范士超，李發(fā)家，崔煥勇*，吳偉，張少運

高重合度直齒輪剛度及最大載荷分擔(dān)率的影響分析*

范士超1，李發(fā)家1，崔煥勇1*，吳偉2，張少運2

（1.濟(jì)南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250022；2.山東蒙沃變速器有限公司，山東 臨沂 276000）

針對高重合度外嚙合齒輪，在考慮輪齒彈性變形的前提下，研究了外嚙合高重合度外嚙合漸開線直齒圓柱齒輪副的輪齒變形、剛度及最大載荷分擔(dān)率在輪齒參數(shù)變化時的變化規(guī)律。研究表明：在給定參數(shù)變化范圍內(nèi)，單對齒剛度最大值隨齒頂高系數(shù)的增大減少9.5%，隨壓力角的增大增加44.1%，隨齒數(shù)的增多增加8.1%，隨變位系數(shù)的增大增加29.2%；在給定高重合度參數(shù)變化區(qū)間內(nèi)，多齒嚙合剛度的最大值隨齒頂高系數(shù)的增大減少6.8%，隨壓力角的增大增加22.7%，隨齒數(shù)的增多增加12.1%，隨變位系數(shù)的增大增加8.5%；在給定高重合度參數(shù)變化區(qū)間內(nèi)，最大載荷分擔(dān)率隨齒頂高系數(shù)的增大從60.45%近似線性減小到57.88%，最大載荷分擔(dān)率隨壓力角的增大從53.27%近似線性減小到61.41%，最大載荷分擔(dān)率隨齒數(shù)的增多從59.56% 近似反比例曲線降低到56.00%，最大載荷分擔(dān)率隨變位系數(shù)的增大從52.41%近似線性增大到61.19%。

高重合度；直齒輪；剛度；載荷分擔(dān)率；變形

前言

直齒輪圓柱齒輪具有經(jīng)濟(jì)性好、支撐結(jié)構(gòu)簡單、嚙合時系統(tǒng)無軸向力等優(yōu)點，使其在汽車、航空等領(lǐng)域結(jié)構(gòu)優(yōu)化中應(yīng)用廣泛[1-2]。隨著汽車、航空、航天等行業(yè)的飛速發(fā)展，對傳動系統(tǒng)提出了更高的要求，低重合度（LCR：Low Contact ratio，重合度<2）直齒輪很難滿足汽車、航空、航天等行業(yè)需要。對此部分學(xué)者提出將重合度大于2的直齒圓柱齒輪稱之為高重合度（HCR：High Contact Ratio）齒輪，嚙合齒數(shù)增多，齒輪的參數(shù)使齒輪剛度和載荷分配發(fā)生變化，合理的參數(shù)設(shè)計使齒間載荷分配得到優(yōu)化，最大載荷分擔(dān)率降低，指導(dǎo)齒輪的接觸強(qiáng)度、彎曲強(qiáng)度、膠合強(qiáng)度等的設(shè)計[3-4]，有必要對HCR直齒輪的剛度及齒間載荷分的影響規(guī)律進(jìn)行研究。

GB3480和ISO6336[5-6]都給出了齒輪剛度和齒間載荷分配的簡化計算公式，但由于多數(shù)采用近似的經(jīng)驗系數(shù)，使剛度及載荷分配的計算誤差較大，很難滿足高精度的設(shè)計要求； Zhou Xiaojun等[7]將輪齒簡化為變截面懸臂梁，提高了齒輪剛度計算精度；王志欽等[8]通過數(shù)值仿真計算了齒輪變位對LCR齒輪剛度的影響；王曉鵬等[9]基于幾何學(xué)和勢能法提出一種計算直齒輪副的精確建模方法；張波波等[10]基于有限元法計算了齒數(shù)對單齒剛度及時變嚙合剛度的影響；王龍寶[11]利用石川法研究了齒輪齒數(shù)對單齒剛度、單齒副剛度和平均剛度的影響；李發(fā)家[3]通過能量法研究了齒頂高系數(shù)、壓力角和變位系數(shù)對剛度的影響但未涉及最大載荷分擔(dān)率的影響研究；對于多齒嚙合時變嚙合剛度的變化將直接影響齒輪的齒間載荷分配，改變最大載荷分擔(dān)率的大小，進(jìn)而影響齒輪的承載能力。Sánchez[12]基于最小彈性勢能準(zhǔn)則建立了外嚙合齒輪的載荷分布模型；Miryam B. Sánchez[13]給出了考慮接觸撓度的嚙合剛度近似方程，并計算了齒間載荷分配；Arafa and Megahed[14]通過有限元的方法，研究了LCR直齒輪嚙合齒間的載荷分擔(dān)情況，得出單齒沿嚙合線載荷循環(huán)規(guī)律；鄧效忠等[15]通過靜力學(xué)分析，得出HCR齒輪最大載荷分擔(dān)率約占60%；Thirumurugan[16]采用有限元法，分析了壓力角對 HCR 外嚙合齒輪齒間載荷分配的影響。

