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        考慮溫度效應的覆冰導線動力學建模及舞動特征研究1)

        2021-03-06 02:42:42閔光云劉小會蔡萌琦孫測世楊曙光張春霞
        力學與實踐 2021年1期
        關(guān)鍵詞:影響

        閔光云 劉小會,?, 蔡萌琦,?? 孫測世,? 楊曙光 張春霞

        *(重慶交通大學土木工程學院,重慶400074)

        ?(重慶交通大學省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點實驗室,重慶400074)

        **(成都大學建筑與土木工程學院,成都610106)

        ??(成都大學模式識別與智能信息處理四川省高校重點實驗室,成都610106)

        覆冰導線舞動是引起線路發(fā)生破壞的主要原因之一,因此研究覆冰導線舞動這一課題引起了學術(shù)界的關(guān)注[1]。覆冰導線舞動本質(zhì)屬于自激振動,通常表現(xiàn)為低頻、大振幅的幾何非線性特征[2-3]。在冬季季風的作用下,覆冰導線舞動可持續(xù)數(shù)十日,長時間舞動所產(chǎn)生的交變應力會導致線路破壞、螺栓松動等事故[4-7],嚴重危害著國民經(jīng)濟和人民安全。針對覆冰導線舞動的研究,科技學者們在這一領(lǐng)域做了許多貢獻[1-14]。Den Hartog[8]與Nigol 等[9]提出了各自的舞動機理,在學術(shù)界受到了廣泛的認可。秦力等[11]推導了二分裂覆冰導線舞動所產(chǎn)生的交變張力的表達式,并分析半波數(shù)等參數(shù)對交變張力的影響,得出覆冰二分裂導線的動態(tài)響應特性,最后結(jié)合ANSYS 有限元軟件對理論結(jié)果進行了驗證。向玲等[12]通過FLUENT 仿真軟件模擬了覆冰四分裂導線的氣動力系數(shù),并將該氣動力系數(shù)與風洞試驗所得氣動力系數(shù)進行對比,發(fā)現(xiàn)其結(jié)果比較吻合,接著將模擬所得的氣動力系數(shù)施加到有限元模型上,系統(tǒng)地研究了覆冰四分裂導線的舞動特征。周林抒等[13]采用ABAQUS 有限元軟件對覆冰六分裂導線的舞動進行了數(shù)值模擬,得到了覆冰六分裂導線的位移響應、舞動軌跡、交變張力,并將數(shù)值模擬結(jié)果與現(xiàn)場實測結(jié)果作對比,驗證了數(shù)值模擬結(jié)果的準確性。蔡萌琦等[14]在文獻[13]的基礎(chǔ)上進一步研究了覆冰八分裂導線的舞動特征,還討論了風速、檔距等參數(shù)對覆冰八分裂導線舞動特征的影響。

        在研究覆冰導線舞動時,大部分學者都忽略了溫度效應對覆冰導線舞動特征的影響,而實際工程中,溫度變化會導致覆冰導線膨脹或收縮,在覆冰導線內(nèi)部產(chǎn)生熱應力,進而可能對覆冰導線的舞動特征造成一定的影響。因此,本文在研究覆冰導線舞動特征時,重點考慮了溫度效應對覆冰導線舞動特征的影響,研究成果將對理論建模的完善與實際工程的指導有一定的參考價值。

        1 舞動方程

        建立如圖1 所示的覆冰導線數(shù)學模型,覆冰導線兩端鉸接,且以左鉸接點為笛卡爾坐標系的原點,兩鉸接點的連線為x 軸,y 軸正方向與重力加速度方向一致,z 軸正方向垂直于平面指向內(nèi)。圖1 中的Γ1表示覆冰導線的靜態(tài)構(gòu)型,Γ2表示覆冰導線的熱應力平衡構(gòu)型,Γ3表示覆冰導線的動態(tài)構(gòu)型。

