孟強(qiáng)強(qiáng)，李 昊，王 宇，楊志宏，夏 鑫，于曉光

（遼寧科技大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 鞍山 114051）

薄壁截錐殼具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、質(zhì)量輕和抗彎扭剛度大等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天等領(lǐng)域。但因工作環(huán)境惡劣，薄壁截錐殼構(gòu)件易產(chǎn)生共振和失穩(wěn)等現(xiàn)象，極大影響殼體構(gòu)件的可靠性和疲勞壽命，構(gòu)件的振動(dòng)是亟待解決的關(guān)鍵問(wèn)題。在實(shí)際工程中，如果直接采用原型進(jìn)行試驗(yàn)，難度大、成本高。因此，通常采用動(dòng)力學(xué)相似模型預(yù)測(cè)薄壁截錐殼的固有特性。

Simitses等［1］研究?jī)蓚€(gè)結(jié)構(gòu)體系相似條件，在模型與原型比例相差不大情況下，建立了模型與其原型之間的相似關(guān)系。Rosa等［2］對(duì)薄壁圓柱殼動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行完全相似和不完全相似分析。施傲等［3］以飛行器的薄壁空腔結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，利用量綱分析法獲得完全相似模型和厚度畸變相似模型的固有特性，并結(jié)合數(shù)值仿真驗(yàn)證了相似關(guān)系的準(zhǔn)確性。陳喆等［4］基于π定理和有限元理論，推導(dǎo)薄板原型和模型之間的幾何相似關(guān)系，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系的可行性，但沒有對(duì)畸變相似進(jìn)行說(shuō)明。羅忠等［5］以薄壁圓錐殼為研究對(duì)象，提出一種基于最小二乘法確定畸變模型相似關(guān)系式的方法，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其準(zhǔn)確性。俞孟薩等［6］對(duì)受激振動(dòng)的加肋圓柱殼模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了有限元法和邊界元法提出的理論相似關(guān)系。王國(guó)力等［7］利用能量守恒原理得到復(fù)合錐殼的低階固有頻率，提出動(dòng)力學(xué)相似模型設(shè)計(jì)方法，并通過(guò)算例驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)方法的可行性。王海等［8］分析組合型轉(zhuǎn)子的畸變相似問(wèn)題，基于方程分析法得到畸變模型與原型之間的相似關(guān)系式，并通過(guò)有限元軟件進(jìn)行模態(tài)分析，驗(yàn)證相似關(guān)系式的準(zhǔn)確性。王艾倫等［9］同樣基于方程分析法研究轉(zhuǎn)子原型與畸變模型之間的相似關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)其畸變模型的固有頻率隨畸變因子的增大而減小，表明畸變因子選取的重要性。

綜上所述，對(duì)于薄板、殼等結(jié)構(gòu)相似性的研究較多，對(duì)薄壁截錐殼動(dòng)力學(xué)相似的研究目前較少。本文基于Love殼體理論，針對(duì)薄壁截錐殼構(gòu)件，通過(guò)幾何參數(shù)敏感性分析，推導(dǎo)薄壁截錐殼畸變相似關(guān)系，從而利用畸變模型獲得原型構(gòu)件的固有特性，為航空航天中大型薄壁錐殼相似模型設(shè)計(jì)提供有價(jià)值的參考。

1 結(jié)構(gòu)模型

薄壁截錐殼的幾何模型如圖1所示。以薄壁截錐殼一個(gè)端面上的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立柱坐標(biāo)系。母線長(zhǎng)L=0.6 m，厚度H=0.01 m，殼體大端中面半徑R2=1 m，半錐角α=30°，薄壁截錐殼上任一點(diǎn)位置為R=R2-sinα。坐標(biāo)s、θ、z分別代表母線方向、圓周方向和中面法線方向，相對(duì)應(yīng)的位移分別為u、v、w。

材料的密度ρ=4 420 m3/kg，彈性模量E=110.32 GPa，泊松比μ=0.3。

圖1 薄壁截錐殼理論模型Fig.1 Theoretical model of thin-walled truncated conical shell

2 動(dòng)力學(xué)方程

依據(jù)Love殼體理論得到薄壁截錐殼振動(dòng)微分方程為［10］

式中：Ms、Mθ和Msθ分別為中面上單位長(zhǎng)度的彎矩和扭矩。

薄壁截錐殼的薄膜力和薄膜剪切力表達(dá)式為

彎矩和扭矩表達(dá)式為

式中：D為彎曲剛度；K為薄膜剛度；μ為泊松比。

薄壁截錐殼的振動(dòng)位移可以寫成

式中：m和n分別為薄壁截錐殼的軸向半波數(shù)和周向波數(shù)；ωmn為薄壁截錐殼的固有頻率；Um(s)、Vm(s)、Wm(s)表示s、θ、z方向上的振型函數(shù)。

3 畸變相似關(guān)系的建立

3.1 待選相似關(guān)系推導(dǎo)

設(shè)相似因子為λx=xp/xm，x是薄壁截錐殼的任意參數(shù)，其中m代表模型，p代表原型。對(duì)于幾何尺寸完全相似的薄壁截錐殼，則有λH=λR=λL=λ。將式（2）、式（3）和式（4）代入到式（1），可得薄壁截錐殼的動(dòng)力學(xué)平衡方程

式中：λρ和λω表示密度相似因子、固有頻率相似因子；λK和λD表示薄膜剛度相似因子和彎曲剛度相似因子；λL、λH和λR表示長(zhǎng)度相似因子、厚度相似因子和半徑相似因子。

