徐嘉怡，聶思宇，王 璐

(天津師范大學(xué) 津沽學(xué)院，天津 300387)

“同心協(xié)力”(又名同心鼓)是一項(xiàng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的拓展項(xiàng)目。要求在保證安全的情況下，盡可能創(chuàng)造更多的顛球記錄。該游戲需要隊(duì)員之間的密切配合，過程中每個(gè)人的用力方向、發(fā)力時(shí)機(jī)、力度等因素，均會(huì)影響游戲結(jié)果。要確定并討論鼓面傾斜度與每個(gè)人發(fā)力時(shí)間和力度大小的關(guān)系，保持鼓面水平，使球自動(dòng)下落，自動(dòng)彈起，完成比賽。為使得連續(xù)顛球的次數(shù)達(dá)到最多，主要研究以下兩個(gè)問題。

問題一：在理想狀態(tài)下，且每個(gè)人都可以精準(zhǔn)控制用力方向，制定一個(gè)最佳的協(xié)作策略，并求出顛球的高度。

問題二：在現(xiàn)實(shí)情形下，鼓面會(huì)出現(xiàn)傾斜，出現(xiàn)傾斜角度這個(gè)量，需要建立模型描述隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度與某一特定時(shí)刻的鼓面傾斜角度的關(guān)系。已知隊(duì)員人數(shù)8人，繩長(zhǎng)1.7 m,鼓面的初始時(shí)刻是水平靜止，初始位置較繩子水平下降11 m,設(shè)定不同的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度，求偏差0.1 s的鼓面不同的傾斜角度。

1 問題分析

問題一的條件是在理想狀態(tài)下，忽略空氣阻力，由于球與鼓之間發(fā)生的碰撞為彈性碰撞，所以沒有能量的損失，同心鼓是一個(gè)質(zhì)量均勻的鼓體，需要分別分析鼓、球的受力情況，球與鼓的碰撞時(shí)刻的受力分析，分別建立滿足各種狀態(tài)下的力學(xué)模型。分析球與鼓的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，建立坐標(biāo)系?？梢愿鶕?jù)數(shù)據(jù)信息，利用牛頓第二定律、動(dòng)能守恒、能量守恒、二階微分方程，求出該策略的顛球高度，制定團(tuán)隊(duì)的最佳協(xié)作策略。

問題二相對(duì)于問題一復(fù)雜一點(diǎn)，因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)情況下涵蓋事件的不確定性，隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度都不能得到有效控制。從現(xiàn)實(shí)情況出發(fā)，在顛球過程中，鼓面由于受力不均會(huì)出現(xiàn)傾斜，需要建立較理想的模型，描述隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度與某一特定時(shí)刻的鼓面傾斜角度的關(guān)系。根據(jù)已知條件：鼓面的初始時(shí)刻是水平靜止，因?yàn)槭芰Σ痪饣蛘甙l(fā)力時(shí)機(jī)偏差0.1 s時(shí),鼓面傾斜，我們利用動(dòng)能定理、沖量、受力情況求解。

2 模型假設(shè)

A.同心鼓的人數(shù)有偶數(shù)個(gè)人，且不少于8人。B.忽略空氣阻力。C.每個(gè)人可以精確控制發(fā)力方向、力度與時(shí)機(jī)。D.球與鼓的碰撞為彈性碰撞。E.人圍著鼓均勻站立。

3 模型的建立與求解

同心鼓拓展項(xiàng)目問題需要討論每個(gè)人的發(fā)力時(shí)機(jī)及力度，使得游戲在團(tuán)隊(duì)協(xié)作下能夠使連續(xù)顛球次數(shù)盡可能更多。根據(jù)題目所給信息和要求，建立以下數(shù)學(xué)模型和算法。

問題一：

假設(shè)人數(shù)為n，在理想狀態(tài)下，每個(gè)人繞著鼓均勻站立，每個(gè)人用力均為F，方向取向上為正，隊(duì)員將鼓從靜止的初始位置拉至水平，與球發(fā)生碰撞。鼓的重量為M，球的重量為m。

對(duì)鼓的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分析：以繩水平的高度建立坐標(biāo)系，可以得到鼓受力為Fx=Fcosθ1(水平方向所受力)Fy=Fsinθ1(豎直方向所受力)，設(shè)繩長(zhǎng)為l，繩與水平方向的夾角θ1，則鼓的初始位置為(0,0,z0)，z0=-l·sinθ1，由分析得所有隊(duì)員水平拉力和為0，合力方向豎直向上。根據(jù)牛頓第二定律，z(t)滿足微分方程

mv1+Mv2=mv1′+Mv2′

解得：

若球從h落下，若想再一次彈到h高度，則v1′=-v1，v=v1，解得：

問題二：

同心鼓在受力過程中，由于每個(gè)人發(fā)力時(shí)機(jī)及發(fā)力大小的不同，會(huì)導(dǎo)致同心鼓轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)鼓在做剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。

4 模型評(píng)價(jià)

問題一中為了方便計(jì)算，受力分析過程忽略空氣阻力，但由于排球的體積較大，空氣阻力影響也較大。

問題二中在計(jì)算鼓的傾斜角度時(shí)，將在鼓面所處同一直徑上的兩個(gè)人對(duì)的鼓抽象為一個(gè)木棍模型，實(shí)際中鼓是一個(gè)整體存在，不能將其分割進(jìn)行單獨(dú)分析。且在受力分析中假設(shè)鼓的中心存在一個(gè)軸，進(jìn)行上下旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生傾斜角，實(shí)際中鼓的兩端由于受力都會(huì)同時(shí)向上進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。