        圖1 覆冰導線數(shù)學模型

        將覆冰導線當作連續(xù)體,根據(jù)牛頓力法可得覆冰導線靜態(tài)構(gòu)型上的平衡方程為

        式中,s 為弧坐標,m 為覆冰導線的單位質(zhì)量,g 為重力加速度,H 為初始張力。

        同理,可得到覆冰導線在熱應力平衡構(gòu)型上的平衡方程為

        式中,u,v,w 分別表示溫度變化引起的覆冰導線x軸、y 軸、z 軸方向位移的變化量;表示溫度變化引起的張力變化量。

        同理,也可得到覆冰導線在動態(tài)構(gòu)型上的平衡方程為

        式中,F(xiàn)V和FW分別表示y 軸、z 軸方向覆冰導線所受氣動載荷;cU,cV,cW分別表示覆冰導線x軸,y 軸,z 軸方向的阻尼系數(shù);分別表示在氣動載荷作用下覆冰導線x 軸、y 軸、z 軸方向增加的位移;為氣動載荷作用下覆冰導線張力的變化量。

        覆冰導線x 軸方向的振動波速遠小于y 軸、z軸方向的振動波速,因此忽略x 軸方向的位移,然后根據(jù)式(1)~式(3) 可得覆冰導線y 軸、z 軸方向的舞動控制方程為

        式中

        覆冰導線在氣動載荷作用下張力的表達式為

        式中,L 表示覆冰導線的跨徑。

        覆冰導線在氣動載荷下的位移為

        式中,φ2和φ3表示模態(tài)函數(shù),q2和q3表示振動函數(shù)。

        將式(5) 和式(6) 代入式(4),并根據(jù)Galerkin方法可得覆冰導線的舞動常微分方程

        式(7) 中的線性與非線性系數(shù)的表達式分別為

        2 氣動載荷分析

        冬季來臨時,在季風的影響下導線表面容易結(jié)冰,由于覆冰的影響,導線表面會受到一定大小的氣動載荷,為分析氣動載荷對覆冰導線的作用形式,首先需建立覆冰導線橫截面模型,如圖2 所示。

        圖2 覆冰導線橫截面

        FL表示氣動升力,F(xiàn)D表示氣動阻力,α 表示攻角,α0表示初始攻角,U 表示風速(方向平行于z軸)??傻玫?/p>

        式中,α = α0-αt,αt=/U;ρ 表示空氣密度;D表示迎風直徑;Cy和Cz分別表示y 軸、z 軸方向的氣動力系數(shù),其表達式為

        式中,α1,α2,α3,β1,β2,β3為待定系數(shù),可通過風洞試驗測得。

        初始攻角為一定常數(shù),只具備靜力效應,不影響覆冰導線的舞動特征,因此忽略初始攻角,然后將式(9) 代入式(8) 可得

        根據(jù)Galerkin 方法,上節(jié)內(nèi)容已經(jīng)得到

        將式(11) 代入式(10),并將所得結(jié)果代入式(7) 可得到新的覆冰導線舞動常微分方程

        式(12)新增加的線性與非線性系數(shù)的表達式分別為

        3 多尺度法分析

        覆冰導線的舞動一般屬于弱非線性系統(tǒng)的振動問題。針對弱非線性系統(tǒng)振動的研究,常用的定量分析方法有攝動法、KBM 漸進法、諧波平衡法以及多尺度法等。多尺度法[15-19]因邏輯清晰、計算結(jié)果精度高而受到科技學者們的青睞。

        為滿足多尺度法的求解格式,首先轉(zhuǎn)化式(12)為

        式中,ε 表示無量綱的小參數(shù),涉及到的其他線性與非線性系數(shù)的表達式分別為

        式(13) 的解為

        式中,q20和q30表示覆冰導線的周期解,q21和q31表示覆冰導線的修正解,T0和T1為時間尺度(物理意義分別表示關(guān)于時間t 的快變化量與慢變化量),且滿足

