黃金超

(滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,安徽 滁州 239000)

1 EB檢驗(yàn)函數(shù)的單調(diào)性和Bayes判決函數(shù)

考慮Kumaraswamy分布模型[9]，設(shè)隨機(jī)變量X條件概率密度

f(x|θ)=αθxα-1(1-xα)θ-1,

(1)

其中θ為未知參數(shù)，α>0且為常數(shù).樣本空間χ={x|00}.

考慮(1)式中參數(shù)θ的EB檢驗(yàn)問題

H0：θ≤θ0?H1：θ>θ0，

(2)

其中θ0>0為已知常數(shù).對假設(shè)檢驗(yàn)問題(2)，取“線性損失”函數(shù)

L(θ,dj)=(1-j)a(θ-θ0)I[θ-θ0>0]+ja(θ0-θ)I[θ-θ0≤0]j=0,1.

其中：a>0且為常數(shù)；d0表示接受H0，d1表示否定H0，{d0,d1}=D，D是行動(dòng)空間；I[A]為集合A的示性函數(shù).

設(shè)δ(x)=P(接受H0|X=x)為隨機(jī)化判別函數(shù).在先驗(yàn)分布G(θ)下，δ(x)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)

(3)

其中

(4)

這里：

(5)

為r.v.X的邊緣分布；

(6)

(6)式中，

(7)

α(x)=f(x)(φ(x)-θ0)=(p(x)-θ0)f(x)+q(x)f(1)(x).

(8)

由Cauchy-Schwarz不等式和(6)式可得

(9)

所以對于α>0,0

假定

在這個(gè)假定下先驗(yàn)分布G(θ)是非退化的.因?yàn)棣?x)是單調(diào)遞減且連續(xù)的，所以由連續(xù)函數(shù)的介值定理可知必存在點(diǎn)aG∈(0,1)，使得φ(aG)=θ0.又由(8)式可知

α(x)≤0?φ(x)≤θ0?x≥aG，

α(x)>0?φ(x)>θ0?x

故由(3)式可知Bayes判決函數(shù)

(10)

其Bayes風(fēng)險(xiǎn)

(11)

(11)式中，當(dāng)先驗(yàn)分布G(θ)已知，δ(x)=δG(x)時(shí)，R(G)是可以達(dá)到的.但此處G(θ)未知，所以δG(x)也未知，從而δG(x)無使用價(jià)值，于是考慮引入EB檢驗(yàn)方法.

2 EB檢驗(yàn)函數(shù)的構(gòu)造

設(shè)X1,X2,…,Xn和X是iid樣本，通常稱X1,X2,…,Xn為歷史樣本，稱X為當(dāng)前樣本.令f(x)為X1的概率密度函數(shù)(形如(5)式)，iid樣本作如下假定：

(T1)f(x)∈Cs,α，Cs,α為R1中的一族概率密度函數(shù)，其s階導(dǎo)數(shù)存在且|f(x)|≤α，s≥3為正整數(shù).

令Kr(x)(r=0,1,…,s-1)是有界的Borel可測函數(shù)，在(0，1)之外為0，且滿足如下條件：

假定先驗(yàn)分布G(θ)非退化，且屬于下列先驗(yàn)分布類：

(T4)Γ(A1,A2)={G(θ)|0

假設(shè)Γ(A1,A2)={G(θ)|0φ(aG)=θ0>φ(A2).文后會舉例說明先驗(yàn)分布的集合Γ(A1,A2)不會是空集.

記f(0)(x)=f(x),f(r)(x)表示f(x)的第r階導(dǎo)數(shù)，r=0,1,…,s.類似文獻(xiàn)[2]，定義f(r)(x)的遞歸核估計(jì)

(12)

(13)

由(8)式定義α(x)的估計(jì)量

(14)

由先驗(yàn)條件(T4)給出的A1，A2，結(jié)合(10)式，定義EB檢驗(yàn)函數(shù)

(15)

EB檢驗(yàn)構(gòu)造方法參照文獻(xiàn)[5].

令En表示對r.v.X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布求均值，則δn(x)的全面Bayes風(fēng)險(xiǎn)

(16)

假設(shè)本研究中的c,c1,c2,…,M1,M2為正常數(shù).

證明由Cr不等式可知，對于r=0,1，有

(17)

由核函數(shù)的性質(zhì)可知

(18)

由Taylor展開可得

(19)

將(19)式代入(18)式可得

由f(x)∈Cs,α及|Kr(t)|≤C可知

(20)

于是

(21)

(22)

將(21)，(22)式代入(17)式，結(jié)論成立.證畢.

3 EB檢驗(yàn)函數(shù)的收斂速度

證明由(11)，(16)式可知

(23)

由(8)，(14)式及Cr不等式、引理1可知

(24)

由(10)，(15)式可知，當(dāng)x∈(0,A1)時(shí)，δn(x)=0,δG(x)=0，當(dāng)x∈(A2,1)時(shí)，δn(x)=1,δG(x)=1.于是En(δn(x))-δG(x)=0，從而

(25)

(26)

當(dāng)x∈(A1,aG)時(shí)，由(10)，(15)式可知δG(x)=0,Enδn(x)=P(αn(x)>0).由Markov不等式和(24)式可得

(27)

同理可證

(28)

將(25)～(28)式代入(23)式，可得

證畢.

4 舉例

(1)式中，取θ的先驗(yàn)分布

g(θ)=γe-γθI[θ>0]，

其中γ為任意給定的參數(shù)，γ≥1，于是

(29)

由(29)式易知條件(T1)成立.再假定條件(T2)，(T3)成立，所以只需驗(yàn)證(T4)成立即可.由(6)式可得

A1=max{10-8,aG-0.01},A2=min{1-10-8,aG+0.01},

即條件(T4)成立，從而定理2成立.