劉東興，周 旭

(中國(guó)電子科技集團(tuán) 第54研究所，石家莊 050081)

0 引言

近年來，在軌服務(wù)技術(shù)作為一項(xiàng)新興技術(shù)受到較多關(guān)注，在維護(hù)空間在軌目標(biāo)(如在軌航天器、空間碎片)方面應(yīng)用頻率較高。在軌服務(wù)技術(shù)可以分為在軌維護(hù)、在軌組裝、在軌救援、在軌加注、在軌監(jiān)測(cè)和輔助變軌等6類。從原理上講，任何種類的在軌服務(wù)，都是一個(gè)軌道規(guī)劃和優(yōu)化的空間目標(biāo)交會(huì)過程，即服務(wù)航天器進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)和規(guī)劃，逼近目標(biāo)航天器，進(jìn)而完成在軌服務(wù)[1-7]。

常見的路徑規(guī)劃問題是指在有障礙物的工作環(huán)境中，依據(jù)某些優(yōu)化準(zhǔn)則(如能量消耗最少、路程最短、任務(wù)時(shí)間短等)，在運(yùn)動(dòng)空間中尋找一條從起始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)，可以避開障礙物的最優(yōu)或者接近最優(yōu)的路徑[8]。目前全局路徑規(guī)劃算法有可視法、柵格法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、序列二次規(guī)劃法等方法，這些方法各有優(yōu)點(diǎn)，但均存在一定的局限性，容易陷入局部最優(yōu)[9]。遺傳算法是一種通過模擬自然選擇和生物進(jìn)化過程搜索最優(yōu)解的方法，在求解較為復(fù)雜的組合優(yōu)化問題時(shí)，具有算法魯棒、靈活、不易陷入局部最優(yōu)等優(yōu)點(diǎn)[10-11]。雖然遺傳算法使用交叉、變異等算子可以從全局角度出發(fā)搜索最優(yōu)解，但是遺傳算法求解時(shí)間與染色體基因等算子數(shù)目呈指數(shù)增長(zhǎng)的關(guān)系，這對(duì)選擇染色體的編碼形式和遺傳算法的求解效率產(chǎn)生較大程度的限制，同時(shí)局部搜索能力較差，易產(chǎn)生“超級(jí)個(gè)體”，形成早熟現(xiàn)象。

為此本文構(gòu)建出一種混合遺傳算法[12-14]，兼顧全局和局部?jī)蓚€(gè)角度，將遺傳算法的全局搜索能力與模擬退火算法較強(qiáng)的局部搜索能力相結(jié)合，進(jìn)行算法設(shè)計(jì)，從而使搜索得到的個(gè)體更加接近最優(yōu)解。同時(shí)提高遺傳算法的求解效率，避免遺傳算法早熟和模擬退火算法搜索速度慢的問題。

本文搭建了航天器在相對(duì)軌道的運(yùn)動(dòng)模型，從而得到服務(wù)航天器從起始時(shí)刻到目標(biāo)時(shí)刻繞飛小衛(wèi)星的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)模型。在此動(dòng)態(tài)環(huán)境模型的基礎(chǔ)上對(duì)混合遺傳算法進(jìn)行設(shè)計(jì)，通過仿真實(shí)驗(yàn)證明了該算法在動(dòng)態(tài)環(huán)境中軌道規(guī)劃的有效性，并且算法求解效率遠(yuǎn)高于標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法。

1 問題描述

若干個(gè)小衛(wèi)星圍繞目標(biāo)航天器進(jìn)行相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，服務(wù)航天器穿過小衛(wèi)星繞飛區(qū)域與目標(biāo)航天器交會(huì)，進(jìn)行在軌服務(wù)。為了避免與小衛(wèi)星發(fā)生碰撞或相互影響，服務(wù)航天器要與小衛(wèi)星要保持一定的安全距離。綜上，在考慮路徑安全、任務(wù)時(shí)間、燃料消耗、總路程等約束條件后，進(jìn)行軌道路徑規(guī)劃，尋找一條服務(wù)航天器到目標(biāo)航天器的最優(yōu)機(jī)動(dòng)軌道路徑。

2 軌道動(dòng)力學(xué)模型建立

為便于研究和描述服務(wù)航天器、小衛(wèi)星、目標(biāo)航天器的位置，當(dāng)兩個(gè)航天器距離較近時(shí)，可以假定其中一個(gè)航天器是固定不動(dòng)的。如圖1所示，建立以目標(biāo)航天器質(zhì)心為原點(diǎn)的航天器本體軌道坐標(biāo)系(相對(duì)軌道參考坐標(biāo)系)[15-16]。