綜上所述，國內(nèi)外對低重合度齒輪剛度及齒間載荷分配研究較多，對HCR直齒圓柱齒輪單對齒剛度、多齒嚙合剛度及最大載荷分擔(dān)率的影響規(guī)律研究較少，剛度及最大載荷分擔(dān)率對齒輪的強(qiáng)度計算有較大的影響。因此，本文主要利用材料力學(xué)的方法，研究齒輪在參數(shù)變化時輪齒單對齒剛度、多齒嚙合剛度及最大載荷分擔(dān)率的變化規(guī)律，為齒輪的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計提供理論依據(jù)。

1 齒輪的剛度及最大載荷分擔(dān)率的計算

輪齒的剛度為使一對或多對齒同時嚙合的齒輪在每單位齒寬上產(chǎn)生單位撓度所施加的載荷，單位齒上的載荷為：

齒輪的撓度為：

則輪齒的剛度為：

式中，為齒寬；F為輪齒所受載荷；δ為輪齒的總變形量。

齒輪的總變形量包括彎曲變形δ、剪切變形δ、壓縮變形δ、基體變形δ、接觸變形δ等，輪齒的總變形可表示為：

在齒輪嚙合過程中，僅考慮一對輪齒嚙合時所對應(yīng)的剛度為單對齒剛度，HCR直齒輪正常嚙合時對應(yīng)的剛度為多齒嚙合剛度。本文采用能量法，將輪齒簡化成變截面懸臂梁，如圖1[3]，通過參數(shù)化齒輪的方程，求解輪齒各點的受力變形。根據(jù)文獻(xiàn)[3]給出的變形公式計算微單元i在任意載荷作用下的變形。

如圖2齒輪嚙合示意圖，三齒嚙合時，載荷F由三齒共同承擔(dān)。

圖2 HCR齒輪嚙合示意圖

雙齒嚙合時：

通過將輪齒簡化成串聯(lián)彈簧可得單對齒剛度，齒對AD、齒對BE、齒對CF的剛度C、C、C為：

通過計算齒輪嚙合時嚙合點所對應(yīng)齒廓上的位置，結(jié)合單對齒剛度，通過嚙合齒對嚙合線方向的變形相同求得多齒嚙合剛度。利用嚙合點處變形δ乘以多齒嚙合剛度計算出齒對承擔(dān)的載荷，并算出載荷分擔(dān)率。

2 HCR直齒輪的參數(shù)的設(shè)計

表1 外嚙合齒輪副參數(shù)

圖4 變位系數(shù)對重合度的影響

以文獻(xiàn)[3]中的LCR齒輪副參數(shù)為例，如表 1。重合度受齒頂高系數(shù)h*、壓力角、齒數(shù)、變位系數(shù)的影響。通過圖3、圖4計算結(jié)果所示，當(dāng)h*≥1.02、<24.5°時，重合度大于2，當(dāng)變位系數(shù)取-0.5~-0.45時，齒輪才滿足HCR要求，可看出壓力角、齒頂高系數(shù)影響顯著。

得出HCR齒輪的參數(shù)設(shè)計范圍，如表2所示。

表2 齒輪設(shè)計參數(shù)變化范圍

3 齒輪幾何參數(shù)對變形、剛度及最大載荷分擔(dān)率的影響分析

3.1 齒頂高系數(shù)ha*對變形、齒輪剛度及最大載荷分擔(dān)率的影響規(guī)律

在不計加工誤差時，僅改變h*大小，當(dāng)h*≥1.25時，重合度>2。當(dāng)F=1000N，h*取1.2、1.26、1.3、1.35、1.4時，齒輪的變形、剛度及最大載荷分擔(dān)率的關(guān)系曲線如圖5 （a）、圖5（b）所示。

