石 慧,庹 清,吳 樂
(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖南 吉首 416000)
廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣在經(jīng)濟數(shù)學(xué)、控制論和矩陣?yán)碚摰确矫娑加袕V泛應(yīng)用,且許多問題都?xì)w結(jié)于廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的數(shù)值判定上,而這個數(shù)值判定是比較困難的.近年來,眾多學(xué)者給出了廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的一些判定準(zhǔn)則[1-11].其中,范迎松等[1]運用細(xì)分和迭代的思想,通過對矩陣的非占優(yōu)行指標(biāo)集進行細(xì)分,以及對矩陣的占優(yōu)行指標(biāo)集構(gòu)造遞進式正對角因子的方法,給出了一組廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的細(xì)分迭代判別準(zhǔn)則.筆者受此啟發(fā),擬進一步研究廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的判定問題,運用細(xì)分矩陣的非占優(yōu)行指標(biāo)集和構(gòu)造遞進式新正對角因子的方法,給出廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的遞進式判定新準(zhǔn)則.
(3)若存在正對角矩陣X,使得AX∈D,則稱A是廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,也稱為非奇異H-矩陣.記廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的全體為D*.
定義2[4]若A∈D0,并對于滿足|aii|=Λi的下標(biāo)i都存在非零元素鏈aij1aj1j2…ajsj滿足|ajj|>Λj,則稱A為具有非零元素鏈的對角占優(yōu)矩陣.
引理1[3]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,是具有非零元素鏈的對角占優(yōu)矩陣,則A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.
引理2[3]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,是不可約對角占優(yōu)矩陣,則A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.
引理3[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n.若?l∈N,使得
則A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.
引理4[2]設(shè)A=(aij)∈Cn×n.記
則A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.
由定義1可知,因為找到正對角矩陣X使得矩陣AX∈D,是判定矩陣A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的關(guān)鍵,所以筆者將在文獻[1-2]的基礎(chǔ)上,通過細(xì)分矩陣的非占優(yōu)行指標(biāo)集和構(gòu)造遞進式新正對角因子得到新的正對角矩陣.
為了敘述方便,記
定理1設(shè)A=(aij)∈Cn×n.若?l0∈N,使得
再根據(jù)h2,i,r2的定義可知,對于?i∈N3,有h2,i≤r2≤r1<1.設(shè)l=s時,hs+1,i≤rs+1≤rs=1,則當(dāng)l=s+1時,由于
因此根據(jù)hs+2,i,rs+2的定義可知,對于?i∈N3,有hs+2,i≤rs+2≤rs+1<1.于是由數(shù)學(xué)歸納法可知
hl+1,i≤rl+1≤rl<1 ?i∈N3,l∈N.
(1)
對于充分小的正數(shù)ε,由條件可知,?l0∈N,使得ε滿足
(2)
(3)
構(gòu)造正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn),并記B=AX=(bij),其中
對于?i∈N2,由(3)式可得
(4)
由(1)式可得
(5)
對于?i∈N3,由(4),(5)式可得
此時,只需驗證l=0時,是否滿足定理1條件即可.
此時,需要依次驗證l=0,1,…時,是否滿足定理1條件.
定理2設(shè)A=(aij)∈Cn×n,且A為不可約矩陣.若?l0∈N,使得
(6)
(7)
且不等式(6),(7)中至少有1個嚴(yán)格不等式成立,則A∈D*.
構(gòu)造正對角矩陣X1=diag(x1,x2,…,xn),并記B1=AX1=(bij),其中
(8)
由(7)式可知,對于?i∈N2,有
(9)
對于?i∈N2,由(9)式可得
對于?i∈N3,由(5)式可得
定理3設(shè)A=(aij)∈Cn×n,若?l0∈N,使得
(10)
(11)
且對于不等式(10),(11)中等號成立的i,都存在非零元素鏈aij1aj1j2…ajsj滿足
則A∈D*.
例1考慮矩陣A,
取m=3,?l∈N時,可以驗證矩陣A不滿足文獻[1]中定理1的條件.
于是
由此可知矩陣A滿足定理1的條件,從而A∈D*.
容易證明AX∈D,于是A∈D*.
例2考慮矩陣B,
取m=1,?l∈N時,可以驗證矩陣B不滿足文獻[8]中定理1的條件.
取m=1,l=0和l=1時,可以驗證矩陣B不滿足文獻[1]中定理1的條件.
于是
由此可知矩陣B滿足定理1的條件,從而B∈D*.
容易證明BX∈D,于是B∈D*.
例3考慮矩陣C,
取?l∈N時,可以驗證矩陣C不滿足文獻[2]中定理2的條件,且不滿足文獻[6]中定理1的條件和文獻[7]中定理1的條件.
取m=2,l=0或l=1時,可以驗證矩陣C滿足定理1的條件.
于是
由此可知矩陣C滿足定理1的條件,從而C∈D*.
容易證明CX∈D,于是C∈D*.