圖1 航天器本體軌道坐標(biāo)系

在圓形軌道中，相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程就是希爾方程：

(1)

在式(1)中，ω=2π/T是圓形目標(biāo)軌道的角頻率，mc是服務(wù)航天器的質(zhì)量。

服務(wù)航天器的運(yùn)功會(huì)收到加速度γx,y,z=Fx,y,z/mc的影響。方程組(1)是線性微分方程組，可以通過拉普拉斯變換求解。因?yàn)榉?wù)航天器和目標(biāo)航天器之間的距離與它們距離地球中心的距離比較小，在這一條件下，W.HClohessy和R.S.Wiltshire從希爾方程中導(dǎo)出了相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的線性解(W.HClohessy & R.S.Wiltshire 1960)。為了簡(jiǎn)化對(duì)各種軌道模型的討論，假定推進(jìn)機(jī)具有脈沖特性，即速度變化是階躍的，并且假定在研究的時(shí)間間隔內(nèi)，γx,y,z都是常數(shù)，得出的運(yùn)動(dòng)方程(C-W方程):

(2)

根據(jù)C-W方程可知，若已知的初始狀態(tài)及單位質(zhì)量作用力，就可以通過相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)模型，推算出任意時(shí)刻航天器(服務(wù)航天器、小衛(wèi)星)在相對(duì)軌道中的位置和速度。

服務(wù)航天器通過Lambert轉(zhuǎn)移實(shí)現(xiàn)沿各個(gè)坐標(biāo)系軸方向上的軌道改變和轉(zhuǎn)移。通過求解C-W方程得到：

(3)

綜上,每次施加脈沖的大小可以由式(3)得出[17-19]。

3 算法設(shè)計(jì)

3.1 設(shè)計(jì)路徑的編碼方式

染色體編碼采用簡(jiǎn)明、直觀、可行性強(qiáng)的可變長(zhǎng)實(shí)數(shù)形式[20]。假設(shè)服務(wù)航天器實(shí)施軌道機(jī)動(dòng)的時(shí)刻分別為(t1,t2,…，tn),實(shí)施軌道機(jī)動(dòng)的位置分別為(F1,F2,…，F(xiàn)n),Fn是一個(gè)三維矢量，分別表示服務(wù)航天器在參考坐標(biāo)系三個(gè)方向的位置，因此服務(wù)航天器每條軌道機(jī)動(dòng)的路徑可編碼為(t1,F1,t2,F2,…，tn-1,Fn-1,tn,Fn)。

3.2 產(chǎn)生初始種群

隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)個(gè)體(即N條路徑)，每個(gè)個(gè)體記為Pj,j=1,2,…，N。個(gè)體長(zhǎng)度l，也同樣在約束區(qū)間下隨機(jī)產(chǎn)生。為避免隨機(jī)路徑中的返回部分，對(duì)每個(gè)個(gè)體Pj的坐標(biāo)值降序排列(F1x>F2x>…>Fnx>F1y>F2y>…>Fny,>F1z>F2z>…>Fnz)

以增加初始種群的可行性。

3.3 建立綜合適應(yīng)度函數(shù)

3.3.1 優(yōu)化安全性

為了避免服務(wù)航天器與伴飛小衛(wèi)星發(fā)生碰撞或相互影響，在任務(wù)的任意時(shí)刻應(yīng)避免服務(wù)航天器與任一伴飛小衛(wèi)星的絕對(duì)距離小于伴飛小衛(wèi)星的安全半徑。建立如下約束軌道安全性的適應(yīng)度函數(shù)：

(4)

其中:

Φji為由繞飛小衛(wèi)星的安全半徑形成的球形安全范圍；lji表示第j條軌道機(jī)動(dòng)路徑中服務(wù)航天器從ti時(shí)刻到ti+1時(shí)刻的相對(duì)坐標(biāo)矢量；若該軌道機(jī)動(dòng)路徑?jīng)]有穿過任一伴飛小衛(wèi)星的安全范圍，ηji的值賦為1，否則賦為0。如此，fit1(Pj)的值越大，該路徑的安全性越高[21-22]。

3.3.2 優(yōu)化脈沖變軌次數(shù)

服務(wù)航天器每次進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)都需要施加脈沖，軌道機(jī)動(dòng)次數(shù)越多，施加脈沖越多，進(jìn)而燃料消耗越多。建立如下約束軌道機(jī)動(dòng)次數(shù)的適應(yīng)度函數(shù)：

fit2(Pj)=Nj

(5)

