邢家省，楊義川，吳 桑

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100191；2.北京航空航天大學(xué)“數(shù)學(xué)、信息與行為”教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191)

在總體參數(shù)的矩估計的理論方法中，首先要考慮樣本矩與對應(yīng)的總體矩之間的關(guān)系.由辛欽大數(shù)定律[1-11]可知，簡單隨機(jī)樣本的k階原點(diǎn)矩依概率收斂到總體的k階原點(diǎn)矩，樣本的k階原點(diǎn)絕對矩依概率收斂到總體的k階原點(diǎn)絕對矩；由隨機(jī)變量序列依概率收斂的性質(zhì)[1-15]可知，樣本的k階中心矩依概率收斂到總體的k階中心矩.由此得到用樣本矩替換總體矩的理論根據(jù)，進(jìn)而可以得到未知參數(shù)的估計方法，使得從局部參數(shù)就能推測總體參數(shù)，該方法稱為矩估計法.關(guān)于樣本的k階中心絕對矩依概率收斂的問題，在文獻(xiàn)[1-15]中都沒有提及，而這是一個急需解決的問題.因此，筆者擬給出樣本的k階中心絕對矩依概率收斂的問題的解決辦法，以期豐富完善樣本矩依概率收斂理論.

1 總體矩和樣本矩

設(shè)總體X的m階矩存在，EXm和E(|X|m)存在，X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本.記總體矩[1-11]：

μ=EX,

μk=E(Xk)k=1,2,…,m，

νk=E(X-EX)kk=1,2,…,m，

βk=E(|X|k)k=1,2,…,m，

δk=E(|X-EX|k)k=1,2,…,m.

記樣本矩[1-11]：

2 隨機(jī)變量序列依概率收斂的基本性質(zhì)

利用依概率收斂的定義，可以給出引理1的證明.引理1在證明隨機(jī)變量序列依概率收斂方面發(fā)揮重大作用.

引理2[1-15]設(shè)隨機(jī)變量序列{ξn}，{ηn}分別依概率收斂于隨機(jī)變量ξ和η，則有：

引理3[1-12](辛欽大數(shù)定律)設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若Xi的數(shù)學(xué)期望存在，則{Xn}服從大數(shù)定律，即對于?ε>0，都有

3 樣本矩依概率收斂的性質(zhì)

引理4[1-12]樣本均值依概率收斂于總體期望，即

引理5[1-12]樣本的k階原點(diǎn)矩依概率收斂于總體的k階原點(diǎn)矩，即

證畢.

由圖3可知，當(dāng)采用光滑輪胎進(jìn)行試驗(yàn)時，摩擦系數(shù)的大小僅取決于輪胎與試件表面的接觸面積，AC—13屬于懸浮密實(shí)結(jié)構(gòu)類型，表面構(gòu)造深度較小、與輪胎的接觸面積大，從而有較高的摩擦系數(shù)。對于花紋輪胎而言，都是OGFC—13的摩擦系數(shù)最大，主要是因?yàn)檩喬セy能夠嵌入到路面宏觀紋理中，增強(qiáng)輪胎與路面的嵌擠力，表現(xiàn)為較好的抗滑性能。

引理6[1-12]樣本的k階原點(diǎn)絕對矩依概率收斂于總體的k階原點(diǎn)絕對矩，即

證明由X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布可知|X1|k,|X2|k,…,|Xn|k獨(dú)立同分布，且E(|Xi|k)=βk存在.根據(jù)引理3可得

證畢.

引理7[1-12]樣本的k階中心矩依概率收斂于總體的k階中心距，即

證明利用二項(xiàng)式展開和依概率收斂的運(yùn)算性質(zhì)可得

證畢.

根據(jù)引理3可得

4 樣本中心絕對矩依概率收斂的性質(zhì)

引理8[16-19]設(shè)p>1,a,b≥0，則

(a+b)p≤2p-1(ap+bp).

證明由凸函數(shù)f(x)=xp,x∈[0,+∞)的性質(zhì)可知

于是(a+b)p≤2p-1(ap+bp).證畢.

引理9[16-19]設(shè)p≥2，則對于實(shí)數(shù)a，b，有

||a|p-|b|p|≤|a-b|·p·2p-2(|a|p-1+|b|p-1).

證明不妨設(shè)|b|>|a|.由拉格朗日中值定理可知，存在滿足|a|<ξ<|b|的ξ，使得|b|p-|a|p=pξp-1(|b|-|a|)，于是

||b|p-|a|p|=pξp-1(|b|-|a|)≤|a-b|·p·(|a|+|b|)p-1≤

|a-b|·p·2p-2(|a|p-1+|b|p-1).

證畢.

證明由X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布和μ=EX為常數(shù)可知，X1-μ,X2-μ,…,Xn-μ獨(dú)立，從而|X1-μ|k,|X2-μ|k,…,|Xn-μ|k獨(dú)立同分布，且E|Xi-μ|k=δk存在.

根據(jù)引理3可得

定理3樣本的k階中心絕對矩依概率收斂于總體的k階中心絕對距，即

證明當(dāng)k=1時，注意到

當(dāng)k≥2時，由引理8和引理9，考慮如下估計不等式：