趙 準，孔 鵬，鄧 科

(吉首大學(xué)物理與機電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

隨著工業(yè)化的大肆發(fā)展，空氣噪聲控制成為重要的民生問題.近年來，聲學(xué)人工結(jié)構(gòu)逐漸成為吸隔聲降噪領(lǐng)域研究的熱點.聲學(xué)人工結(jié)構(gòu)一般是指由人工設(shè)計具有天然材料不具備的特殊物理性質(zhì)的復(fù)合材料.常見的聲學(xué)人工結(jié)構(gòu)大都由尺寸遠小于波長的結(jié)構(gòu)單元組成，通過精確的幾何參數(shù)設(shè)計調(diào)節(jié)，聲學(xué)人工結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)對聲波的吸收、阻隔和過濾等新奇效果[1-5].

隨著聲學(xué)人工結(jié)構(gòu)的蓬勃發(fā)展，腔式聲學(xué)超材料成為了近些年的研究熱點.其主要是通過對亥姆霍茲共鳴器結(jié)構(gòu)進行改良，進而達到摒棄腔體尺寸對共振頻率的限制.2014年，Cai等[6]率先提出了一種將亥姆霍茲共鳴器背腔加長并進行盤繞的設(shè)計概念，實現(xiàn)了對400 Hz附近的低頻聲波完美吸收的效果；雖然，這種背腔盤繞結(jié)構(gòu)使腔式聲學(xué)超材料突破了1/4波長的限制，實現(xiàn)了較低頻降噪.但是，其共振頻率單一的缺陷限制了腔式聲學(xué)超材料的進一步發(fā)展.2017年，Chen等[7]將2段不等徑的細長共振腔串聯(lián)拼接，并盤繞成圓盤狀.兩段細長腔分別在各自的共振頻率達到了完美吸收.通過調(diào)節(jié)兩段長腔的內(nèi)徑和長度，使2個共振峰之間距離適中，便可實現(xiàn)拓寬吸收帶寬的效果；對共振腔結(jié)構(gòu)的改良除了可以實現(xiàn)低頻和寬頻降噪，還可以達到對多頻段噪聲的控制效果.2019年，劉志恩等[8]提出了一種新型并排式多腔亥姆霍茲共振消聲器結(jié)構(gòu).將多個不同頻率的共振腔并排式布置在管道同一截面，能做到并排式共振腔傳遞損失性能互不干涉，且能有效地消除多個不同頻率處的噪聲值.綜上所述，改良亥姆霍茲共鳴器對噪聲控制的應(yīng)用有著重要的研究意義[9-15].筆者運用傳遞矩陣和有限元仿真相結(jié)合的研究方法，設(shè)計了一種二階亥姆霍茲共鳴器，該結(jié)構(gòu)設(shè)計簡單，調(diào)節(jié)方便，通過對幾何參數(shù)的調(diào)節(jié)能有效的對兩個噪聲頻段進行隔聲降噪.

1 傳遞矩陣法建立數(shù)值理論模型

圖1(a)是二階亥姆霍茲共鳴器結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)由內(nèi)插短管1、空腔1、內(nèi)插短管2、空腔2這4個主要部分組成.內(nèi)插短管及腔的單個傳遞矩陣形式實質(zhì)上是與主管流道(波導(dǎo)管)的傳遞矩陣相一致的，該體系中所使用的等效波數(shù)公式(1)和等效阻抗公式(2)如下：

(1)

(2)

圖1 二階諧振腔單元的二維結(jié)構(gòu)與等效阻抗模型示意Fig. 1 Schematic Diagram of Two-Dimensional Structure and Equivalent Impedance Model of Second-Order Resonator Element

本研究將二階亥姆霍茲共鳴器結(jié)構(gòu)的每個細致的組成部分都等效成一層超薄的阻抗邊界，等效模型如圖1(b)所示.黃色層代表波導(dǎo)管與內(nèi)插管1前端管口部分的阻抗邊界層，用不連續(xù)性傳遞矩陣MΔl2表示；紅色層代表整個內(nèi)插管1部分的阻抗邊界層，用傳遞矩陣Mneck表示；藍色層代表內(nèi)插管1后端管口與空腔1部分的阻抗邊界層，用不連續(xù)傳遞矩陣MΔl1表示；綠色代表整個空腔1部分的阻抗邊界層，用傳遞矩陣Mcavity表示；藍色代表空腔1與內(nèi)插管2前端管口部分的阻抗邊界層，用不連續(xù)傳遞矩陣MΔl1表示；紅色代表整個內(nèi)插管2部分的阻抗邊界層，用傳遞矩陣Mneck表示；藍色代表內(nèi)插管2后端管口與空腔2部分的阻抗邊界層，用不連續(xù)傳遞矩陣MΔl1表示；綠色代表整個空腔2部分的阻抗邊界層，用傳遞矩陣Mcavity表示；黑色代表剛性末端，用Rigid表示.