        式中,D0和D1為標記符號。

        將式(14)和式(15)代入式(13),并將涉及到小參數(shù)ε 的項分類整理可得:ε 的零次項

        ε 的一次項

        將式(16) 的解設(shè)為

        式中,AV和AW表示覆冰導線的舞動幅值(皆為T1的函數(shù)),cc 表示復雜的共軛項,i 為虛數(shù)單位。

        將式(18) 代入式(17) 可得

        根據(jù)微分方程的可解條件,式(19) 有解的充要條件為其久期項需為零,即

        將AV和AW改寫為極坐標形式,即

        式中,ξV和ξW表示振幅,μV和μW表示相位。

        將式(21) 代入式(20) 并分離實部和虛部可得

        式(22) 可根據(jù)Newton-Raphson 方法求解,當給定覆冰導線的物理參數(shù)與氣動力系數(shù)時,就能得到覆冰導線的位移時程曲線。

        4 算例分析

        本文的研究會涉及到覆冰導線的物理參數(shù),具體為:覆冰導線的拉伸剛度EA=13.3×106N,初始張力H=21.73×103N,單位質(zhì)量m=1.53 kg/m,平均風速U=4.1 m/s,覆冰導線的直徑D=0.018 8 m,空氣密度ρ=1.292 9 kg/m3,y 軸的黏性阻尼系數(shù)cV=0.01,z 軸的黏性阻尼系數(shù)cW=0.379,熱膨脹系數(shù)α=1.68×10-5°C-1,氣動力系數(shù)α1=-0.667,α2=-16.218 8,α3=33.432 4,β1=3.442,β2=3.33,β3=7.1262,靜態(tài)初始構(gòu)型y =(mgx/2H)×(L-x),模態(tài)函數(shù)φ2=sin(πx/L),φ3=sin(πx/L)。

        本文推導了覆冰導線面內(nèi)、面外固有頻率的計算式,從計算式中得知溫度的變化會導致覆冰導線固有頻率的變化,為系統(tǒng)地分析不同檔距下覆冰導線固有頻率隨溫度變化的趨勢,現(xiàn)給出了覆冰導線檔距L 分別為80 m,150 m,300 m,500 m 下溫度對面內(nèi)、面外固有頻率的影響曲線,見圖3。

        從圖3 可知:覆冰導線檔距L 為80 m 和150 m時,隨著溫度的升高,覆冰導線的面內(nèi)、面外的頻率都將增加;覆冰導線檔距L 為300 m 和500 m時,隨著溫度的升高,覆冰導線的面內(nèi)的頻率將下降、面外的頻率將增加。這是因為面內(nèi)頻率的表達式為ω22=?1/?6,即影響面內(nèi)頻率的系數(shù)主要為?1和?6。其中?6= -∫L0 mφ22dx,且?6隨著檔距的增加而增加,?1表達式為

        但?1的變化與檔距和溫度都有關(guān)。檔距較小時,?1的大小主要由決定,即隨著溫度增高、檔距變大,?1的值會增加;檔距較大時,影響系數(shù)?1的多項式

        圖3 溫度對固有頻率的影響(不同檔距)

        的值會變大,且該值為負數(shù),進而會使得?1的值變小。面外頻率的表達式為ω23=ν1/ν5,即影響面內(nèi)頻率的系數(shù)主要為ν1和ν5,且都隨著檔距和溫度的增加而增加,但ν5的增加速度比ν1的增加速度快,即在大檔距下面外頻率的斜率較小。由此可知不同檔距下,溫度對覆冰導線面內(nèi)、面外的頻率的影響是很顯著的。

        覆冰導線的初始張力H 一般在3.0×104N 上下浮動,為分析不同張力下覆冰導線固有頻率隨溫度變化的趨勢,現(xiàn)給出了覆冰導線張力H 分別為2.0×104N,3.0×104N,4.0×104N,5.0×104N 下溫度對面內(nèi)、面外固有頻率的影響曲線,見圖4。

        從圖4 可知:覆冰導線初始張力H 為2.0×104N和3.0×104N 時,隨著溫度的升高,覆冰導線的面內(nèi)的頻率將下降、面外的頻率將增加;覆冰導線初始張力H 為4.0×104N 和5.0×104N 時,隨著溫度的升高,覆冰導線的面內(nèi)、面外的頻率都將增加。這是因為面內(nèi)的頻率為ω22= ?1/?6,當張力較小時,影響系數(shù)?1的多項式

        圖4 溫度對固有頻率的影響(不同張力)

        的值會隨著溫度的升高而變大,且該值為負數(shù),因此會使得面內(nèi)的頻率變??;當張力較大時,多項式

        的值對頻率的影響將越來越小,因此當初始張力H為4.0×104N 和5.0×104N 時,面內(nèi)的頻率表現(xiàn)為緩慢增加的趨勢。由此可知不同張力下,溫度對覆冰導線面內(nèi)、面外的頻率的影響也是很顯著的。

