張濤濤，張雙燕，李萌，武力兵

（遼寧科技大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

隨著現(xiàn)代工業(yè)自動化的快速發(fā)展，具有結(jié)構(gòu)簡單、控制性能優(yōu)越、功率密度高等眾多優(yōu)點的電機控制系統(tǒng)應(yīng)用越來越廣泛［1-2］。在城市軌道交通系統(tǒng)中，直線永磁電機不需要轉(zhuǎn)換裝置，就能把電能轉(zhuǎn)變成直線運動機械能［3］，逐步取代傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)電機。特別是直線游標(biāo)永磁（Linear permanent magnet vernier，LPMV）電機，效率高成本低，應(yīng)用前景非常廣闊。但LPMV電機系統(tǒng)具有強耦合特征，在長期運行過程中不可避免地會發(fā)生故障，如執(zhí)行器、傳感器和系統(tǒng)內(nèi)部元件等故障［4-6］。并且LVPM電機在動力傳動過程中會受到參數(shù)不確定性和外部擾動等因素的影響。傳統(tǒng)的魯棒控制方法不能有效地處理此類故障系統(tǒng)。

1991年，Kanellakopoulos等［7］針對非線性系統(tǒng)提出反步法（Back stepping）控制策略。作為一種倒推式設(shè)計方法，反步法將高階系統(tǒng)分解為多個子系統(tǒng)，對每個子系統(tǒng)設(shè)計一個虛擬控制律，借助于Lyapunov函數(shù)連接起來，最后通過穩(wěn)定性分析保證各子系統(tǒng)的收斂性，進而實現(xiàn)整個非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定。這種方法可以有效解決帶有參數(shù)不確定性和外部擾動非線性系統(tǒng)的魯棒控制問題。周麗等［8］針對一類不確定嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，結(jié)合滑?？刂坪头床椒刂撇呗?，使跟蹤誤差在有限時間內(nèi)漸近趨于很小的鄰域內(nèi)。于金鵬等［9］采用模糊逼近（Fuzzy approximation）技術(shù)，將自適應(yīng)反步法應(yīng)用于永磁同步電機（Permanent magnet synchronous motor，PMSM）中，設(shè)計出具有高性能的魯棒控制器。唐紅雨等［10］結(jié)合滑模技術(shù)設(shè)計自適應(yīng)控制器并應(yīng)用到LPMV電機中?；谧赃m應(yīng)迭代學(xué)習(xí)技術(shù)，陳升等［11］針對一類下三角非線性系統(tǒng)給出自適應(yīng)容錯模糊控制方法。針對帶有執(zhí)行器故障和參數(shù)不確定性的線性系統(tǒng)，Li等［12］設(shè)計魯棒自適應(yīng)容錯控制器，并進行穩(wěn)定性分析。牛瑞燕等［13］將自適應(yīng)容錯控制技術(shù)應(yīng)用于帶有執(zhí)行器故障的雙關(guān)節(jié)剛性機械手非線性模型中。蔣陽等［14］研究新型抗低頻擾動反電勢觀測器，對直線游標(biāo)永磁電機進行無位置控制。針對永磁直線同步電機系統(tǒng)，許德智等［15］研究基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)技術(shù)的超扭曲終端滑?？刂撇呗?。本文針對帶有執(zhí)行器故障的LPMV電機非線性系統(tǒng)，采用反步法設(shè)計自適應(yīng)容錯控制器，保證所有閉環(huán)輸出信號是有界的，同時也保證系統(tǒng)輸出能夠漸近跟蹤到預(yù)先給定的參考信號。

1 直線游標(biāo)永磁電機數(shù)學(xué)模型

采用組合永磁體陣列的初級LVPM電機結(jié)構(gòu)如圖1所示。初級和次級分別對應(yīng)電機的動子和定子。電機永磁體在電機的轉(zhuǎn)子上，定子為凸結(jié)構(gòu)。定子移動一個轉(zhuǎn)子極距時，動子繞組的磁鏈會產(chǎn)生一次周期性的變化。

圖1 直線游標(biāo)永磁電機結(jié)構(gòu)Fig.1 Configuration of linear vernier permanent magnet motor

利用反步法與自適應(yīng)容錯理論設(shè)計LPMV電機控制器，分為兩步：第一步設(shè)計虛擬控制α1，使第一個閉環(huán)子系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)；第二步設(shè)計自適應(yīng)故障補償控制u，抵消掉外部擾動和執(zhí)行器故障對系統(tǒng)的影響，并實現(xiàn)漸近跟蹤的控制目標(biāo)。

參照旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，把初級及次級坐標(biāo)系分別視為定子坐標(biāo)系和動子坐標(biāo)系。LVPM電機的電壓方程

式中：q為交軸，d為直軸；id和iq為d，q軸電流；ωe為動子電氣角速度；φf為永磁體磁鏈；R為每相繞組電阻；ud和uq為d，q軸電壓；Lq為交軸勵磁電感；Ld為直軸勵磁電感；且φd=Ldid+φf，

忽略電阻，LVPM電機的推力方程

式中：第一項為永磁磁鏈與q軸電流產(chǎn)生的力；第二項為d軸跟q軸電感不相等引起的推力，如果采用隱極機形式或者i=0控制策略，則此項不存在；第三項是由d軸和q軸之間的互感產(chǎn)生的推力，通常情況下，互感都比較小，此項可以忽略不計。

角速度ωe=pπv/t，并且采用id=0控制策略，則推力方程簡化為

LVPM電機動力方程為

式中：p為極對數(shù)；τ為極距；v為動子線速度；ωe為動子機械角速度；F1為直線電機的負(fù)載阻力和電機本身的定位力之和；Bv為粘滯摩擦系數(shù)；M為動子總質(zhì)量。

