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        滯后型測(cè)度泛函微分方程的Φ-有界變差解*

        2021-03-05 04:10:54李寶麟丁利波
        關(guān)鍵詞:分劃變差測(cè)度

        李寶麟,丁利波

        (西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

        1 問題的提出

        為了求解微分方程,1957年Kurzweil首次提出了廣義常微分方程理論[1].由英國(guó)數(shù)學(xué)家Kurzweil和捷克數(shù)學(xué)家Henstock定義的Henstock-Kurzweil積分(簡(jiǎn)稱為H-K積分)包括Newton積分、Riemann積分和Lebesgue積分,H-K積分是處理高度無限振蕩函數(shù)的有效工具.Φ-有界變差函數(shù)理論[2-3]是有界變差函數(shù)理論的發(fā)展與推廣,學(xué)者對(duì)Φ-有界變差函數(shù)理論進(jìn)行了比較廣泛的討論.例如,李寶麟等首次將Φ-有界變差函數(shù)理論與Kurzweil方程理論結(jié)合起來,建立了Kurzweil方程的Φ-有界變差解的存在性定理[4],然后建立了一類脈沖微分系統(tǒng)Φ-有界變差解的局部存在性定理[5];肖艷萍等[6]建立了一類不連續(xù)系統(tǒng)的Φ-有界變差解.滯后型測(cè)度泛函微分方程是泛函微分方程理論的一個(gè)分支,F(xiàn)ederson等[7]建立了滯后型測(cè)度泛函微分方程

        Dy=f(yt,t)Dg,

        (1)

        其等價(jià)的積分方程為

        (2)

        并建立了在一定條件下方程(2)與廣義常微分方程的等價(jià)關(guān)系.(1)式中Dy,Dg分別表示函數(shù)y和g的分布導(dǎo)數(shù);(2)式右端積分是關(guān)于不減函數(shù)g的Kurzweil-Stieltjes積分.

        筆者將討論滯后型測(cè)度泛函微分方程初值問題

        (3)

        2 預(yù)備知識(shí)

        定義1[8]2-3稱函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn在[a,b]上是Kurzweil可積的,如果存在I∈Rn及正值函數(shù)δ:[a,b]→R+,使得對(duì)于[a,b]上的任何δ-精細(xì)分劃

        D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k},

        其中τi∈[αi-1,αi]?(τi-δ(τi),τi+δ(τi)), 有

        設(shè)Φ(u)是對(duì)于?u≥0定義的連續(xù)不減函數(shù),且滿足Φ(0)=0.對(duì)于?u>0,Φ(u)>0,假定Φ(u)滿足下列條件:

        (C1)存在u0,L>0,使得對(duì)于?0

        定義2[2]設(shè)[a,b]?R,-∞

        稱VΦ(x;[a,b])為函數(shù)x(t)在[a,b]上的Φ-變差.

        引理1[2]若Φ(u)滿足條件(C1)和(C2),則BVΦ([a,b],Rn)點(diǎn)列按Φ-范數(shù)收斂等價(jià)于Φ-變差收斂.

        假定f,g滿足以下條件:

        (H1)存在正值函數(shù)δ(τ):[t0,+∞)→R+,使得對(duì)于?τ∈[u,v]?(τ-δ(τ),τ+δ(τ))?[t0,+∞)及y∈T,有

        ‖f(yτ,τ)(g(v)-g(u))‖≤Φ(|h(v)-h(u)|).

        (4)

        (H2)對(duì)于?τ∈[u,v]?(τ-δ(τ),τ+δ(τ))?[t0,+∞)及x,y∈T,有

        ‖f(xτ,τ)-f(yτ,τ)‖(g(v)-g(u))≤ω(‖xτ-yτ‖)Φ(|h(v)-h(u)|).

        (5)

        其中:h:[t0,+∞)→R,是不減函數(shù);ω:[0,+∞)→R,是連續(xù)的增函數(shù),且ω(r)>0,r>0,ω(0)=0.

        3 Φ-有界變差解

        定義3設(shè)t∈[t0,+∞),稱y(t,t0,φ)為滯后型測(cè)度泛函微分方程初值問題(3)的Φ-有界變差解,如果:

        (2)yt0=φ;

        (3)y在[t0,+∞)的任何緊子區(qū)間上是Φ-有界變差函數(shù);

        (4)當(dāng)t∈[t0,+∞)時(shí),(yt,t)∈Ω.

        VΦ(y;[α,β])≤Φ(VΦ(h;[α,β]))<+∞.

        因?yàn)棣攀侨我獾?,所?/p>

        (6)

        設(shè)α=s0

        (7)

        由(7)式,有

        (8)

        在(8)式右端對(duì)[α,β]上的所有分劃取上確界,有

        證畢.

        定理2設(shè)f,g滿足條件(H1)和(H2),則有:

        (ⅰ)y:[α,β]→Rn,[α,β]?[t0-r,+∞)是函數(shù)yk:[α,β]→Rn組成的序列{yk}k∈N逐點(diǎn)收斂的極限,使得對(duì)于每個(gè)k∈N,s∈[α,β],有(ys,s)∈Ω,((yk)s,s)∈Ω.

        (9)

        證明假設(shè)f是實(shí)函數(shù),由(5)式,對(duì)于每個(gè)τ∈[α,β]?[t0-r,+∞),s1≤τ≤s2,[s1,s2]?[α,β],有

        ‖f((yk)τ,τ)-f(yτ,τ)‖(g(s2)-h(s1))≤ω(‖(yk)τ-yτ‖)Φ(h(s2)-h(s1)).

        (10)

        不等式(10)有如下形式:

        其中f((yk)τi,Li)=f((yk)τi,si)-f((yk)τi,si-1).由ε的任意性,有

        4 滯后型測(cè)度泛函微分方程Φ-有界變差解的存在性

        從而

        對(duì)于?ε>0,存在正值函數(shù)δ(τ),使得[s1,s2]上的任何δ-精細(xì)分劃D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,m},滿足τi-δ(τi)<αi-1≤τi≤αi<τi+δ(τi)),于是

        (11)

        由(5)和(11)式,有

        由ε>0的任意性,可得

        其中s1,s2∈[t0-Δ-,t0-Δ+].所以,對(duì)于[t0-Δ-,t0-Δ+]上的任何分劃t0-Δ-=β0<β1<…<βn=t0+Δ+,有

        (12)

        (13)

        由(13)式,有

        于是

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