張靜怡， 苗國英, 2， 紀(jì) 龍

(1.南京信息工程大學(xué) 自動化學(xué)院,南京 210044；2.南京信息工程大學(xué) 江蘇大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，南京 210044)

0 引言

近年來，由于在無人機(jī)編隊、機(jī)器人聚集等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，多智能體系統(tǒng)的分布式協(xié)同控制已成為控制領(lǐng)域[1-2]的熱點(diǎn)問題，其主要研究方向有：一致性問題[3]、群集問題和編隊問題[4]等。早期對多智能體系統(tǒng)的研究工作，主要集中無領(lǐng)導(dǎo)者和單領(lǐng)導(dǎo)者的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，然而在多智能體實際應(yīng)用中，由于單領(lǐng)導(dǎo)者能力有限，往往需要多個領(lǐng)導(dǎo)者來實現(xiàn)集體層面上的協(xié)同合作。當(dāng)系統(tǒng)中存在多領(lǐng)導(dǎo)者的情況時，文獻(xiàn)[5]為使跟隨者移動至領(lǐng)導(dǎo)者組成的給定幾何空間中，提出包含控制問題。

包含控制可以看作編隊問題的特殊情形，是指通過設(shè)計分布式控制器，驅(qū)使一組跟隨者在多個領(lǐng)導(dǎo)者的引領(lǐng)下, 最終進(jìn)入并保持在由領(lǐng)導(dǎo)者所形成的幾何空間(凸包)中運(yùn)動。與傳統(tǒng)多智能體的一致性問題相比，包含控制更能突出分布式協(xié)同控制的優(yōu)勢，因此包含控制問題得到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究。對于高階多智能體系統(tǒng)，文獻(xiàn)[6]考慮了在連續(xù)和離散時間的情況下，基于相鄰智能體輸出信息的包含控制問題。文獻(xiàn)[7]考慮基于馬爾科夫切換的通信拓?fù)湎?，作者提出帶有測量白色噪聲的包含控制方法。文獻(xiàn)[8]針對帶有靜態(tài)和動態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)，考慮輸入延遲問題，基于脈沖控制算法理論，提出一類基于脈沖通信周期的包含控制算法。文獻(xiàn)[9]考慮基于系統(tǒng)的狀態(tài)反饋量和輸出反饋量設(shè)計包含控制協(xié)議，得到多智能體系統(tǒng)在輸入飽和狀態(tài)下達(dá)到包含控制的充分條件。針對離散時間系統(tǒng)，在無向固定通信拓?fù)湎拢墨I(xiàn)[10]實現(xiàn)包含控制的收斂時間根據(jù)任務(wù)要求預(yù)先設(shè)定。在文獻(xiàn)[11]中，考慮帶有通信噪聲的多智能體系統(tǒng)，基于卡爾曼濾波理論，作者設(shè)計一種隨機(jī)包含控制協(xié)議。目前已有的多智能體系統(tǒng)包含控制算法，大多是基于漸近穩(wěn)定性理論[12]，即各個智能體在時間趨于無窮大時達(dá)到理想狀態(tài)。為提高系統(tǒng)的控制精度，進(jìn)而提出有限時間控制算法，既提高了系統(tǒng)的收斂速度，又可以增強(qiáng)控制器的魯棒性。文獻(xiàn)[13]引入非線性反饋控制方程，通過線性矩陣不等式，得到了系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間包含控制的充分條件。文獻(xiàn)[14]研究了二階系統(tǒng)基于跟隨者的相對狀態(tài)，在固定拓?fù)湎碌挠邢迺r間包含控制問題。

在有向圖通信拓?fù)湎?，本文研究了具有一般形式的多智能體有限時間包含控制問題，利用終端滑模控制良好的魯棒性，可使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間收斂到平衡點(diǎn)，突破了傳統(tǒng)系統(tǒng)漸近收斂的局限。與文獻(xiàn)[13]相比，本文考慮了二階系統(tǒng)的情況，并針對跟隨者狀態(tài)不可在線獲得的問題，提出一種基于有限時間狀態(tài)觀測器的算法。與文獻(xiàn)[14]相比，本文引入快速終端滑?？刂疲⒖紤]具有未知有界加速度的領(lǐng)導(dǎo)者情況，可在保持傳統(tǒng)滑?？刂苾?yōu)點(diǎn)的前提下，有效加快系統(tǒng)收斂速度且更具有實際應(yīng)用意義。本文提出了兩類有限時間控制算法，利用模型轉(zhuǎn)換的技巧，把包含控制問題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題?；诶钛牌罩Z夫理論、圖論、線性矩陣不等式的技巧，得到使系統(tǒng)達(dá)到包含控制的充分條件，最后通過仿真，驗證算法的有效性。

