帥國祥，汪旭明，張志威，彭 昊

(1.南京鑫軒電子系統(tǒng)工程有限公司，江蘇 南京 210003；2.吉首大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

多頻信號參數(shù)估計(jì)廣泛應(yīng)用在信道探測、無線通信、電能質(zhì)量分析等領(lǐng)域[1].多頻信號分析方法有快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)、希爾伯特-黃變換、奇異值分解、Prony方法和小波變換等，其中FFT在估計(jì)多頻信號參數(shù)時(shí)因原理簡單且估計(jì)精度高而被經(jīng)常采用.但是，多頻信號經(jīng)過非同步采樣后，再利用FFT進(jìn)行參數(shù)估計(jì)會(huì)出現(xiàn)頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，使得信號參數(shù)估計(jì)的精度降低[2].為此，研究者設(shè)計(jì)了不同的改進(jìn)算法[3-7]，如可以在一定程度上抑制頻譜泄漏的加不同窗函數(shù)的方法，能夠有效減小柵欄效應(yīng)的譜線插值方法.筆者受這些方法的啟發(fā)，擬在矩形窗的基礎(chǔ)上構(gòu)建一種高階矩形卷積窗，并將高階矩形卷積窗與三譜線插值相結(jié)合進(jìn)行多頻信號參數(shù)估計(jì)，以期減少頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)等負(fù)面影響，提高參數(shù)估計(jì)精度.

1 高階矩形卷積窗

對信號作FFT處理的實(shí)質(zhì)是，用矩形窗截?cái)嗪笤龠M(jìn)行離散傅里葉變換.矩形窗的時(shí)域表達(dá)式為

其中M為窗函數(shù)的長度.

矩形窗的頻域旁瓣性能相比于其他窗的較低.為了提高矩形窗的旁瓣性能，對其自卷積5次，即6個(gè)矩形窗相互卷積，得到新窗的時(shí)域表達(dá)式為

w(n)=wM(n)*wM(n)*wM(n)*wM(n)*wM(n)*wM(n).

(1)

通過卷積運(yùn)算，(1)式中的w(n)長度為6M-5，在末尾補(bǔ)0，使得w(n)的長度為N.由卷積定理可得高階矩形卷積窗頻譜函數(shù)為W(ω)=(WM(ω))6，其中

窗函數(shù)的對數(shù)頻譜圖如圖1所示，圖中1階表示1個(gè)矩形窗，3階表示3個(gè)矩形窗自卷積，6階表示6個(gè)矩形窗自卷積.

圖1 窗函數(shù)的對數(shù)頻譜圖Fig. 1 Logarithmic Spectrum of Window Function

從圖1可見，矩形窗的自卷積在一定程度上可以增強(qiáng)窗函數(shù)的旁瓣性能.隨著自卷積次數(shù)的增加，窗函數(shù)的旁瓣衰減速度增加，第一旁瓣峰值變小，但是主瓣寬度不變，從而有效抑制頻譜泄漏.自卷積5次完成時(shí)，卷積窗的旁瓣特性比Hanning窗的更好.

2 基于高階矩形卷積窗+三譜線插值的多頻信號分析

假定一個(gè)多頻復(fù)合信號形如

(2)

其中：Ai，fi，θi分別為復(fù)合信號各組成信號的幅值、頻率和相位；p為組成信號的總個(gè)數(shù)；i為各組成信號的序號.對(2)式進(jìn)行離散化，可得

(3)

其中：n=0,1,…,N-1，N為采樣點(diǎn)數(shù)；fs為采樣頻率.利用(1)式的窗函數(shù)對(3)式截?cái)嗪筮M(jìn)行離散時(shí)間傅里葉變換，可得

(4)

為了方便分析，忽略其他組成信號對第i個(gè)信號的影響，(4)式可以寫為

(5)

(6)

實(shí)際信號一般處于非同步采樣，從而產(chǎn)生柵欄效應(yīng)，使得第i個(gè)信號的真實(shí)峰值譜線偏離頻域離散譜線.設(shè)ki=kd+δ，δ∈(-0.5,0.5).令kd為真實(shí)峰值譜線中幅值最大的譜線，找出幅值最大譜線附近的2條譜線kd+1，kd-1(kd-1

(7)

聯(lián)立(6)，(7)式可得

(8)

標(biāo)記(8)式為λ=g(δ)，通過求反函數(shù)得到偏移量的計(jì)算表達(dá)式

δ=g-1(λ)，

(9)

這里g-1(λ)表示λ的反函數(shù).在區(qū)間(-0.5, 0.5)內(nèi)取δ的一組具體值并利用(8)式計(jì)算得到相應(yīng)的函數(shù)值，在此基礎(chǔ)上利用多項(xiàng)式曲線擬合方法即可得到(9)式的函數(shù)逼近式，進(jìn)而得到信號參數(shù)的修正公式.考慮到精度和復(fù)雜度，設(shè)定擬合多項(xiàng)式的最高冪次數(shù)為7.利用數(shù)值計(jì)算軟件可得g-1(λ)的多項(xiàng)式擬合表達(dá)式.通過計(jì)算得到δ后，可得第i個(gè)信號的頻率fi=kiΔf=(kd+g-1(λ)+1)Δf，其中Δf=fs/N.根據(jù)3條譜線幅值所含信息的特點(diǎn)[6]，將幅值修正公式設(shè)為

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證高階矩形窗卷積+三譜線插值算法(算法1)的有效性，將其與FFT(算法2)、加Hanning窗算法(算法3)進(jìn)行多頻信號參數(shù)估計(jì)對比仿真實(shí)驗(yàn).假定一個(gè)多頻復(fù)合信號形如

設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)N=900，采樣頻率fs=2 300 Hz，頻率、幅值和相位的具體設(shè)置見表1.

表1 多頻信號參數(shù)設(shè)置

利用3種算法估計(jì)由4個(gè)余弦信號組成的多頻復(fù)合信號的頻率和幅值(表2，3).

表2 頻率估計(jì)相對誤差對比

表3 幅值估計(jì)相對誤差對比

由表2，3可知，從整體效果來看，相比算法2和算法3，算法1對多頻信號的頻率和幅值的估計(jì)精度更高.

4 結(jié)語

為了盡量抑制頻譜泄漏和更有效地減小柵欄效應(yīng)，筆者設(shè)計(jì)了一種高階矩形卷積窗與三譜線插值相結(jié)合的多頻信號參數(shù)估計(jì)方法，并通過多項(xiàng)式曲線擬合方法推導(dǎo)出該方法的參數(shù)估計(jì)公式.從頻譜分析結(jié)果來看，高階矩形卷積窗+三譜線插值算法有效地減少了頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的負(fù)面影響.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對于多頻信號的頻率和幅值，高階矩形卷積窗+三譜線插值算法的估計(jì)精度比FFT和加Hanning窗算法的更高.為了進(jìn)一步驗(yàn)證高階矩形卷積窗+三譜線插值算法的有效性，后續(xù)考慮用硬件來實(shí)現(xiàn)該算法.