圖5（a） 不同齒頂高系數(shù)下變形、剛度、最大載荷分擔(dān)率在嚙合線上的分布

圖5（b） 最大載荷分擔(dān)率隨齒頂高系數(shù)的變化曲線

主動齒輪的嚙合從齒根嚙入齒頂嚙出，可以看出隨著齒頂高系數(shù)的增大，靠近齒根處的初始嚙合點的變形略有增大，齒頂變形增大較為明顯；齒頂高系數(shù)h*=1.4時，對比h*=1.2，單對齒剛度最大值約減小9.5%，最小值約減小21.2%，多齒嚙合剛度最大值約增大15.7%，最小值約增大56.6%，這是由于重合度增加，齒輪由LCR變?yōu)镠CR所致，相比LCR，HCR齒輪多齒嚙合剛度波動小，嚙合平穩(wěn)；在HCR范圍內(nèi)，多齒嚙合時變剛度最大值、最小值均隨齒頂高系數(shù)的增加而降低，齒頂高系數(shù)h*=1.4時，對比h*=1.26，多齒嚙合剛度最大值約減小6.8%，最小值約減小3.7%，最大載荷分擔(dān)率變小，從占60.45%減小到57.88%，且變化近似線性。

3.2 壓力角α對變形、剛度及最大載荷分擔(dān)率的影響規(guī)律

僅改變表1中α值不易使齒輪達(dá)到HCR范疇，故同時取h*=1.3，<21.45°時，>2。α取14°、16°、18°、20°、22°時，齒輪的變形、剛度及最大載荷分擔(dān)率的關(guān)系曲線如圖6（a）、圖6（b）所示。

由圖6（a）可以看出，隨壓力角的增大，靠近齒根處的初始嚙合點的變形減小，齒頂變形也減小，變形變化曲線斜率增大；壓力角=22°時，對比=14°，單對齒剛度最大值約增大44.1%，最小值約增大26.3%，多齒嚙合剛度最大值基本沒變，最小值約減小22.5%，這是由于隨壓力角的增大，齒輪從LCR變?yōu)镠CR所致。

圖6（a） 不同壓力角下變形、剛度、最大載荷分擔(dān)率在嚙合線上的分布

圖 6（b） 最大載荷分擔(dān)率隨壓力角的變化曲線

在HCR范圍內(nèi)，多齒嚙合剛度最大值、最小值隨壓力角的增大而增大，壓力角=20°時，對比=14°，多齒嚙合剛度最大值約增大22.7%，最小值約增大24.1%，最大載荷分擔(dān)率變大，在壓力角從=14°增大到=21.45°時，從53.27%減小到61.41%，且變化近似線性。

3.3 齒數(shù)Z對變形、剛度及最大載荷分擔(dān)率的影響規(guī)律

僅改變表1中的Z，齒輪達(dá)不到HCR，故取h*=1.3，其余參數(shù)參照表1，Z取29、90、150、200、300時，齒輪的變形、剛度及最大載荷分擔(dān)率的關(guān)系曲線如圖7（a）、圖7（b）所示。

由圖7（a）、圖7（b）可以看出，隨齒數(shù)的增加，靠近齒根處的初始嚙合點的變形和齒頂變形略微減小，齒頂變形增大，變形變化曲線斜率減?。?/p>

圖7（a） 不同齒數(shù)下變形、剛度、最大載荷分擔(dān)率在嚙合線上的分布

圖7（b） 最大載荷分擔(dān)率隨齒數(shù)的變化曲線

齒數(shù)Z=300時，對比Z=29，單對齒剛度最大值約增大8.1%，最小值約增大5.4%，多齒嚙合剛度最大值約增大12.1%，最小值約增大13.7%，最大載荷分擔(dān)率變小，隨齒數(shù)的增加，從59.56% 降低到56.00%，變化趨勢近似反比例曲線。

3.4 變位系數(shù)x對變形、剛度及最大載荷分擔(dān)率的影響規(guī)律

標(biāo)準(zhǔn)齒輪副僅通過改變變位系數(shù)不易達(dá)到HCR，故取h*=1.3，當(dāng)1=2<0.11時，>2，取-0.5、-0.3、-0.1、0.1、0.2時，齒輪的變形、剛度及最大載荷分擔(dān)率的關(guān)系曲線如圖8（a）、圖8（b）所示。

圖8（a） 不同變位系數(shù)下變形、剛度、最大載荷分擔(dān)率在嚙合線上的分布

由圖8（a）、圖8（b）可以看出，隨著變位系數(shù)的數(shù)值不斷增大，靠近齒根處的初始嚙合點的變形減小，齒頂變形也減小，變形變化曲線斜率增大；變位系數(shù)2=0.2時，對比2=-0.5，單對齒剛度最大值約增大29.2%，最小值約增大13.8%，多齒嚙合剛度最大值約減小11.7%，最小值約減小31.5%，這是由于變位系數(shù)數(shù)值的增大，齒輪從HCR轉(zhuǎn)變?yōu)長CR所致；在HCR范圍內(nèi)，多齒嚙合剛度最大值、最小值隨變位系數(shù)的增大而增大，變位系數(shù)2=0.1時，對比2=-0.5，多齒嚙合剛度最大值約增大8.5%，最小值約增大9.6%，最大載荷分擔(dān)率變大，在變位系數(shù)從2=-0.5增大到2=0.11時，從52.41%增大到61.19%，且變化近似線性。