1 圖論及相關(guān)引理

在給出本文的主要定理之前，先引入一些重要的引理和假設(shè)條件。

假設(shè)1：在多智能系統(tǒng)中，對于任意跟隨者智能體，領(lǐng)導(dǎo)者至少存在一條通往該跟隨者的有向路徑。

引理1[15]：對于如下多智能體系統(tǒng)，假設(shè)存在一連續(xù)正定的函數(shù)V(x)定義在原點(diǎn)的鄰域，且滿足實數(shù)c>0,a∈(0,1)，使得：

1)V(x)是正定的；

2 有限時間包含控制

本文考慮由M個跟隨者和N-M個領(lǐng)導(dǎo)者組成的有外部干擾的多智能體系統(tǒng)，有向圖G= (V,E,A)表示系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在實際的系統(tǒng)中，單個無人艇看作是一個智能體，由于傳統(tǒng)單無人艇存在執(zhí)行任務(wù)能力單一、魯棒性差等問題，多無人艇協(xié)同控制技術(shù)已在海洋環(huán)境中得到廣泛應(yīng)用。例如，M艘跟隨艇和N-M艘領(lǐng)航艇組成的多無人艇系統(tǒng)，控制目標(biāo)是通過設(shè)計無人艇控制器算法驅(qū)使跟隨艇在有限時間內(nèi)達(dá)到期望的位置和速度，并收斂到由領(lǐng)導(dǎo)者組成的凸包中。多無人艇系統(tǒng)由領(lǐng)航艇和跟隨艇組成，領(lǐng)航者具有自主完成任務(wù)的行為，跟隨者具有通信信息交互和追蹤領(lǐng)航者行為。

由于考慮領(lǐng)導(dǎo)者不與其它領(lǐng)導(dǎo)者通信的情況，因此圖G的拉普拉斯矩陣可以寫成如下形式：

式中，F(xiàn)={1,…,M}和R={M+1,…,N}分別表示跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者所在的集合，LFF∈RM×M,LFR∈RM×(N-M)。

考慮跟隨者的二階動力學(xué)模型描述如下：

(1)

其中：xi∈Rn,vi∈Rn分別表示第i個跟隨者智能體的位置狀態(tài)和速度狀態(tài)，ui∈Rn表示第i個跟隨者智能體的控制輸入，ωi∈Rn為外部干擾及不確定項。

考慮領(lǐng)導(dǎo)者的二階動力學(xué)模型描述如下：

(2)

其中：xi∈Rn,vi∈Rn,ui∈Rn分別表示第i個領(lǐng)導(dǎo)者智能體的位置、速度和控制輸入。

針對帶有多個領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)，本文基于快速終端滑?？刂圃O(shè)計有限時間包含控制算法。首先引入閉環(huán)位置和速度包含誤差系統(tǒng)設(shè)計終端滑模面；其次基于設(shè)計的滑模面，分別構(gòu)造領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的有限時間包含控制協(xié)議，該包含控制算法能有效抑制外部干擾，使系統(tǒng)表現(xiàn)出更好的魯棒性。

exi=xfi-xqi,i=1,…,M

evi=vfi-vqi，i=1,…,M

(3)

根據(jù)系統(tǒng)位置誤差和速度誤差方程式(3)，定義滑模面為：

Si(t)=(exi(t))q/p+evi(t)

(4)

針對系統(tǒng)式(1)、(2)，基于快速終端滑?？刂频乃枷耄岢龇植际娇刂扑惴ㄈ缦拢?/p>

ui(t)=

(5)

定義1[13]：對于有限時間T∈(0,+∞)，若系統(tǒng)滿足對智能體任意初始狀態(tài)x(0)，跟隨者式(1)都能移動并保持在由領(lǐng)導(dǎo)者式(2)組成的凸包中運(yùn)動，則稱控制協(xié)議(4)、(5)能在T時刻內(nèi)解決系統(tǒng)的有限時間包含問題，表示如下式：

