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        彈性力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)理論求解器開(kāi)發(fā)及應(yīng)用研究1)

        2021-03-06 02:43:06任天嬌
        力學(xué)與實(shí)踐 2021年1期
        關(guān)鍵詞:余弦斜面微分

        何 峰 任天嬌 楊 松 趙 娜

        (遼寧工程技術(shù)大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院,遼寧阜新123000)

        彈性力學(xué)課程是普通高校力學(xué)類、土木類等理工科本科專業(yè)核心課,是從力學(xué)基本理論過(guò)渡到工程實(shí)際應(yīng)用的橋梁;具有教師難教、學(xué)生難學(xué)、工程思維和力學(xué)思維難兼容的“三難”課程特點(diǎn)?;谡n程重要性和特點(diǎn),眾多學(xué)者進(jìn)行了彈性力學(xué)教學(xué)改革,如張偉偉等[1]提出了彈性力學(xué)三段式教學(xué)方法,即圍繞每一知識(shí)點(diǎn),按照工程背景、數(shù)理基礎(chǔ)、力學(xué)原理進(jìn)行劃分,在教學(xué)實(shí)施中遵循先工程,后數(shù)理,再力學(xué)的講解順序。潘東輝等[2]將MATLAB/PDE工具箱引入彈性力學(xué)教學(xué),實(shí)現(xiàn)彈性力學(xué)的可視化教學(xué)。劉楊等[3]提出了“互聯(lián)網(wǎng)+ 項(xiàng)目指派” 式教學(xué)模式在《彈性力學(xué)及有限單元法》的教學(xué)中的實(shí)踐方式和考核辦法。陳小亮等[4]利用Maple 軟件探索了彈性力學(xué)應(yīng)力函數(shù)逆解法的計(jì)算機(jī)求解規(guī)范流程。盧小雨等[5]利用Maple 來(lái)求解彈性力學(xué)中的一些具體問(wèn)題。邢靜忠[6]將MAPLE 引入力學(xué)教學(xué),引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具的習(xí)慣和能力,強(qiáng)化算法設(shè)計(jì)和程序的通用性和靈活性,為處理復(fù)雜問(wèn)題提供幫助。丁洲祥等[7]詳細(xì)介紹了計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)MAPLE 在土力學(xué)與基礎(chǔ)工程研究型教學(xué)中的具體應(yīng)用。

        本文基于吳家龍教授編著的《彈性力學(xué)》教材內(nèi)容和課程特點(diǎn),以應(yīng)力狀態(tài)理論部分的求解斜面應(yīng)力分量及主應(yīng)力和最大切應(yīng)力為例,應(yīng)用Matlab-GUI 模塊,通過(guò)編制程序把繁瑣抽象的力學(xué)公式結(jié)果進(jìn)行圖形可視化,從而提升學(xué)生學(xué)習(xí)彈性力學(xué)興趣。

        1 應(yīng)力狀態(tài)理論[8]

        彈性力學(xué)的研究對(duì)象為三維彈性體,由于滿足連續(xù)性和均勻性假設(shè),因此從微分單元體分析入手,確定一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。研究思路是首先確定應(yīng)力狀態(tài)描述方法,包括應(yīng)力矢量定義及其分解為正應(yīng)力、切應(yīng)力和應(yīng)力坐標(biāo)軸分量,應(yīng)力張量表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài);其次從靜力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā),建立平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件;任意截面的應(yīng)力分量確定;應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式;一點(diǎn)的特殊應(yīng)力確定:主應(yīng)力和主平面、最大切應(yīng)力。該部分教學(xué)中學(xué)生和老師常見(jiàn)問(wèn)題有:如何直觀體現(xiàn)已知方向余弦?如何確定應(yīng)力主方向、最大切應(yīng)力微分面方位或已知微分面方程求方向余弦,同時(shí)可視化微分斜面?

        2 求解器運(yùn)行原理

        (1)微分面三元一次方程系數(shù)與其方向余弦關(guān)系

        式(1)~式(3) 中,F(xiàn)(x,y,z) 為三元一次函數(shù);A,B,C,D 為方程系數(shù);l,m,n 為方向余弦。

        (2) 斜面上應(yīng)力分量(圖1)

        圖1 微分斜面上應(yīng)力分量

        式(4)~式(7) 中,fvx,fvy,fvz為沿坐標(biāo)軸投影應(yīng)力分量;l,m,n 為方向余弦;σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx為正應(yīng)力和切應(yīng)力分量;fv為斜面應(yīng)力矢量;σv為斜面正應(yīng)力;τv為斜面切應(yīng)力。

        (3) 主應(yīng)力、應(yīng)力主方向和最大切應(yīng)力及方位

        式(8)~式(9)中,I1,I2,I3為應(yīng)力張量不變量;σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx為正應(yīng)力和切應(yīng)力分量;σ 為主應(yīng)力。

        式(10)中,l1,m1,n1為第一主應(yīng)力方向余弦;σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx為正應(yīng)力和切應(yīng)力分量;σ1為第一主應(yīng)力。

        式(11)中,l2,m2,n2為第二主應(yīng)力方向余弦;σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx為正應(yīng)力和切應(yīng)力分量;σ2為第二主應(yīng)力。

        式 (12) 中,l3,m3,n3為第二主應(yīng)力方向余弦;σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx為正應(yīng)力和切應(yīng)力分量;σ3為第三主應(yīng)力。

        3 Matlab–GUI 模塊應(yīng)力狀態(tài)理論求解器及應(yīng)用

        編制基于Matlab-GUI 模塊應(yīng)力狀態(tài)理論求解器,程序流程如圖2 所示。通過(guò)該求解器(圖3) 可顯示應(yīng)力狀態(tài)圖和微分斜面,通常遇到題型有兩種:一種題型為給出方向余弦可求出三元一次方程系數(shù),進(jìn)而顯示微分面方程和斜面圖,另一種題型若直接給出三元一次方程及系數(shù)也可求出方向余弦和顯示微分斜面,同時(shí)可求出三個(gè)主應(yīng)力及主方向和最大切應(yīng)力及方向余弦,可通過(guò)主應(yīng)力微分面按鈕,如圖4 和圖5 所示,分別顯示主平面和最大切應(yīng)力平面,驗(yàn)證主應(yīng)力所處面切應(yīng)力是為零,應(yīng)力矢量和正應(yīng)力相等,取得最大切應(yīng)力微面,正應(yīng)力不一定為零等結(jié)論。

        已知物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力張量為

        4 結(jié)論

        論文結(jié)合彈性力學(xué)課程特點(diǎn),力求突破“三難”瓶頸;以彈性力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)理論常見(jiàn)題型為例,Matlab-GUI 模塊編制應(yīng)力狀態(tài)理論求解器,通過(guò)界面物理參數(shù)輸入和結(jié)果顯示過(guò)程,體現(xiàn)彈性力學(xué)中數(shù)理求解思路,簡(jiǎn)化了繁雜的計(jì)算過(guò)程;同時(shí)可形象直觀再現(xiàn)和驗(yàn)證學(xué)生彈性力學(xué)數(shù)理計(jì)算結(jié)果,使得數(shù)學(xué)力學(xué)公式可視化,學(xué)生的抽象思維和具象思維達(dá)到兼容。最終達(dá)到提升學(xué)生學(xué)習(xí)彈性力學(xué)興趣的目的。

        圖3 應(yīng)力狀態(tài)理論求解器

        圖4 第一主應(yīng)力微分斜面

        圖5 最大切應(yīng)力微分斜面

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