        根據(jù)上述分析得知:溫度變化會導致覆冰導線面內(nèi)、面外頻率的改變,進而可能導致舞動幅值發(fā)生改變。實際生活中500 m 的大跨越覆冰導線隨處可見,因此下面給出檔距L 為500 m 的覆冰導線在ΔT = -40°C,ΔT = 0°C,ΔT = 40°C 時的位移時程曲線,見圖5 ~圖7。

        圖5 位移響應曲線(T =-40°C)

        從圖5 ~圖7 可知:覆冰導線的舞動是一個能量逐漸積累的過程。在600 s 之前,隨著時間的推移,面內(nèi)、面外的幅值逐漸增加,當達到600 s 左右時,導線逐漸趨于穩(wěn)定,穩(wěn)定后幅值保持不變;溫度對幅值的影響比較顯著。當溫度降低時,導線穩(wěn)定后的幅值會降低,當溫度升高時,導線穩(wěn)定后的幅值會增加,因此針對覆冰導線舞動特征研究時,有必要考慮溫度效應對覆冰導線舞動特征的影響。

        圖6 位移響應曲線(T =0°C)

        圖6 位移響應曲線(T =0°C) (續(xù))

        圖7 位移響應曲線(T =40°C)

        根據(jù)上述分析可知,溫度變化會對覆冰導線的舞動幅值造成影響,為了更加清楚地對比不同溫度變化下覆冰導線舞動幅值的區(qū)別,圖8~圖10 給出了處于穩(wěn)定狀態(tài)下10 s 內(nèi)的幅值對比分析圖,還給出了數(shù)值解用來驗證本文結(jié)果的有效性、適用性。

        圖8 面內(nèi)的位移響應曲線(不同溫度下)

        圖9 面外的位移響應曲線(不同溫度下)

        圖9 面外的位移響應曲線(不同溫度下) (續(xù))

        圖10 軌跡曲線(不同溫度下)

        從圖8~圖10 可知:當覆冰導線穩(wěn)定時,導線面內(nèi)、面外的幅值都將保持不變,穩(wěn)定時點的軌跡近似為橢圓,穩(wěn)定后舞動的周期保持不變;且隨著溫度的升高,覆冰導線面內(nèi)、面外的幅值明顯增加,隨著溫度的降低,覆冰導線面內(nèi)、面外的幅值明顯降低,因此考慮溫度變化對導線舞動特征的影響是必要的;多尺度法所得解與數(shù)值法所得解比較吻合,驗證了本文結(jié)果的有效性。

        5 結(jié)論

        本文推導了考慮溫度效應的覆冰導線舞動方程,隨后采用多尺度法求得了覆冰導線的位移響應表達式,最后進行了參數(shù)分析、算例分析,且通過數(shù)值法對所得結(jié)果進行了驗證,所得結(jié)論如下:

        (1) 覆冰導線檔距L為80 m 和150 m 時,隨著溫度的升高,覆冰導線的面內(nèi)、面外的頻率都將增加;覆冰導線檔距L為300 m 和500 m 時,隨著溫度的升高,覆冰導線的面內(nèi)的頻率將下降、面外的頻率將增加。因此,不同檔距下,溫度對覆冰導線面內(nèi)、面外的頻率的影響是很顯著的。

        (2) 覆冰導線張力H為2.0×104N 和3.0×104N 時,隨著溫度的升高,覆冰導線的面內(nèi)的頻率將下降、面外的頻率將增加;覆冰導線張力H為4.0×104N 和5.0×104N 時,隨著溫度的升高,覆冰導線的面內(nèi)、面外的頻率都將增加。因此,不同張力下,溫度對覆冰導線面內(nèi)、面外的頻率的影響是很顯著的。

        (3)覆冰導線的舞動是一個能量積累的過程,隨著溫度的升高,覆冰導線面內(nèi)、面外的幅值明顯增加,隨著溫度的降低,覆冰導線面內(nèi)、面外的幅值明顯降低。針對覆冰導線舞動特性分析時,考慮溫度變化對導線舞動特征的影響是必要的。

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