劉怡建

(福州理工學(xué)院計算與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建 福州 350108)

1 問題的提出

周期解存在性的研究，是泛函微分方程定性理論分析中的一個重要部分，受到學(xué)術(shù)界的高度關(guān)注.由于在實際問題中滯后現(xiàn)象總是存在的，因此人們描述自然現(xiàn)象時，采用具有無窮時滯的中立型泛函微分方程比積分微分方程更客觀.對于具有無窮時滯的泛函微分方程的周期解和概周期解的存在性問題，眾多學(xué)者對它進(jìn)行了研究[1-13].例如，方聰娜等[10]研究了如下一類具有無窮時滯的中立型Volterra積分微分方程的概周期解問題：

陳鳳德等[11]討論了如下周期系統(tǒng)的周期解的存在性和唯一性：

張志信等[12]在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，得到了如下中立型微分系統(tǒng)的周期解的存在性和唯一性的一組充分性條件：

林華遠(yuǎn)等[13]在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上討論了如下中立型概周期微分方程的概周期解的存在性和唯一性：

(1)

受這些文獻(xiàn)的啟發(fā)，筆者擬探討比方程(1)更廣泛的一類中立型積分微分方程的概周期解的存在性和唯一性.

2 預(yù)備知識

定義1[14]稱f(t)是概周期的，如果對于?ε>0，集合

T(f,ε)={τ;|f(t+τ)-f(t)|<ε,?t∈R}

是相對稠密的.即對于?ε>0，存在l=l(ε)>0，使得在每個長度為l的區(qū)間內(nèi)至少有1個τ=τ(ε)∈T(f,ε)，滿足|f(t+τ)-f(t)|<ε，t∈R.

定義2[14]若存在投影方陣P(P滿足P=P2)及常數(shù)α≥0，β≥1，滿足

‖X(t)PX-1(s)‖≤βe-α(t-s)t≥s，

‖X(t)(I-P)X-1(s)‖≤βeα(t-s)t≤s，

則稱系統(tǒng)

x′=A(t)x

(2)

在R上具有指數(shù)型二分性.其中：x∈Rn；A(t)是定義在R上的分段連續(xù)的n×n實函數(shù)矩陣；X(t)是系統(tǒng)(2)的標(biāo)準(zhǔn)解方陣.

引理1[14]若線性系統(tǒng)(2)滿足指數(shù)型二分性，則概周期系統(tǒng)

x′=A(t)x+g(t)

(3)

有唯一概周期解x(t)，

(4)

記ρ(x)是權(quán)函數(shù)，U是所有權(quán)函數(shù)構(gòu)成的集合，ρ(t):R→(0,+∞)，ρ(x)在R上局部可積且ρ(t)>0.對于?r>0,ρ∈U，記

BC(R,Rn)是從R到Rn的有界連續(xù)函數(shù)，且范數(shù)定義為

3 主要結(jié)果及其證明

給出如下中立型積分微分系統(tǒng)：

(5)

其中：x∈Rn;t∈R;A(t)=(aij(t))n×n,C(t,s)=(cij(t,s))n×n,B(t,s)=(bij(t,s))n×n，都是R×R上的n×n函數(shù)矩陣；τi(t),δj(t)在R上連續(xù)；gi:R×Rn→Rn連續(xù)；ej(t):R→Rn×n連續(xù)；b(t):R→Rn連續(xù).

引理2[11]設(shè)C(t,s)是關(guān)于(t,s)的n×n連續(xù)概周期函數(shù)矩陣，且滿足如下條件：

對于系統(tǒng)(5)，作如下假設(shè)：

(H1)A(t)，ej(t)關(guān)于t是概周期的，其中j=1,2,…,q.

(H5)若gi(t,x)(i=1,2,…,p)關(guān)于t是概周期的，且gi(t,x)符合Lipschitz條件，則存在li>0，使得對于?x,y∈Rn，有|gi(t,x)-gi(t,y)|≤li|x-y|.

定理1(ⅰ)假設(shè)(H1)～(H5)成立；

(ⅱ)線性系統(tǒng)x′(t)=A(t)x(t)滿足投影為P和常數(shù)為β,α的指數(shù)型二分性；

若上述條件滿足，則系統(tǒng)(5)存在唯一的概周期解x(t).

對于?u∈B,考察如下積分微分方程：

(6)

令

則方程(6)轉(zhuǎn)化為

(7)

其中

由假設(shè)(H1)～(H5)及引理2易知h(t)是連續(xù)概周期的.

設(shè)X(t)為系統(tǒng)(3)的基本解矩陣，則由假設(shè)(H1)～(H5)及引理1可知方程(7)有唯一概周期解D(t)，

從而

(8)

是系統(tǒng)(5)的唯一的概周期解.證畢.

定義算子T:B→B為Tu(t)=xu(t),?u∈B.現(xiàn)證明T:B→B是一個壓縮映射.事實上，對于?u,v∈B,由(8)式及條件易知

即

系統(tǒng)(5)可以推廣到如下概周期系統(tǒng)：

(9)

定理2(ⅰ)假設(shè)(H1)～ (H5)成立；

(ⅱ)線性系統(tǒng)x′(t)=A(t,u(t))x(t)滿足投影為P和常數(shù)為β,α的指數(shù)型二分性，且二分常數(shù)β,α不依賴于u(t)，其中u(t)是任意連續(xù)概周期的；

若上述條件滿足，則系統(tǒng)(9)存在唯一的概周期解x(t).

證明過程類似于定理1.

注1當(dāng)B(t,s)=0時，系統(tǒng)(5)為文獻(xiàn)[13]中研究的系統(tǒng)，因此本研究是文獻(xiàn)[13]的推廣.