定理1：對于帶有外部干擾的多智能體系統(tǒng)，假設(shè)通信拓?fù)鋱DG具有有向生成樹且滿足假設(shè)1，若存在常數(shù)η>0，則在協(xié)議(4)、(5)作用下，多智能體系統(tǒng)(1)、(2)可實現(xiàn)有限時間包含控制。

其中：uf(t)=[u1(t),…，uM(t)]Τ。

3 基于觀測器的有限時間包含控制

上述內(nèi)容研究基于滑模面的有限時間包含控制問題，其中跟隨者的位置和速度信息都可以在線獲得。下面進(jìn)一步考慮靜態(tài)多領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)中，跟隨者狀態(tài)不能在線獲得的情況?？紤]跟隨者是較為一般的系統(tǒng)模型[17]如下：

(6)

考慮領(lǐng)導(dǎo)者的系統(tǒng)模型為：

(7)

其中：A∈Rn×n，B∈Rn×p，C∈Rq×n表示維度相容的輸入和輸出矩陣，xi(t)∈Rn，ui(t)∈Rp，yi(t)∈Rq分別表示在t時刻，第i個智能體的狀態(tài)、控制輸入和輸出。

假設(shè)2:在線性多智能體系統(tǒng)(6)中，A為Hurwitz矩陣且(A,B,C)為可鎮(zhèn)定且可檢測的。

由于在實際應(yīng)用系統(tǒng)中，領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)可知，跟隨者需要根據(jù)相鄰智能體之間的信息交互來更新自身狀態(tài)信息，考慮由于通信時延、環(huán)境噪聲干擾等因素的影響，跟隨者不能在線獲得相鄰智能體狀態(tài)的情況，因此本文為每個跟隨者智能體設(shè)計狀態(tài)觀測器，如式(8)所示：

(8)

sig(y)α=(|y1|αsgn(y1),…,|yk|αsgn(yk))Τ,α>0

其中：|yi|表示yi的絕對值，sgn(·)表示符號函數(shù)，y=(y1,y2,…,yk)Τ,i=1,2,…,k。

受到文獻(xiàn)[13]啟發(fā)，對于第i個跟隨者智能體，基于上述觀測器設(shè)計分布式有限時間控制協(xié)議如下：

(9)

其中：k>0，ε>0為常數(shù)，0<γ<1，P為滿足式(10)的正定矩陣。

pΤsig(p)α≥(pΤp)(1+α/2),α∈(0,1)

在假設(shè)2成立的情況下，矩陣A為Hurwitz矩陣，對于矩陣P>0，滿足下列不等式：

PA+AΤP-ελmin(LFF)PBBΤP<0

(10)

其中：λmin(·)表示矩陣的最小特征值。

定理2:考慮帶有多個領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)，滿足假設(shè)1～2且通信拓?fù)鋱DG具有有向生成樹，對于任意的正實數(shù)β，矩陣P>0滿足式(10)，則在算法(8)、(9)的作用下能使系統(tǒng)(6)、(7)在有限時間實現(xiàn)包含控制。

證明：定義每個智能體系統(tǒng)狀態(tài)和觀測器狀態(tài)之間的誤差ei(t)為：

(11)

(12)

定義每個跟隨者智能體包含控制誤差向量δi(t)為：

(13)

將式(12)整理成如下增廣矩陣形式：

(14)

選定Lyapunov函數(shù)V1(t)=e(t)Τe(t)，沿著系統(tǒng)(14)的軌跡求(t)關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)，并將式(12)代入，則有:

