伍朝陽,周 瑛

(福建技術師范學院，福建 福清 350300)

隨著通信技術和因特網(wǎng)的飛速發(fā)展，人們對信息安全的重要性越來越重視了.圖像是人們熟知的媒介并在網(wǎng)絡上廣泛的傳播.為了保護重要圖像和隱私圖像，人們提出了多種加密方法[1-3].混沌理論作為一種非線性科學，具有對系統(tǒng)參數(shù)和初始條件高度敏感性、偽隨機性、各態(tài)遍歷性和可重復性等特點，非常適合用來加密.目前相關人員已經(jīng)提出了很多基于混沌理論的圖像加密方法[4-6].其中有許多加密算法是基于低維混沌映射[7-9].低維混沌映射簡單方便，但是具有小的密鑰空間和系統(tǒng)參數(shù)，用來進行圖像加密并不十分安全.采用高維混沌映射來產(chǎn)生隨機序列會使圖像加密系統(tǒng)更加安全.高維混沌系統(tǒng)有超過1個正的李雅普諾夫指數(shù).與低維混沌系統(tǒng)相比，高維混沌系統(tǒng)能夠產(chǎn)生更加復雜的動態(tài)行為和更高的隨機性[10-15].筆者擬用5D超混沌系統(tǒng)產(chǎn)生偽隨機序列，并對序列進行預處理，產(chǎn)生置亂矩陣，最后對圖像作擴散操作，以進一步增強圖像的安全性.

1 5-D超混沌系統(tǒng)

1.1 5-D 超混沌系統(tǒng)

5-D超混沌系統(tǒng)[16]定義如下：

(1)

其中a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7是系統(tǒng)參數(shù).當a1=30，a2=10，a3=15.7，a4=5，a5=2.5，a6=4.45，a7=38.5時，5D超混沌系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)并生成5個隨機序列.混沌系統(tǒng)的序列分布如圖1所示.

圖1 混沌序列分布

1.2 隨機序列預處理

假設明文圖像P是大小M×N的灰度圖像，其中M和N分別是圖像的行和列.

隨機序列預處理步驟如下：

(ⅰ)根據(jù)密鑰計算系統(tǒng)(1)的迭代初始值，得到

(2)

(ⅱ)迭代系統(tǒng)(1)N0次去除暫態(tài)效應，

其中floor(x)表示返回小于等于x的最大整數(shù).

(ⅲ)繼續(xù)迭代系統(tǒng)(1)MN/4次，產(chǎn)生5個隨機實數(shù)序列，即X=(x1,x2, …,xMN/4)，Y=(y1,y2, …,yMN/4)，Z=(z1,z2, …,zMN/4)，U=(u1,u2, …,uMN/4)，V=(v1,v2, …,vMN/4).

(ⅳ)從5個序列中選擇4個序列，并將它們組合成長度為MN的新序列.根據(jù)排列組合理論，共有120 種組合方式.例如K1=(Y,Z,V,X)，K2=(X,V,Z,U)，K3=(V,X,Z,Y)，K4=(U,Y,Z,V).

[g,h]=sort(K4)，

其中：sort(x)表示對序列x按大小進行排序；i=1, 2, …,MN；j=1, 2, 3；g為新的序列；h為序列g的索引.

2 置亂和擴散方法

2.1 置亂方法

置亂方法具體如下：

(ⅱ)對矩陣S按列進行排序得到索引矩陣C；

(ⅲ)對矩陣C進行列擴展得到矩陣CE.以矩陣C中的相應元素作為行坐標，以該元素所在的列作為列坐標.假設矩陣C中第e行元素為Ce,1,Ce,2,…,CeN，那么矩陣CE中第e行元素為(Ce,1,1),(Ce,2,2),…,(CeN,N).

(ⅳ)以CE中的元素對作為坐標找到矩陣S中對應的元素并按大小進行排序，得到排序后的坐標矩陣T.

(ⅴ)利用矩陣T對明文圖像P進行置亂，得到置亂圖像P′.

