè)100 時(shí)間步長為0.002 s；第三個(gè)100 時(shí)間步長為0.005 s；第四個(gè)100時(shí)間步長為0.01 s；第五個(gè)100時(shí)間步長為0.02 s；其余時(shí)間步長采用0.05 s。

圖2 模型網(wǎng)格示意圖Fig.2 Schematic view of the grid used in simulation

3 模擬結(jié)果與討論

3.1 氣相含率和液相速度的分布

圖3 和圖4 給出了不同表觀氣速下ILALR 中高度為400 mm 處模型計(jì)算得到的局部時(shí)均氣相含率和軸向液相速度分布與Feng 等[9]實(shí)驗(yàn)測量值的對比。由圖可以看出，ILALR 內(nèi)局部時(shí)均氣相含率和軸向液相速度隨著表觀氣速的增大而增大，并且計(jì)算得到結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測量值吻合較好。

圖3 不同表觀氣速下局部時(shí)均氣相含率的分布Fig.3 The profiles of local time?averaged gas holdup at different superficial gas velocities

圖4 不同表觀氣速下局部時(shí)均軸向液相速度的分布Fig.4 The profiles of local time?averaged axial liquid velocity at different superficial gas velocities

3.2 Sauter 氣泡尺寸和液相局部最大剪應(yīng)力的分布

圖5 為采用氣泡群平衡模型計(jì)算得到的ILALR內(nèi)Sauter 氣泡尺寸的瞬態(tài)分布云圖，可以看出隨著反應(yīng)器高度的增加，氣泡尺寸逐步增大，并且由于表觀氣速較低，氣泡未能在反應(yīng)器內(nèi)形成環(huán)流，當(dāng)氣泡隨液體流出導(dǎo)流筒進(jìn)入下降區(qū)上部后，氣泡聚并現(xiàn)象更為顯著，所以在下降區(qū)上部氣泡尺寸最大。

圖5 Sauter氣泡尺寸分布云圖/mFig.5 Contour of Sauter bubble size distribution/m

現(xiàn)有研究表明液相剪應(yīng)力對微生物形態(tài)會(huì)產(chǎn)生顯著影響，大部分微生物對剪應(yīng)力大小十分敏感，甚至在高剪應(yīng)力情況下會(huì)發(fā)生破裂[40?41]。所以剪應(yīng)力分布是生物反應(yīng)器設(shè)計(jì)和操作的一個(gè)重要指標(biāo)。圖6 給出了表觀氣速為0.01 m/s 和0.02 m/s情況下，ILALR 中局部最大剪應(yīng)力的分布。從圖中可看出反應(yīng)器中剪應(yīng)力隨著表觀氣速的增大而增大，剪應(yīng)力在反應(yīng)器中的分布較為均勻，但在導(dǎo)流筒上部數(shù)值較大。在反應(yīng)器內(nèi)靠近壁面的下降區(qū)和底部剪應(yīng)力很小，這是由于下降區(qū)和底部內(nèi)氣含率很低，而氣液相間的相互作用會(huì)對剪應(yīng)力產(chǎn)生較大影響[42]。

圖6 不同表觀氣速下最大局部剪應(yīng)力分布/(kg/(m·s2))Fig.6 Maximal shear stress distributions in the ILALR at different superficial gas velocities/(kg/(m·s2))

3.3 組分濃度變化

圖7 和圖8 給出了采用計(jì)算傳質(zhì)學(xué)-c2?εc模型計(jì)算得到的ILALR 中局部液相苯酚濃度和菌體濃度隨時(shí)間的變化曲線，并將其與Feng 等[9]的實(shí)驗(yàn)測量值進(jìn)行了對比。

圖7 液相中菌體濃度的模擬值與實(shí)驗(yàn)值的比較Fig.7 Comparison of simulated cell concentration with experimental measurement

從圖7 和圖8 可以看出，在反應(yīng)初期菌體濃度增長速率較低，這是由于高濃度的苯酚對于菌體的生長有抑制作用，隨著液相中苯酚的不斷降解，菌體的增長速率逐漸增大。而隨著液相中菌體濃度的升高，苯酚的降解速率也在不斷提升。提升初始菌體的濃度，可以有效克服高濃度苯酚的抑制作用，增強(qiáng)菌體對于苯酚的降解能力，提升苯酚降解速率。從圖中還可看出，與Feng等采用的Sct經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ拖啾饶Ｐ偷挠?jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值更為接近，具有更高的精度。

圖8 液相中苯酚濃度的模擬值與實(shí)驗(yàn)值的比較Fig.8 Comparison of simulated dissolved phenol concentration with experimental measurement

3.4 湍流擴(kuò)散系數(shù)分布

液相苯酚的湍流擴(kuò)散系數(shù)Dt和液相湍流黏度μt的分布云圖如圖9 和圖10 所示。圖11 和圖12 給出了在不同反應(yīng)器高度Dt和μt在徑向上的分布。