2e(t)T(IM?A)e(t)-2e(t)TβCTGTsig[(IM?GC)e(t)]a

考慮A為Hurwitz矩陣，且e(t)T(IM?A)e(t)<0，由引理3可得：

ε(LFF?B)sig[(I?P)δ(t)]γ

選定Lyapunov函數(shù)V2(t)=δΤ(t)(I?P)δ(t)，根據(jù)上式，對V2(t)求導(dǎo)可得：

2εδΤ(t)(I?P)(LFF?B)sig[(I?P)δ(t)]γ

由引理2和3可知，矩陣LFF的所有特征值均具有正實部，且正定矩陣P滿足式(10)的矩陣不等式，如下形式：

I?(PA+AΤP)-ελmin(LFF)(IN?PBBTP)<0

其中：λmin(LFF)表示LFF矩陣的最小特征值。

于是滿足下式：

4 仿真結(jié)果與分析

為驗證本文所提算法的有效性，給出以下的仿真示例。本文針對實際應(yīng)用中多無人艇系統(tǒng)，考慮復(fù)雜多變的海洋環(huán)境和通信環(huán)境，多無人艇系統(tǒng)需要適應(yīng)各類不確定因素，同時也要高效完成協(xié)同控制任務(wù)，對多無人艇有限時間包含控制問題進(jìn)行仿真。

假設(shè)多無人艇系統(tǒng)具有3個跟隨艇和3個領(lǐng)航艇，其中無人艇1,2,3為跟隨者，無人艇4,5,6為領(lǐng)導(dǎo)者，圖1為系統(tǒng)的有向通信拓?fù)鋱D。

圖1 無人艇通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

由圖1可知，系統(tǒng)的鄰接矩陣、Laplacian矩陣分別如下：

選取無人艇控制器的參數(shù)為p=7,q=5,η=10，μ=0.1。假設(shè)各艘跟隨無人艇受到的未知海洋環(huán)境干擾為ωi=[0.1sin(t),0.1cos(t)]Τ,i∈1,2,…,M。各艘無人艇的初始狀態(tài)坐標(biāo)分別為(-7,10)、(9,7)、(-13,-9)、(-2,6)、(5,4)、(-3,-2)。

根據(jù)定理1，利用算法(4)、(5)，多無人艇系統(tǒng)(1)、(2)的狀態(tài)可實現(xiàn)包含控制。圖2表示滑模面隨時間變化的曲線，仿真結(jié)果表明滑模面在2.5 s時到達(dá)S(t)=0。圖3表示領(lǐng)航艇和跟隨艇的運(yùn)動軌跡，跟隨艇航跡在4 s后完全收斂并保持在由領(lǐng)航艇航跡組成的凸包中運(yùn)動。

圖2 滑模面變化軌跡

圖3 無人艇運(yùn)動軌跡

假設(shè)基于狀態(tài)觀測器的無人艇系統(tǒng)參數(shù)選取為：

通過Matlab工具箱求解線性矩陣不等式(10)，得到矩陣P的可行解為：

根據(jù)定理2，利用控制算法(8)、(9),多無人艇系統(tǒng)(6)、(7)的狀態(tài)可以實現(xiàn)包含控制，通過計算，得到T1=3.7 s，T2=2.63 s，時間上限為T1+T2=6.33 s,仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。圖4表示每艘跟隨艇狀態(tài)誤差隨時間變化曲線，在2.5 s時系統(tǒng)狀態(tài)估計值與真實值達(dá)到一致。圖5表示各無人艇位置狀態(tài)隨時間變化的軌跡曲線,仿真顯示在1.5 s時，跟隨艇進(jìn)入由領(lǐng)航艇形成的凸包內(nèi)，在有限時間6.33 s內(nèi)達(dá)到包含控制。通過對多無人艇包含控制仿真結(jié)果與分析，表明本文理論結(jié)果的有效性。

圖4 誤差變化軌跡

圖5 無人艇各方向運(yùn)動軌跡

5 結(jié)束語

本文針對多智能體系統(tǒng)，提出基于快速終端滑?？刂频挠邢迺r間包含控制算法，運(yùn)用圖論、李亞普諾夫穩(wěn)定性理論和非線性系統(tǒng)理論，得到實現(xiàn)包含控制的條件。進(jìn)而，對于一般形式的多智能體系統(tǒng)，考慮基于輸出信息構(gòu)造有限時間狀態(tài)觀測器，即在有限時間內(nèi)估計出智能體的運(yùn)動狀態(tài)，解決了智能體運(yùn)動狀態(tài)不可在線獲得的問題。此外，當(dāng)通信中存在噪聲干擾和隨機(jī)變化的拓?fù)淝闆r，研究多智能體系統(tǒng)的包含控制問題，是下一步的主要研究工作。