圖8（b） 最大載荷分擔(dān)率隨變位系數(shù)的變化曲線

4 結(jié)論

本文針對HCR漸開線直齒圓柱齒輪，研究了齒輪參數(shù)對單個輪齒受力變形、單對齒剛度、多齒嚙合剛度及多齒嚙合時的最大載荷分擔(dān)率的影響，得出以下結(jié)論：

1）當(dāng)h*從1.2增大到1.4時，由于輪齒的增長，單齒受力變形在齒頂處明顯變大，單對齒剛度最大值、最小值減小9.5%、21.2%，在HCR范圍內(nèi)，h*從1.26增大到1.4時，多齒嚙合剛度的最大值最小值減小6.8%、3.7%，最大載荷分擔(dān)率從60.45%減小到57.88%，且變化近似線性。

2）當(dāng)從14°增大到22°時，輪齒齒根變厚齒頂變尖，初始嚙合點、齒頂?shù)淖冃尉鶞p小單對齒剛度最大值、最小值增大44.1%、26.3%，在HCR范圍內(nèi)，從14°增大到20°時，多齒嚙合剛度最大值、最小值增大22.7%、24.1%，最大載荷分擔(dān)率在從14°增大到21.45°時，近似線性的從53.27減小到61.41。

3）當(dāng)齒數(shù)從29增大到300時，齒輪嚙合線變長，初始嚙合點、齒頂?shù)淖冃尉鶞p小，單對齒剛度最大值、最小值增大8.1%、5.4%，多齒嚙合剛度最大值最小值增大12.1%、13.7%，最大載荷分擔(dān)率以近似反比例曲線關(guān)系從59.56% 降低到56.00%。

4）當(dāng)變位系數(shù)從-0.5增大到0.2時，初始嚙合點、齒頂?shù)淖冃尉鶞p小，單對齒剛度最大值、最小值增大29.2%、13.8%，在HCR范圍內(nèi)，變位系數(shù)從-0.5增大到0.1時，多齒嚙合剛度最大值、最小值增大8.5%、9.6%，最大載荷分擔(dān)率在變位系數(shù)從-0.5增大到0.11時，近似線性的從52.41%增大到61.19%。

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Influence Analysis of Stiffness and Maximum Load-Sharing Ratio of High Coincidence Spur Gear*

Fan Shichao1, Li Fajia1, Cui Huanyong1*, Wu Wei2, Zhang Shaoyun2

（1.School of Mechanical Engineering, University of Jinan, Shangdong Jinan 250022; 2.Shandong MENWO Transmission Limited Company, Shangdong Linyi 276000）

Under the premise of considering the elastic deformation of gear teeth, the variation rule of tooth deformation, stiffness and maximum load sharing rate of HCR involute spur gear was studied when tooth parameters change. Within a given parameter range, the maximum stiffness of single pair of teeth decreased by 9.5% with the increase of the addendum coefficient, increased by 44.1% with the increase of the pressure angle, increased by 8.1% with the increase of the number of teeth, and increased by 29.2% with the increase of the modification coefficient.Within a given parameter range of high contact ratio, the maximum mesh stiffness of multiple teeth decreased by 6.8% with the increase of the addendum coefficient, increased by 22.7% with the increase of the pressure angle, increased by 12.1% with the increase of the number of teeth, increased by 8.5% with the increase of the modification coefficient, Within a given parameter range of high contact ratio, maximum load share ratio increases with the addendum coefficient approximate linear decrease from 60.45% to 57.88%, with the increase of pressure angle approximate linear decrease from 53.27 to 61.41, with the increasing of the number of teeth approximate inverse curve is reduced to 56.00% from 59.56%, with the increase of modification coefficient approximate linear increase from 52.41% to 61.19%.

High contact ratio;Spur gear;Stiffness;Maximum load sharing rate;Deformation

10.16638/j.cnki.1671-7988.2021.04.034

TH132.417

A

1671-7988(2021)04-111-05

TH132.417

A

1671-7988(2021)04-111-05

范士超（1996-），碩士，就讀于濟(jì)南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，專業(yè)：先進(jìn)制造技術(shù)與裝備。

崔煥勇，就職于濟(jì)南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院。

山東省重點研發(fā)計劃 2019GGX104028；國家青年基金 51605191。