李宇航 王 壹 李 敏

(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

材料力學(xué)中通常認(rèn)為應(yīng)變很小且位移相較于原始尺寸很微小的情況為小變形，在這種情況下通?？梢园凑战Y(jié)構(gòu)原始幾何構(gòu)型分析受力情況，并使用原始尺寸表達(dá)應(yīng)變和構(gòu)建變形協(xié)調(diào)關(guān)系，這兩種方法統(tǒng)稱為小變形假設(shè)[1-4]。許多學(xué)者都對小變形假設(shè)產(chǎn)生的相對誤差進(jìn)行了分析。常學(xué)平等[5]分析了拉、壓靜不定情況下小變形假設(shè)背后的力學(xué)本質(zhì)是變形量度基準(zhǔn)的選取；尚新春等[6]介紹了在平面三角桁架結(jié)構(gòu)中原始尺寸原理的適用性，強(qiáng)調(diào)了不同材料參數(shù)對小變形假設(shè)適用范圍的影響；鄧宗白等[7]討論了對稱平面桁架結(jié)構(gòu)中采用小變形假設(shè)時應(yīng)變對誤差的影響，并對比了對稱與非對稱結(jié)構(gòu)、靜定與非靜定結(jié)構(gòu)在誤差上的差異；張曉艷等[8]對拉壓超靜定結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件做出了進(jìn)一步的討論，給出了不同形式下變形協(xié)調(diào)條件的表達(dá)形式。本文從一道利用小變形假設(shè)計(jì)算平面三角桁架結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移的典型例題出發(fā)，著重探討了桿件的夾角對判斷零力桿問題的影響，并進(jìn)一步指出了結(jié)構(gòu)幾何特征與小變形假設(shè)的關(guān)系。第一部分主要介紹了基本問題并給出了理論推導(dǎo)，第二部分主要展示了具體算例下理論計(jì)算與有限元分析的結(jié)果，探討了小變形假設(shè)的適用范圍，第三部分總結(jié)了本文的主要結(jié)論，闡釋了文章在材料力學(xué)教學(xué)中的作用和意義。

1 幾何構(gòu)型與公式推導(dǎo)

圖1 是一個拉壓桿件變形部分經(jīng)典例題，豎直的桿1 和與其夾角為θ 的桿2 鉸接于D，B 和C 是固定鉸支座。由桿1 和桿2 組成的三角桁架結(jié)構(gòu)在鉸點(diǎn)D 受到豎直向下集中載荷P 的作用。

圖1 力學(xué)結(jié)構(gòu)模型示意圖

設(shè)桿1 的長度為L1，兩桿的楊氏模量均為E，橫截面面積均為A，變形后D 點(diǎn)的水平方向位移為u，豎直方向位移為v。利用原始尺寸原理，可以求得D 點(diǎn)的豎直位移為

圖2 給出了小變形假設(shè)條件下變形后的結(jié)構(gòu)示意圖，F(xiàn) 為D 變形后的位置，DF 與桿2 相互垂直，EF 與桿1 相互垂直。根據(jù)幾何關(guān)系，D 點(diǎn)的水平位移

根據(jù)水平位移u 的表達(dá)式，當(dāng)其他各參數(shù)確定時，兩桿初始夾角θ 越大，則u 越小。當(dāng)θ 趨近于0°時，u 趨于無限大，如圖2(a)所示。此時F 點(diǎn)向水平方向無限延伸，這顯然與客觀事實(shí)相悖。小變形假設(shè)失效，桿2 也不再是零力桿。為了進(jìn)一步探究真實(shí)的情況，下面解除小變形假設(shè)對結(jié)構(gòu)的變形進(jìn)行分析。需要注意的是，這里仍然遵循材料力學(xué)關(guān)于連續(xù)性，均勻性和各向同性的基本假設(shè)。依舊假設(shè)D 點(diǎn)變形到F 點(diǎn)，其水平位移為u，豎直位移為v，DF 不再與桿2 相互垂直，如圖3。

設(shè)變形后桿1 與豎直方向夾角為α，桿2 與豎直方向夾角為β。其中

圖2 θ 在不同角度時小變形假設(shè)條件下變形協(xié)調(diào)圖

圖3 非小變形條件下結(jié)構(gòu)的變形示意圖

桿2 的初始長度為

桿1 和桿2 的伸長量分別為

根據(jù)小變形情況下應(yīng)變的定義 ε = ΔL/L， 將式(3)～式(7) 代入其中并利用胡克定律，有

設(shè)F1和F2分別為桿1 和桿2 的內(nèi)力。根據(jù)力的平衡關(guān)系可以列出方程組

將式(8) 和式(9) 根據(jù)應(yīng)力的定義F = σA 代入式(10)，此時方程組中的未知量僅為u 和v。利用數(shù)值方法解出該方程，即可得到變形后的結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)型。

2 算例的計(jì)算結(jié)果

為了對小變形假設(shè)的適用情況給出定性和定量的解釋，考慮采用圖1 的模型作為算例并通過有限元仿真和數(shù)值計(jì)算進(jìn)行求解。設(shè)結(jié)構(gòu)參數(shù)為楊氏模量E =200 GPa，桿1 的長度L1=20 mm，截面面積A = 1 mm2，外載荷P = 400 N 豎直向下。有限元分析使用商用有限元軟件ABAQUS，模型為二維空間的桁架結(jié)構(gòu)，采用二節(jié)點(diǎn)二維桁架單元D2T2。結(jié)構(gòu)的應(yīng)變較小，且位移相對于原始尺寸也很小，一般認(rèn)為可以使用小變形假設(shè)。有限元仿真結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果如下。