通過等效模型圖推導(dǎo)出管口與末端的聲壓、質(zhì)點速度關(guān)系為

(3)

其中：Bneck為內(nèi)插管傳遞矩陣，

(4)

Bcavity為空腔的傳遞矩陣，

(5)

BΔl1為內(nèi)插管口與空腔的不連續(xù)傳遞矩陣，

(6)

BΔl2為內(nèi)插管口與波導(dǎo)主管的不連續(xù)傳遞矩陣，

(7)

因此，可以得到二階共振腔單元的系統(tǒng)等效阻抗

(8)

上述公式中，Δl1為內(nèi)插管口與空腔的修正長度：

(9)

Δl2為內(nèi)插管口與波導(dǎo)主管的修正長度：

(10)

其中，rk為內(nèi)插管半徑，rmain為波導(dǎo)主管等效半徑，rc為空腔等效半徑.通過傳遞矩陣得到的二階諧振腔單元系統(tǒng)的總的傳遞矩陣M可以求得系統(tǒng)的聲強透射系數(shù)T如公式(11)以及傳遞損失(隔聲量)TL如公式(12).

(11)

TL=-10log10T.

(12)

筆者運用傳遞矩陣法，分層推導(dǎo)出二階亥姆霍茲共鳴器的系統(tǒng)阻抗，并建立用于隔聲降噪的數(shù)值理論模型.將數(shù)值理論模型編程在Matlab軟件中，便可通過大量的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行數(shù)值計算分析二階亥姆霍茲共鳴器的隔聲性能.

2 二階亥姆霍茲共鳴器的隔聲仿真

將數(shù)值理論模型編程在Matlab軟件中，通過參數(shù)調(diào)節(jié)設(shè)計了2組用于主管道側(cè)腔隔聲的二階亥姆霍茲共鳴器參數(shù)模型.為了驗證2組參數(shù)模型的可行性，進行了Matlab數(shù)值計算與Comsol Multiphysics有限元仿真計算相結(jié)合的驗證工作.本研究驗證的2組二階亥姆霍茲共鳴器的幾何參數(shù)列于表1.圖2(a)表示的是二階亥姆霍茲共鳴器在主管流道的側(cè)方工作的三維仿真示意圖，數(shù)值計算與仿真計算的傳遞損失(隔聲量)結(jié)果的對比數(shù)據(jù)如圖2(b)所示.

表1 2組二階諧振腔單元的幾何參數(shù)

圖2 二階諧振腔單元工作示意圖與2組結(jié)構(gòu)參數(shù)的數(shù)據(jù)結(jié)果Fig. 2 Schematic Diagram of the Second Order Resonator Cell and the Results of Two Groups of Structures

從圖2(b)中可以看到，二階亥姆霍茲共鳴器存在兩個傳遞損失(隔聲量)峰值.以Comsol Multiphysics有限元仿真計算結(jié)果為對比數(shù)據(jù)，1號樣品的隔聲工作頻率在470 Hz和920 Hz，2號樣品的隔聲工作頻率在450 Hz和864 Hz，且隔聲量在兩個工作頻率處均可達到較高的隔聲效果(40 dB左右).從圖2(b)結(jié)果表明，1號和2號樣品的數(shù)值計算結(jié)果與仿真計算結(jié)果匹配度較高，僅有微小偏差，且最大并不會超過20 Hz.仿真結(jié)果較好地驗證了二階亥姆霍茲共鳴器隔聲的優(yōu)異性能和理論模型的精確性，對二階亥姆霍茲共鳴器的隔聲降噪理論有著重要的研究意義.

3 總結(jié)

本文在傳統(tǒng)亥姆霍茲共鳴器的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，改良設(shè)計出一種基于高階共振的亥姆霍茲共鳴器結(jié)構(gòu).通過傳遞矩陣法將二階亥姆霍茲共鳴器結(jié)構(gòu)進行分層推導(dǎo)，建立了較為精準的數(shù)值理論模型.將數(shù)值理論模型編程在Matlab軟件中，通過參數(shù)調(diào)節(jié)設(shè)計了兩組用于主管道側(cè)腔隔聲的參數(shù)模型.并對兩組模型進行Comsol Multiphysics有限元仿真計算的驗證，傳遞損失(隔聲量)結(jié)果匹配度較高，且隔聲量在工作頻率處均可達到40 dB左右的高性能隔聲降噪.可見，二階亥姆霍茲共鳴器結(jié)構(gòu)在多頻段噪聲控制工程中有廣泛的應(yīng)用前景.