劉 焱

[山東協(xié)和學(xué)院基礎(chǔ)部(思政部)，濟(jì)南 250109]

1 專業(yè)課與線性代數(shù)的對(duì)接

1.1 行列式部分內(nèi)容的優(yōu)化

行列式是線性代數(shù)的重要組成部分，是解線性方程組的重要工具，而線性方程組在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域非常重要，比如經(jīng)濟(jì)中的成本問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題。以成本問(wèn)題為例，一次投入一批材料會(huì)生產(chǎn)出不同的幾種產(chǎn)品，現(xiàn)需要核算每種產(chǎn)品的成本。這種情況可以通過(guò)生產(chǎn)幾次進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，比如第一批生產(chǎn)A、B產(chǎn)品分別是20 kg、30 kg，總成本500元，第二批生產(chǎn)A、B產(chǎn)品分別是40 kg、20 kg，總成本600元，求每種產(chǎn)品的單位成本。

解：設(shè)A、B兩種產(chǎn)品單位成本分別為x，y，列方程組如下：

因此，在講授行列式相關(guān)問(wèn)題時(shí)，適當(dāng)加入以上類(lèi)似的經(jīng)濟(jì)類(lèi)問(wèn)題，使得學(xué)到的知識(shí)學(xué)以致用，能夠大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

1.2 矩陣計(jì)算部分內(nèi)容的優(yōu)化

線性代數(shù)內(nèi)容中最基礎(chǔ)、最重要、內(nèi)容最多的是矩陣。矩陣是線性代數(shù)內(nèi)容中最基本的概念，矩陣的運(yùn)算是線性代數(shù)非常重要的內(nèi)容。矩陣被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，在物理學(xué)中，矩陣于力學(xué)、量子力學(xué)、光學(xué)和電路學(xué)中都有應(yīng)用?；ヂ?lián)網(wǎng)背景下，矩陣也在計(jì)算機(jī)編程、三維動(dòng)畫(huà)制作中起到很大的作用。一些特殊矩陣如稀疏矩陣、準(zhǔn)對(duì)角矩陣、單位矩陣、零矩陣有更簡(jiǎn)單的計(jì)算方法。矩陣的運(yùn)算在數(shù)學(xué)計(jì)算領(lǐng)域具有重要作用，大大提高了矩陣的利用率。在實(shí)際生活中，矩陣?yán)碚摵途仃嚨挠?jì)算無(wú)處不在，例如萊斯利人口模型中矩陣冪運(yùn)算的應(yīng)用，經(jīng)濟(jì)管理問(wèn)題中的生產(chǎn)成本會(huì)用到矩陣乘法運(yùn)算，希爾密碼會(huì)用到逆矩陣和矩陣乘法運(yùn)算等，很多領(lǐng)域都和矩陣密切相關(guān)。

第一，矩陣乘法的應(yīng)用——生產(chǎn)成本問(wèn)題。

某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品的原料費(fèi)、工資支付、管理費(fèi)等見(jiàn)表1。每季度生產(chǎn)每種產(chǎn)品的數(shù)量見(jiàn)表2。

表1 生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本(美元)Tab.1 Cost of unit product(dollar)

表2 每季度產(chǎn)量Tab.2 Quarterly production

用矩陣的方法考慮這個(gè)問(wèn)題，這兩張表格中的數(shù)據(jù)均可表示為一個(gè)矩陣，計(jì)算MP得：

MP的四列分別表示夏、秋、冬、春四季生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總成本。MP三行分別表示四個(gè)季度中每一季度原料的總成本、工資的總成本、管理的總成本。

第二，逆矩陣的應(yīng)用——應(yīng)用矩陣編制Hill密碼。

古代戰(zhàn)爭(zhēng)中，為了避免信息泄露開(kāi)始啟用暗語(yǔ)，后期軍事信息的傳遞更加謹(jǐn)慎精密。1929年，Lester·Hill通過(guò)矩陣?yán)碚摪l(fā)明了非常經(jīng)典的希爾密碼。希爾密碼是利用了基本矩陣原理的替換密碼，主要通過(guò)運(yùn)用矩陣的乘法對(duì)所傳輸信息進(jìn)行加密處理，然后利用逆矩陣進(jìn)行解密，矩陣的運(yùn)用在信息加密中得到明顯體現(xiàn)。隨著科技和信息化的高速發(fā)展，密碼學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域都起著非常重要的作用。

希爾密碼原理：英文中有26個(gè)字母，每個(gè)字母對(duì)應(yīng)一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，假如向?qū)Ψ絺鬏敗癓OVE”，傳輸者需要先寫(xiě)出信息對(duì)應(yīng)的數(shù)字，即12、15、22、5，然后將這些數(shù)字按列寫(xiě)成兩行的矩陣A，這是原矩陣即信息源，引入加密矩陣C,該矩陣必須為可逆矩陣,B為加密后的矩陣，即對(duì)方收到的信息：

對(duì)方接收到的信息即為B矩陣中的四個(gè)數(shù)字，然后接收者需要解密。操作過(guò)程中只需要將接收到的四個(gè)數(shù)字寫(xiě)成矩陣B的形式，該部分需要用到逆矩陣的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算：

對(duì)照26個(gè)字母對(duì)應(yīng)的數(shù)字可以知道源信息為“LOVE”。

以上例子只是簡(jiǎn)單介紹原理，所以計(jì)算量和加密過(guò)程簡(jiǎn)單，破解難度小，但是在實(shí)際應(yīng)用中，加密信息的方式更加豐富，信息量要更大，破解的難度也會(huì)相應(yīng)增大，但是可以增加信息傳送的安全性。

2 教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化

2.1 化繁為簡(jiǎn)

課程中有很多定理的證明過(guò)程比較復(fù)雜，比如克拉默法則在線性方程組的計(jì)算中有很大作用，但是其證明過(guò)程復(fù)雜難懂，可以刪減該部分，著重加強(qiáng)克拉默法則的應(yīng)用練習(xí)。矩陣秩的性質(zhì)的證明也較為復(fù)雜，后期的內(nèi)容中該部分用處不大，也可省略證明過(guò)程等。

2.2 錦上添花

線性代數(shù)教學(xué)中可以適當(dāng)增加數(shù)學(xué)文化與相關(guān)歷史人物的內(nèi)容，重現(xiàn)問(wèn)題情景以引起學(xué)生的情感體驗(yàn)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)做好線性代數(shù)課程思政的融入。

2.3 增加MATLAB，與實(shí)際接軌

線性代數(shù)教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)計(jì)算冗繁、與現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)科發(fā)展脫節(jié)的問(wèn)題，將MATLAB引入教學(xué)，能提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。比如逆矩陣的計(jì)算是矩陣?yán)碚撝械碾y點(diǎn)，學(xué)生普遍反映其計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，有畏難情緒。如果借鑒MATLAB編程，則計(jì)算速度很快，操作只需兩步即出答案，大大減少了計(jì)算量，同時(shí)強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)MATLAB的掌握，提高了學(xué)生的應(yīng)用能力。

3 結(jié)語(yǔ)

教學(xué)中對(duì)線性代數(shù)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)能更好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率，并能大大提升學(xué)生利用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。