2.1 小變形假設(shè)

圖4 小變形條件下節(jié)點(diǎn)D 的水平位移和豎直位移隨夾角θ 的變化

在有限元分析中關(guān)閉大變形選項(xiàng)。圖4 給出了小變形條件下節(jié)點(diǎn)D 的水平和豎直位移隨夾角θ 的變化情況。首先，有限元分析的結(jié)果基本落在理論解曲線上，也就是ABAQUS 內(nèi)置的桁架單元在不開啟大變形的條件下也遵循原始尺寸原理和“切線代圓弧” 的小變形假設(shè)。其次，根據(jù)式(2)，水平位移u 隨夾角θ 的變化呈余切關(guān)系，當(dāng)夾角θ 趨近于0°時，水平位移趨于無窮大，小變形假設(shè)失效。此外，豎直位移v 僅與材料參數(shù)、桿1 長度和外載荷相關(guān)，與夾角θ 無關(guān)，這一點(diǎn)從圖4(b) 可以得到印證。

圖5 展示了桿1 和桿2 的應(yīng)力隨夾角θ 的變化情況。根據(jù)小變形假設(shè)，桿2 是應(yīng)力為0 的零力桿，而外載荷P 的作用全部由桿1 承擔(dān)，其應(yīng)力在數(shù)值上等于相同桿件單獨(dú)承受外載荷P。

圖5 小變形條件下桿1 應(yīng)力和桿2 應(yīng)力隨夾角θ 的變化

2.2 非小變形假設(shè)

在前面的公式推導(dǎo)中，已給出了D 點(diǎn)水平位移u 和豎直位移v 關(guān)于外載荷P 和夾角θ 的方程組關(guān)系，利用數(shù)值方法解出位移u 與v，繪制出它們隨夾角θ 的變化，如圖6 所示。在有限元分析中打開大變形選項(xiàng)，其余與小變形情況下的仿真計(jì)算保持完全一致?？梢钥吹?，有限元計(jì)算和數(shù)值解基本吻合。隨著夾角θ 逐漸增大，水平位移首先迅速增加，在4°附近達(dá)到峰值，這是由于夾角較小的情況下桿2在一定程度上分擔(dān)了外載荷P 的作用，從而需要一定的水平位移來滿足力的平衡的需要。而隨著夾角θ 的繼續(xù)增加，水平位移逐漸衰減，并且在夾角θ 接近90°時趨近于0。此時兩桿的夾角較大，桿2 幾乎不再分擔(dān)外載荷作用。圖7 也顯示了隨著夾角逐漸增大，桿1 迅速承擔(dān)大部分外載荷而桿2 應(yīng)力迅速降低至接近0 的趨勢。另一方面，豎直位移則呈現(xiàn)隨著夾角增大而升高隨后不變的趨勢。為了定量分析桿2 的受力情況，考慮桿2 應(yīng)力僅為在桿1 完全單獨(dú)承受外載荷情況下產(chǎn)生應(yīng)力的10%，則可以得到當(dāng)夾角大于臨界值θCR= 7.23°時桿2 是近似零力桿的結(jié)論；如果將百分比減小到5%，則臨界夾角提高到θCR= 10.83°。以θCR為界限，將夾角大于θCR的大變形結(jié)果與小變形結(jié)果進(jìn)行對比，可以看到變化趨勢和數(shù)值結(jié)果都高度一致。

圖6 大變形條件下節(jié)點(diǎn)D 的水平位移和豎直位移隨夾角θ 的變化

圖7 大變形條件下桿1 應(yīng)力和桿2 應(yīng)力隨夾角θ 的變化

3 結(jié)論

對于如圖1 所示的三角桁架結(jié)構(gòu)來說，當(dāng)兩桿夾角非常小時，使用小變形假設(shè)會使得鉸點(diǎn)D出現(xiàn)極大的水平位移，這不再符合客觀物理規(guī)律。在很多材料力學(xué)課程中，都僅給出了小變形假設(shè)所導(dǎo)致的誤差與應(yīng)變之間的關(guān)系，并沒有說明對于特殊幾何構(gòu)型下不適用的情況。本文從探究三角桁架結(jié)構(gòu)零力桿問題入手，創(chuàng)新地將夾角θ與“桿2 是否可以看作零力桿” 這一特征問題聯(lián)系在一起，幫助學(xué)生對小變形假設(shè)的條件進(jìn)行定性理解，同時定量給出了在不同對相對誤差的要求下使用小變形假設(shè)對夾角θ的要求。

在本例中，小變形假設(shè)是原始尺寸原理和“切線代圓弧”共同作用的結(jié)果。本文可以補(bǔ)充現(xiàn)有課程中對小變形假設(shè)的適用條件，解決了學(xué)生對“小變形情況下是否都可以使用小變形假設(shè)” 這一問題的困擾，具有一定的教學(xué)意義。