其中:Nj表示第j條路徑中服務(wù)航天器的軌道機(jī)動(dòng)次數(shù)。如此，fit2(Pj)值越小，服務(wù)航天器的能量消耗越少。

3.3.3 優(yōu)化總路程

在軌服務(wù)過程中，服務(wù)航天器的軌道總路程越短，一定程度上可以減少任務(wù)時(shí)間和節(jié)省燃料。建立如下約束總路程的適應(yīng)度函數(shù)：

fit3(Pj)=

(6)

其中:(xji,yji,zji)表示第j條路徑ti時(shí)刻服務(wù)航天器在相對(duì)軌道坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；d((xji,yji,zji),(xji+1,yji+1,zji+1)表示第j條路徑ti時(shí)刻至ti+1時(shí)刻的機(jī)動(dòng)軌道長(zhǎng)度。如此，fit3(Pj)的值越小表明該路徑的總路程越短。

3.3.4 優(yōu)化任務(wù)時(shí)間

在軌服務(wù)任務(wù)要在一定時(shí)間內(nèi)完成。時(shí)間越短，特定時(shí)間內(nèi)服務(wù)航天器的服務(wù)目標(biāo)數(shù)量越多。建立如下約束任務(wù)時(shí)間的適應(yīng)度函數(shù)：

fit4(Pj)=Tj

(7)

其中:Tj表示服務(wù)航天器沿第j條路徑所消耗的時(shí)間。如此，fit4(Pj)值越小，任務(wù)消耗時(shí)間越少。

3.3.5 優(yōu)化燃料消耗

服務(wù)航天器每次機(jī)動(dòng)軌道方向不同，導(dǎo)致各個(gè)方向所需的速度變化量不同，這直接影響到燃料的消耗。若軌道路徑比較平滑，則變軌所需燃料越少。建立如下約束燃料消耗的適應(yīng)度函數(shù)：

(8)

其中:Δvji表示第j條路徑第i次施加脈沖時(shí)服務(wù)航天器的速度變化量。如此，fit5(Pj)值越小，服務(wù)航天器第j條路徑燃料消耗越少。

3.3.6 綜合適應(yīng)度函數(shù)

對(duì)上述各個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)運(yùn)用線性函數(shù)進(jìn)行歸一化處理，形成綜合適應(yīng)度函數(shù)：

(9)

如此，fit(Pj)值越大，個(gè)體越優(yōu)良。

3.4 算子設(shè)計(jì)

3.4.1 選擇算子

采用輪盤賭(比例選擇)的選擇方式，

其基本思想是：各個(gè)個(gè)體被選中的概率與其適應(yīng)度大小成正比。具體步驟如下：

1)計(jì)算每個(gè)個(gè)體適應(yīng)度值fit(Pj)；

2)計(jì)算每個(gè)個(gè)體遺傳到下一代種群的概率ρj；

(10)

3)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)M,M∈[0,1];

4)若M滿足式(11)，則第j個(gè)個(gè)體被選中；

(11)

3.4.2 交叉算子

由于染色體編碼方式是可變長(zhǎng)度編碼，所以采用單點(diǎn)交叉的方式，如圖2所示。具體操作為：

1)根據(jù)交叉概率和隨機(jī)位置確定交叉的兩個(gè)染色體的交叉位置；

2)進(jìn)行交叉操作；

3)交叉后的染色體坐標(biāo)降序排列，避免路徑環(huán)繞。

圖2 染色體交叉操作示意圖

3.4.3 變異算子

染色體變異采用均勻的變異方式，具體步驟如下：

1)根據(jù)變異概率確定變異的染色體；

2)隨機(jī)確定進(jìn)行變異基因的位置；

3)為了避免路徑環(huán)繞，在變異基因前后開區(qū)間內(nèi)，按照均勻分布方式隨機(jī)生成變異后基因的值，完成變異操作。

3.4.4 退溫函數(shù)

退溫函數(shù)是模擬退火算法理論中重要一環(huán)。研究表明，降溫速度越慢，獲得高質(zhì)量解的概率就越大，但耗時(shí)增加，極大影響了求解效率。因此，設(shè)計(jì)溫度參數(shù)t，根據(jù)溫度高低，控制下降速度。在溫度高時(shí)快速下降，溫度低時(shí)緩慢下降，達(dá)到兼顧模擬退火算法的局部搜索能力和求解的質(zhì)量、效率的目的[23]。

本文算法設(shè)計(jì)的降溫操作如式(12)：

tk+1=λtk

(12)