為了更好地闡明置亂過程，現(xiàn)舉例說明.假設明文圖像P和隨機矩陣S是4×4的矩陣，如圖2所示.接下來進行以下操作：

圖2 置亂過程

(1)對隨機矩陣S按列進行升序排序，得到索引矩陣C.

(2)以C中的元素作為行，以該元素所在的列作為列進行擴展，得到由序列對組成的擴展矩陣CE.

(3)以CE中每一行的序列對作為坐標，找到矩陣S中對應元素并進行升序排序，得到排序后的矩陣T.

如矩陣CE中第2行元素分別是(2,1)，(1,2)，(3,3)和(2,4).以這4個元素對作為坐標對應的S中的元素分別為0.38，0.42，0.98和0.31，對它們按升序排序得到0.31，0.38，0.42和0.98，對應的索引號為2，3，4，1.因此矩陣T中的第2行元素為(1,2)，(3,3)，(2,4)和(2,1).

(4)以矩陣T作為置亂矩陣對明文圖像P進行置亂，得到置亂圖像P′.

2.2 擴散方法

擴散過程具體如下：

(ⅲ)通過如下公式得到序列Q：

其中：circshift[u,v,w]表示對二進制序列u進行w比特的循環(huán)移位操作；LSB(w)為向量w的最低有效位，二進制值v決定循環(huán)移位的方向，v=1為右循環(huán)，v=0為左循環(huán).

(ⅳ)變換二進制序列Q為十進制形式.

(ⅴ)通過如下公式得到擴散序列B：

(ⅵ)變換序列B到圖像矩陣P″，P″即為所求加密圖像.

解密過程是加密過程的逆運算，這里就不再詳述.

3 實驗結果與討論

3.1 實驗結果

圖3 明文圖像及其加密圖像和解密圖像

3.2 密鑰空間分析

本研究的密鑰空間是由5D超混沌系統(tǒng)的5個初始值決定的.如果系統(tǒng)精度是10-15，那么系統(tǒng)的密鑰空間是(1015)5=1075≈2249.本研究設計的算法5DHS與2DDTM[17]，SFTS[18]，SPQCM[19]的密鑰空間比較結果見表1.

表1 密鑰空間的比較

由表1可知，5DSH比2DDTM，SFTS，SPQCM具有更大的密鑰空間，能夠有效地抵御暴力攻擊.

3.3 密鑰敏感性分析

一個好的加密系統(tǒng)應當對初始密鑰很敏感.當其中的一個密鑰發(fā)生微小改變(10-15)而其余密鑰保持不變時，系統(tǒng)將會生成2個完全不同的加密圖像.同樣，當僅有一個密鑰發(fā)生微小變化(10-15)時，系統(tǒng)也不能夠正確的解密圖像.密鑰敏感性測試結果如圖4所示，這4幅圖分別是只有x1，x2，x3，x4發(fā)生變化而其他值保持不變得到的圖像.不同加密和解密圖像之間的差異見表2.

圖4 密鑰敏感性測試結果

表2 密鑰發(fā)生微小變化時所獲得的加密與解密圖像

由圖4和表2可見：當密鑰發(fā)生微小改變時，將會生成完全不同的加密圖像；將發(fā)生微小變化的密鑰用于解密，也不能獲得正確的解密圖像.這說明系統(tǒng)對密鑰是敏感的.

3.4 直方圖分析

加密圖像的直方圖應當盡可能分布得比較均勻.3個明文圖像的直方圖及明文圖像的加密圖像的直方圖如圖5所示.

圖5 明文圖像的直方圖及明文圖像的加密圖像的直方圖

由圖5可見，明文圖像的像素值集中在某些區(qū)域，而加密圖像的直方圖分布更加均勻平滑.因此所提出的算法能夠抵御統(tǒng)計攻擊.

采用卡方測試[20-21]來衡量直方圖的均勻度χ2，

其中oi和ei分別為像素灰度級的實際分布和期望分布，

表3 直方圖的卡方測試

由表3可知，5DSH的測試值都小于理論值293.25，因此可以認為5DSH的直方圖分布是均勻的并能夠通過卡方測試.

