李慧君, 莫宏敏, 黃家賢

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖南 吉首 416000)

求x∈Rn,且滿足

x≥0,Mx+q≥0,(Mx+q)Tx=0,

其中M=(mij)∈Rn×n為給定的實(shí)矩陣,q∈Rn為給定的實(shí)向量.稱該數(shù)學(xué)模型為線性互補(bǔ)問題,記作LCP(M,q).在機(jī)械、策論、金融和數(shù)學(xué)規(guī)劃等領(lǐng)域，線性互補(bǔ)問題都具有廣泛應(yīng)用,如期權(quán)定價(jià)和彈性接觸問題等[1-3].

矩陣的結(jié)構(gòu)性質(zhì)關(guān)系著所在線性互補(bǔ)問題解的性質(zhì),為了方便LCP(M,q)的求解,設(shè)矩陣M為某些特定結(jié)構(gòu).例如,使線性互補(bǔ)問題具有唯一解的矩陣為P-矩陣[2].2006年,陳小君等[4]給出了當(dāng)矩陣M為P-矩陣時(shí)線性互補(bǔ)問題的誤差界:

其中：x*是LCP(M,q)的解；r(x)=min{x,Mx+q}，表示對(duì)向量x與Mx+q對(duì)應(yīng)位置分量取最?。籇=diag(d1,d2,…,dn)(0≤di≤1).

近年來,當(dāng)矩陣M屬于某些特殊矩陣類時(shí),學(xué)者得到了其誤差界估計(jì)式[5-13].筆者將繼續(xù)討論,并給出P-矩陣的子類B-矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界的一個(gè)新估計(jì)式.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A=(aij)∈Rn×n,N={1,2,…,n},若

則稱A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣[14];若aij≤0(i≠j),則稱A為Z-矩陣[14];若A為Z-矩陣且A-1≥0,則稱A為M-矩陣[14].

定義1[15]設(shè)A=(aij)∈Rn×n,若對(duì)于?i,j∈N,且i≠j,有

則稱A為B-矩陣.

2009年,García-Esnaola等[8]給出了當(dāng)矩陣M為B-矩陣時(shí),線性互補(bǔ)問題解的誤差界估計(jì)式:設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,且M=B++C,其中

(1)

(2)

2016年,李朝遷等[13]得到了優(yōu)于(2)式的新估計(jì)式:設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,且M=B++C,其中B+=(bij)形如(1)式,則有

(3)

2 主要結(jié)果及其證明

令A(yù)=(aij)∈Rn×n,對(duì)于?i,j∈N,記

引理1[16]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣,則有

引理2[11]設(shè)γ>0和η≥0,則對(duì)于?x∈[0,1],有

且

引理3[12]設(shè)A=(aij)∈Rn×n,且

則對(duì)于?xi∈[0,1],i∈N，有

定理1設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,且M=B++C,其中B+=(bij)形如(1)式,則有

(4)

證明令MD=I-D+DM,則

(5)

由引理2可知,對(duì)于?i,j,k,m∈N,有

由于

因此

進(jìn)一步得到

(6)

(7)

且

(8)

由(6),(7)和(8)式可得

(9)

由(5)和(9)式可知(4)式成立.證畢.

定理2設(shè)M=(mij)∈Rn×n是B-矩陣,且M=B++C,B+=(bij)形如(1)式,則有

證明由B+是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)Z-矩陣,存在(B+)-1≥0,即B+是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣.對(duì)于?i∈N,有

(10)

由(10)式可得

(11)

由(11)式，對(duì)于?i∈N,有

(12)

則對(duì)于?j=1,2,3,…,n-1,有

(13)

由(12),(13)式可得

證畢.

3 數(shù)值算例

例1考慮B-矩陣[13]:

利用(2)式可得

于是

30(k+1)→+∞k→+∞.

(14)

利用(3)式可得

(15)

利用(4)式可得

(16)

易證(16)式優(yōu)于(15)式.

表的誤差界序列

由(14)式和表1可知,(4)式優(yōu)于(2)式和(3)式.這說明,定理1的誤差界估計(jì)式在一定條件下優(yōu)于文獻(xiàn)[8，13]中的結(jié)果.