其中:t為溫度參數(shù)，λ為退溫速率0<λ<1。

3.4.5 Metropolis接收準(zhǔn)則

假設(shè)問題的當(dāng)前解為si，其中目標(biāo)函數(shù)為g(si)；在控制參數(shù)為t時(shí)，該問題產(chǎn)生了新解sj，其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為g(si)。若g(si)≥g(sj)，則接收新解si，并將其替換問題的前解si；否則，按照式(13)對(duì)當(dāng)前解si進(jìn)行轉(zhuǎn)換：若P>Random[0,1]，則接收新解sj；否則，保持當(dāng)前解si不變。

(13)

3.5 算法步驟

混合遺傳算法的流程如圖3所示。

圖3 混合遺傳算流程圖

算法步驟如下：

1)初始化群體，參數(shù)設(shè)定：種群規(guī)模N、交叉概率Pc、變異概率Pm、溫度控制參數(shù)的初始值t0、退溫速率λ、進(jìn)化代數(shù)k；

2)計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)值，進(jìn)行個(gè)體評(píng)價(jià)；

3)根據(jù)個(gè)體評(píng)價(jià)，進(jìn)行選擇運(yùn)算；

4)對(duì)染色體進(jìn)行交叉運(yùn)算、變異運(yùn)算、精英選擇運(yùn)算；

5)進(jìn)行模擬退火運(yùn)算，對(duì)新個(gè)體進(jìn)行接受運(yùn)算，以概率P為標(biāo)準(zhǔn)，直至Metropolis抽樣穩(wěn)定；

6)判斷解是否滿足算法終止條件，若滿足，轉(zhuǎn)步驟8)，否則轉(zhuǎn)步驟7)；

7)令k=k+ 1,進(jìn)行降溫運(yùn)算tk+1=λtk,轉(zhuǎn)步驟2)；

8)輸出全局最優(yōu)解。

4 仿真驗(yàn)證

仿真場(chǎng)景設(shè)置：空間某目標(biāo)航天器周圍有8顆小衛(wèi)星在其相對(duì)軌道進(jìn)行繞飛，服務(wù)航天器要機(jī)動(dòng)到目標(biāo)航天器進(jìn)行在軌服務(wù)。以目標(biāo)航天器為參考，建立相對(duì)軌道參考坐標(biāo)系。8個(gè)小衛(wèi)星在參考坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)模型如圖4所示，目標(biāo)航天器與小衛(wèi)星的初始軌道參數(shù)分別如表1、表2所示。

圖4 小衛(wèi)星在參考坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)模型

表1 目標(biāo)航天器軌道參數(shù)

表2 編隊(duì)小衛(wèi)星相對(duì)軌道初始狀態(tài)

仿真基本參數(shù)設(shè)置：以Matlab為程序運(yùn)行平臺(tái)，服務(wù)航天器在相對(duì)軌道參考坐標(biāo)系中的狀態(tài)起點(diǎn)(單位：m)設(shè)為(6 000,10 000,10 000)，目標(biāo)航天器位置為(0,0,0)，初始種群規(guī)模為200，交叉概率為0.8，變異概率為0.02，精英選擇比例為0.02，溫度控制參數(shù)t的初始接收概率為0.12，退溫速率λ=0.92。最大進(jìn)化次數(shù)為1 000代；

仿真結(jié)果如圖5～8所示。其中，圖5～7是利用本文混合遺傳算法求解結(jié)果圖，用來驗(yàn)證本文算法的有效性；圖8是在同樣場(chǎng)景算法參數(shù)設(shè)置下，利用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法求解的求解效率圖，與圖7作比較，用來驗(yàn)證本文提出的混合遺傳算法在求解效率上要優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法。

圖5為用混合遺傳算法求解得到的最優(yōu)機(jī)動(dòng)軌道路徑，整個(gè)過程服務(wù)航天實(shí)施軌道機(jī)動(dòng)6次，脈沖施加時(shí)間及大小如表3所示。圖中陰影部分為伴飛小衛(wèi)星在整個(gè)任務(wù)過程中形成的球形安全區(qū)域。如圖5所示，服務(wù)航天器的最優(yōu)機(jī)動(dòng)軌道路徑與小衛(wèi)星的球形安全區(qū)域沒有任何一處重疊，其驗(yàn)證了本文算法求解結(jié)果符合軌道安全性的約束，且軌道路徑相對(duì)平滑，說明服務(wù)航天器每次軌道機(jī)動(dòng)幅度較小，脈沖施加較小，滿足節(jié)省燃料的需求。