3.5 相關性分析

明文圖像的相鄰像素具有很大的相關性，而加密圖像相鄰像素的相關性應該接近為0.像素x和y之間的相關性系數(shù)rxy定義為

其中

分別從明文圖像Peppers及其加密圖像中隨機選擇7 225對水平、垂直和對角方向的相鄰像素，圖6示出了明文圖像Peppers及其加密圖像在3個方向上的相關性結果.

圖6 明文圖像Peppers及其加密圖像的在3個方向上的相關性結果

由圖6可見，明文圖像之間具有很強的相關性，而加密圖像之間的相關性大大減小.

明文圖像Peppers及其加密圖像在3個方向上的相關性系數(shù)見表4.

表4 明文圖像Peppers及其加密圖像在3個方向上的相關性系數(shù)

由表4可知，明文圖像的像素之間相關性較大，而加密圖像像素之間的相關性較小.

3.6 信息熵分析

信息熵是衡量隨機性最重要的特征.令m是信息源，信息熵定義為

其中p(mi)為信號mi的頻率，L為mi的總和.加密圖像的信息熵見表5.

表5 信息熵的比較

由表5可知：加密圖像的信息熵接近于理想值8，因此5DSH能夠抵御熵攻擊；5DSH比2DDTM和SFTS方法具有更大的信息熵.

表6 局部熵

由表6可知，所有的局部熵都能夠通過置信度為0.001和0.01的測試，只有1個不能通過置信度為0.05的測試.由此可見，用5DSH得到的加密圖像具有很高的隨機性并能夠抵御熵分析攻擊.

3.7 差分攻擊分析

像素改變率(Number of Pixel Changing Rate，NPCR)和一致平均改變強度(Unified Average Changed Intensity，UACI)是衡量明文敏感性非常重要的2個指標.像素改變率和一致平均改變強度的計算公式分別為

其中：

C1和C2分別為明文圖像改變一個像素前后所得到的加密圖像.像素改變率和一致平均改變強度的計算見表7.

表7 加密圖像Peppers的像素改變率和一致平均改變強度

由表7可知，5DHS的像素改變率和一致平均改變強度結果比DKSM和SFTS的更好，說明它能夠更有效抵御差分攻擊.

3.8 剪切和噪聲攻擊分析

一個好的加密系統(tǒng)應該能夠抵御剪切和噪聲攻擊.以Peppers加密圖像(圖3(c)加密)為例，圖7示出了將其剪切1/8，1/4，1/2后的圖像及相應的解密圖像.

圖7 Peppers加密圖像的剪切攻擊圖像及相應的解密圖像

由圖7可見，加密圖像丟失1/8，1/4和1/2數(shù)據(jù)時，解密出的圖像雖然含有噪聲，但是圖像是可以辨認的.

將常用的椒鹽噪聲和高斯白噪聲加到Peppers加密圖像(圖3(c)加密)，相應的解密圖像如圖8所示.

圖8 Peppers加密圖像噪聲攻擊后的解密圖像

由圖8可見，當高斯白噪聲的方差由0.001變到0.01時，解密圖像上會出現(xiàn)更多噪聲點，但是解密的圖像還是可辨認的.受椒鹽噪聲攻擊的圖像具有類似的性質(zhì).

4 結語

本研究提出了一種基于5D超混沌的圖像加密算法.首先，根據(jù)給定的初始密鑰，產(chǎn)生5D超混沌系統(tǒng)的初始迭代值.然后混沌序列被預處理產(chǎn)生新的序列.基于列排序和行排序的二維置亂方法被提出，采用循環(huán)移位去增強系統(tǒng)的安全性，最后對圖像進行擴散處理，得到加密圖像.通過采用高維混沌系統(tǒng)，能夠產(chǎn)生隨機性更好的序列.實驗結果和理論分析表明，作者提出的算法具有大的密鑰空間，能夠抵御差分攻擊、統(tǒng)計攻擊、暴力攻擊、剪切和噪聲攻擊等.未來會對系統(tǒng)的效率以及運行時間進行進一步的分析.