設(shè)v為實際速度，s為動子位移；令，以及u=iq。根據(jù)式（3）與式（4）將LVPM電機的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達式

由于系統(tǒng)建模過程中存在參數(shù)不確定性，且在長時間運行過程中不可避免地發(fā)生執(zhí)行器故障，因此采用如下容錯控制系統(tǒng)

式中：執(zhí)行器失效因子ρ∈(0，1]；d是系統(tǒng)外部擾動；θ=[θ1，θ2，…，θr]T∈Rr為未知的參數(shù)不確定向量；g(x1，x2)=[g1(x1，x2)，g2(x1，x2)，…，gr(x1，x2)]T∈Rr為相應(yīng)的向量函數(shù)。

對于系統(tǒng)（6），采用自適應(yīng)反步容錯方法，使非線性系統(tǒng)的所有閉環(huán)控制信號是有界的，并且系統(tǒng)輸出x1在執(zhí)行器發(fā)生故障時依舊能漸近地跟蹤到給定的參考信號xr。

假設(shè)1 外部擾動d是有界的，即|d|≤d*；

假設(shè)2 參考信號xr及其一階和二階導(dǎo)數(shù)和都是有界的；

假設(shè)3 控制增益b≠0，且其符號是已知的。

2 自適應(yīng)容錯控制器設(shè)計

容錯控制系統(tǒng)（6）為二階系統(tǒng)，采取反步法倒推出要求的容錯控制器。

對V2求導(dǎo)得

選擇自適應(yīng)容錯控制器以及相應(yīng)的參數(shù)更新律

選擇參數(shù)更新律

定理1對于帶有執(zhí)行器故障和參數(shù)不確定性的LPMV非線性系統(tǒng)（6），在假設(shè)1～3的條件下，自適應(yīng)容錯控制器（9）、（14）和（15）連同參數(shù)更新律（17）～（19）能保證所有閉環(huán)信號一致有界，并且輸出信號漸近地跟蹤到期望的參考信號。

3 仿真實驗

為了驗證LVPM電機反步自適應(yīng)容錯控制策略的有效性，采用MATLAB程序設(shè)計仿真計算。

位移x1與跟蹤信號xr的時間響應(yīng)曲線如圖2所示。位移x1的軌跡從（0，0）點開始做周期性正弦運動，振幅有界區(qū)間為［-2，2］，說明位移在運行過程中是穩(wěn)定的。跟蹤信號xr的位移軌跡與系統(tǒng)輸出位移x1幾乎完全重合，說明自適應(yīng)漸近跟蹤控制精確有效。

LVPM電機系統(tǒng)動子線速度x2的軌跡如圖3所示。線速度x2從（0，2）開始做周期性余弦運動，振幅有界區(qū)間為［-2，2］。說明動子線速度x2在運行過程中是穩(wěn)定的，電機控制系統(tǒng)是有效的。

圖2 位移x1與跟蹤信號xr的時間響應(yīng)Fig.2 Time response of displacement x1 and tracking signal xr

圖3 動子線速度x2的軌跡Fig.3 Trajectory of linear velocity x2 of mover

外部擾動d^的運動曲線如圖4所示。在電機剛開始運行時，外部擾動d^為最大值1，隨后迅速下降，在電機運行10 s后達到穩(wěn)定狀態(tài)，在區(qū)間（0.6，0.65）之間細(xì)微起伏，仿真曲線后期有界，說明控制系統(tǒng)自適應(yīng)補償有效。

圖4 擾動d^的軌跡Fig.4 Trajectory of disturbance d^

故障補償參數(shù)軌跡如圖5所示。在電機剛開始運行時，為最大值1，與擾動在此時的最大值1相對應(yīng)；隨后迅速下降，與擾動的下降對應(yīng)，說明電機控制系統(tǒng)故障補償?shù)募皶r性和準(zhǔn)確性。隨后開始做振幅逐漸變小的周期性運動，振幅區(qū)間為（0.9986，1），說明擾動的變化是周期性的；在故障補償律的作用下，擾動趨于穩(wěn)定，故障補償參數(shù)也逐漸變小趨于穩(wěn)定。仿真曲線后期有界，說明控制系統(tǒng)自適應(yīng)補償機制有效。

圖5 故障補償參數(shù)ζ^的軌跡Fig.5 Trajectory of fault compensation parameterζ^

自適應(yīng)參數(shù)θ^的軌跡如圖6所示。θ^恒正，軌跡從（0，0.1）開始做周期性正弦運動，振幅有界區(qū)間為［0.09，0.11］，說明自適應(yīng)參數(shù)θ^是穩(wěn)定的。在運行過程中，θ^與位移x1和跟蹤信號xr同步，說明電機控制系統(tǒng)能精確有效地進行在線自適應(yīng)容錯控制。

圖6 自適應(yīng)參數(shù)θ^的軌跡Fig.6 Trajectory of adaptive parameterθ^

控制輸出u的軌跡如圖7所示。u從（0，0）開始做周期性簡諧運動，振幅為（-4，2），電機控制系統(tǒng)的控制輸出穩(wěn)定，說明LVPM電機非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)容錯控制模型有效。

圖7 控制輸出u的軌跡Fig.7 Trajectory of control output u

4 結(jié)論

本文綜合考慮參數(shù)不確定性、外部擾動和執(zhí)行器故障對直線游標(biāo)永磁電機非線性系統(tǒng)的影響，運用反步法設(shè)計自適應(yīng)控制器和相應(yīng)的故障補償律，并進行Lyapunov穩(wěn)定性分析和仿真實驗，取得良好的漸近跟蹤效果，從而驗證容錯控制方法的有效性和優(yōu)越性。未來將進一步研究帶有狀態(tài)約束的LVPM電機系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問題。