-：最優(yōu)機(jī)動(dòng)軌道路徑；*：軌道起點(diǎn)；o:軌道終點(diǎn)圖5 利用混合遺傳算法求得的最優(yōu)路徑

圖6 最優(yōu)軌道中各小衛(wèi)星與服務(wù)航天器的絕對(duì)距離與安全半徑的差隨任務(wù)時(shí)間的變化

圖7 混合遺傳算法進(jìn)化代數(shù)與適應(yīng)值變化過程

圖8 標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法進(jìn)化代數(shù)與適應(yīng)值變化過程

表3 服務(wù)航天器軌道機(jī)動(dòng)的脈沖施加時(shí)間及大小

圖6為在整個(gè)任務(wù)過程中，最優(yōu)機(jī)動(dòng)軌道路徑中的服務(wù)航天器與各小衛(wèi)星的絕對(duì)距離與其安全半徑的差隨時(shí)間的變化。如圖所示，8個(gè)沒有負(fù)值的距離差值曲線表明，服務(wù)航天器的機(jī)動(dòng)軌道路徑完全避開了小衛(wèi)星的安全區(qū)，驗(yàn)證了圖5的結(jié)果。并且從圖6可以看出，在第380 s時(shí)服務(wù)航天器與目標(biāo)航天器交會(huì)，同樣場(chǎng)景設(shè)置下比文獻(xiàn)[22]中的425 s提升了45 s。

圖7為混合遺傳算法在1 000次迭代過程中種群綜合適應(yīng)度函數(shù)值與當(dāng)前最大適應(yīng)度值的變化。如圖所示，算法進(jìn)化到第200代之后，最優(yōu)解趨于穩(wěn)定，尋找到最優(yōu)機(jī)動(dòng)軌道路徑，驗(yàn)證了本文算法的收斂性與穩(wěn)定性。

圖8為標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法在1 000次迭代過程中種群適應(yīng)值當(dāng)前最大適應(yīng)度值的變化。如圖所示，算法進(jìn)化到600代之后，最優(yōu)解才趨于穩(wěn)定。相同場(chǎng)景參數(shù)設(shè)定下，混合遺傳算法求解效率比標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法提高了約兩倍，求解效率提高顯著。

如表4所示，與參考文獻(xiàn)中所用的標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法求解效果相比，本文算法規(guī)劃出的最優(yōu)軌道路徑綜合性能更突出。1)路徑變軌次數(shù)少；2)任務(wù)時(shí)間較短；3)本文算法求解效率上比參考文獻(xiàn)中的標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法提高了兩倍。正如表 4 所示，同樣場(chǎng)景參數(shù)設(shè)置下用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法，迭代到600次，才能出現(xiàn)穩(wěn)定最優(yōu)解；用混合遺傳算法，算法進(jìn)化到200代就出現(xiàn)穩(wěn)定最優(yōu)解；4)本文提出的混合遺傳算法，先利用遺傳算法強(qiáng)大的全局搜索能力在全局范圍內(nèi)尋找最優(yōu)解，然后利用模擬退火算法在局部再次優(yōu)化最優(yōu)解，算法搜索到的最優(yōu)軌道路徑可靠性更佳。

表4 標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法與混合遺傳算法同一場(chǎng)景同樣參數(shù)下效果比較

5 結(jié)束語

針對(duì)在軌服務(wù)技術(shù)中空間航天器交會(huì)的軌道規(guī)劃問題，本文以服務(wù)有小衛(wèi)星伴飛的目標(biāo)航天器為場(chǎng)景，通過把遺傳算法較強(qiáng)的全局搜索能力和模擬退火算法較強(qiáng)的局部搜索能力整合，提出了一種混合遺傳算法，來求解最優(yōu)機(jī)動(dòng)軌道路徑。在軌道路徑的安全性、可靠性、可行性和任務(wù)時(shí)間、燃料消耗、總路程等約束條件下建立綜合適應(yīng)度函數(shù)，并且對(duì)遺傳算子、精英選擇方法、退溫函數(shù)、Metropolis接受準(zhǔn)則等方面進(jìn)行了設(shè)計(jì)。

算法仿真結(jié)果表明，本文提出的混合遺傳算法不僅能搜索優(yōu)化出一條滿足安全性、可靠性、可行性和任務(wù)時(shí)間短、燃料消耗少、總路程短等約束條件下的最優(yōu)機(jī)動(dòng)軌道路徑，并且算法的求解效率遠(yuǎn)高于參考文獻(xiàn)中的標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法。綜上，本文提出的混合遺傳算法求解效率更高，最優(yōu)解可靠性、可行性、綜合性等更優(yōu)，更適合在空間復(fù)雜場(chǎng)景模型下進(jìn)行軌道路徑規(guī)劃。