從圖9 和圖10 可以看出，Dt和μt的分布形式相似，但并非完全相同。從圖11 可知，計(jì)算得到的Dt隨著反應(yīng)器高度的提升而增大，在固定高度上，升流區(qū)內(nèi)Dt較大，靠近導(dǎo)流筒壁面區(qū)域Dt迅速降低，這是由于壁面處采用了非滑移邊界條件，在近壁區(qū)域液相的湍動(dòng)受到了限制。

圖9 液相苯酚的湍流擴(kuò)散系數(shù)云圖/(m2/s)Fig.9 Contour of turbulent mass diffusivity of dissolved phenol/(m2/s)

圖10 液相湍流黏度云圖/(kg/(m·s))Fig.10 Contour of turbulent viscosity/(kg/(m·s))

在ILALR 內(nèi)傳質(zhì)過程的模擬計(jì)算中，Dt常采用基于傳遞相似性假設(shè)的Sct模型進(jìn)行估算，假定湍流傳質(zhì)過程中Dt與μt呈正比。然而Sct的取值卻是經(jīng)驗(yàn)性的，針對不同情況，Sct的取值也各不相同[43]。Talvy 等[44]采用Sct=1 模擬了氣升式環(huán)流反應(yīng)器中氧氣的吸收過程，Huang 等[17]則采用了Sct=0.75 模擬了氣升式環(huán)流反應(yīng)器中煤直接液化過程。對比圖11和圖12 可以看出，雖然Dt和μt的分布形式十分相似，但并不是簡單的正比例關(guān)系，即計(jì)算得到的Sct在反應(yīng)器中并不是一個(gè)常數(shù)。因此采用Sct模型來模擬ILALR 中的傳質(zhì)過程是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。本文采用的?jì)算傳質(zhì)學(xué)-c2?εc模型優(yōu)勢之一即是湍流擴(kuò)散系數(shù)Dt可通過理論模型計(jì)算得到，而無須采用Sct等經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。

圖11 不同ILALR高度液相苯酚湍流擴(kuò)散系數(shù)的分布Fig.11 Profiles of turbulent mass diffusivity of dissolved phenol at different heights

圖12 不同ILALR高度液相湍流黏度分布Fig.12 Profiles of turbulent viscosity at different heights

4 結(jié) 論

本文采用計(jì)算傳質(zhì)學(xué)方法對ILALR 中生物降解苯酚廢水過程進(jìn)行了模擬研究，利用RNG k-ε 模型模擬了流體的湍流流動(dòng)，利用氣泡群平衡模型對反應(yīng)器內(nèi)氣泡尺寸分布進(jìn)行了預(yù)測，最后采用近年來提出的計(jì)算傳質(zhì)學(xué)模型對湍流擴(kuò)散系數(shù)Dt進(jìn)行計(jì)算，主要結(jié)論如下。

(1)ILALR 中液相剪應(yīng)力分布較為均勻，最大值出現(xiàn)在導(dǎo)流筒的上部，剪應(yīng)力隨著表觀氣速的增大而增大。

(2) 模擬得到ILALR 中液相苯酚濃度和菌體濃度與實(shí)驗(yàn)測量值符合較好，說明了本文采用的計(jì)算傳質(zhì)學(xué)-c2?εc模型能夠適用于ILALR 中傳質(zhì)過程的模擬。

(3) 計(jì)算得到ILALR 中湍流擴(kuò)散系數(shù)Dt和湍流黏度μt之間并不是簡單的正比例關(guān)系，因而采用傳統(tǒng)Sct經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算得到的Dt是不準(zhǔn)確的。

符 號(hào) 說 明

b(v)——?dú)馀萜扑樗俾剩瑂?1

c(vm,vn)——?dú)馀菥鄄⑺俾?，m3/s

Cc0,Cc1,Cc2,Cc3——計(jì)算傳質(zhì)學(xué)雙方程模型常數(shù)

CD——曳力系數(shù)

CL——升力系數(shù)

-c2——脈動(dòng)濃度方差

Dt——湍流擴(kuò)散系數(shù)，m2/s

do——?dú)怏w分布器孔徑，m

d32——Sauter氣泡直徑，m

Eo——Eotvos數(shù)

fi——?dú)馀萁Mi的體積分?jǐn)?shù)

g——重力加速度，m/s2

KI——苯酚抑制常數(shù)，g/m3

Ks——苯酚飽和常數(shù)，g/m3

k——湍動(dòng)能，m2/s2

p——壓力，Pa

Re——Reynolds數(shù)

Sct——湍流Schmidt數(shù)

u——速度矢量，m/s

v——?dú)馀蒹w積，m3

α——相含率

β(v,vm)——子氣泡分布函數(shù)

ε——湍動(dòng)能耗散率，m2/s3

εc——濃度方差耗散率，s?1

μeff——有效黏度，kg/(m·s)

μlam——分子黏度，kg/(m·s)

μmax——最大比生長速率，h?1

μt——湍流黏度，kg/(m·s)

ρ——密度，kg/m3

σ——表面張力，N/m

τ——剪應(yīng)力，kg/(m·s2)