薄膜剛度和彎曲剛度相似因子表達(dá)式

在畸變相似條件下，可知λL≠λR≠λH，將式（7）代入式（6），得到薄壁截錐殼的待選相似關(guān)系

待選畸變相似關(guān)系可以統(tǒng)一表示為

式中：δ，β，γ分別稱為相似因子λL，λR，λH的權(quán)重，δ+β-γ=1。

3.2 敏感性與相似性聯(lián)系

敏感性是指結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)中，結(jié)構(gòu)特征參數(shù)（特征值λ和特征矢量Φ）對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)p（質(zhì)量、剛度、阻尼、結(jié)構(gòu)參數(shù)）的改變率，即?λ/?p，也稱為特征敏感性［11］。

為建立薄壁截錐殼的畸變相似關(guān)系式，進(jìn)行原型母線長(zhǎng)度、半徑和厚度對(duì)固有頻率敏感性分析。因?yàn)橄嗨埔蜃用舾行员戎悼勺鳛槠湓谙嗨脐P(guān)系中權(quán)重比值［12］，所以依據(jù)分析結(jié)果求出相似因子的權(quán)重比就可以確定畸變相似關(guān)系式。

對(duì)于薄壁截錐殼，當(dāng)長(zhǎng)度L、半徑R、厚度H在極限范圍內(nèi)變化λL，p-t，λR，p-t，λH，p-t∈[1-ε，1+ε]，ε為無(wú)窮小數(shù)，模型相似關(guān)系分別為

式中：λJ，p-t(J=L，H，R)表示參數(shù)J的原型與過(guò)渡模型間的相似關(guān)系；ωp表示原型固有頻率；ωK，t(K=L，H，R)表示參數(shù)K改變時(shí)，過(guò)渡模型的固有頻率；λω，t(M)(M=L，H，R)表示參數(shù)M改變時(shí)，過(guò)渡模型的固有頻率相似因子。

長(zhǎng)度L和半徑R及厚度H對(duì)固有頻率的敏感性分別為

因此，可得

將式（10）帶入到式（12）中，得

當(dāng)相似因子在極限范圍內(nèi)變化時(shí)，即λR，p-t→1，λL，p-t→1，λH，p-t→1，可得

式（13）可寫為

當(dāng)相似因子在小范圍內(nèi)變化時(shí)，可得

3.3 幾何參數(shù)敏感性分析

以分析薄壁截錐殼在簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界條件下第1階固有特性的敏感性為例，原型的幾何參數(shù)和材料參數(shù)和前文相同。

為得到母線長(zhǎng)度L對(duì)薄壁截錐殼第1階固有頻率的敏感性，需保證材料參數(shù)和幾何尺寸厚度H、半徑R與原型保持一致，選擇4個(gè)畸變相似模型，母線長(zhǎng)度相似因子為0.96，0.98，1.02，1.04，通過(guò)有限元仿真分析得到母線長(zhǎng)度L畸變對(duì)應(yīng)的第1階固有頻率ωm，如表1所示。

采用完全相同的方法對(duì)厚度H和半徑R進(jìn)行敏感性分析，得到第1階固有頻率ωm，如表2和表3所示。

將不同幾何參數(shù)模型的第1階固有頻率值擬合成如圖2所示曲線，其擬合方程式分別為

表1 母線長(zhǎng)度L畸變相似模型第1階固有頻率，HzTab.1 First order natural frequencies of bus length L distortion similarity model，Hz

表2 厚度H畸變相似模型第1階固有頻率，HzTab.2 First order natural frequencies of thickness H distortion similarity model，Hz

表3 半徑R畸變相似模型第1階固有頻率，HzTab.3 First order natural frequency of radius R distortion similarity model，Hz

圖2 各參數(shù)畸變相似模型第1階固有頻率擬合曲線Fig.2 First order natural frequencies fitting curve of different parameters distortion similarity model

式中：k為多項(xiàng)式擬合階數(shù)；n為擬合點(diǎn)的個(gè)數(shù)；Yi為真實(shí)值為擬合值為平均值。

將有限元仿真獲得的離散值和擬合方程所得的擬合值代入式（21）中，可得母線長(zhǎng)度L、厚度H和半徑R的畸變相似模型第1階固有頻率擬合曲線的協(xié)方差表明擬合曲線滿足精度要求。

求擬合方程的一階導(dǎo)數(shù)，可得幾何參數(shù)的敏感性為

對(duì)比三個(gè)參數(shù)對(duì)第1階固有頻率的敏感性值，第1階固有頻率對(duì)母線長(zhǎng)度L的敏感性最大，半徑R次之，厚度H最小。

3.4 畸變相似關(guān)系確定

通過(guò)對(duì)母線長(zhǎng)度L、厚度H和半徑R三個(gè)幾何參數(shù)對(duì)第1階固有頻率的敏感性分析，結(jié)合式（17）可得

將式（23）帶入到式（9）中解得

將式（24）帶入式（9），可得薄壁截錐殼的第1階固有頻率的畸變相似關(guān)系為

運(yùn)用同樣的方法分別求出薄壁截錐殼第2階和第3階的畸變相似關(guān)系。具體結(jié)果如表4所示。不同階數(shù)的畸變相似關(guān)系表達(dá)式不相同，各幾何參數(shù)的敏感性也不同，第1階和第3階對(duì)母線L的敏感性最大，第2階對(duì)半徑R敏感性最大。

表4 薄壁截錐殼前3階的畸變相似關(guān)系Tab.4 Distortion similarity of first three orders of thin-walled truncated conical shells

4 仿真驗(yàn)證

本文以分析薄壁截錐殼的前3階固有頻率為例，驗(yàn)證畸變相似關(guān)系。分別建立兩個(gè)畸變模型：模型1取值L=0.576 m，H=0.010 3 m，R=1.02 m，即λL=0.96，λH=1.03，λR=1.02；模型2取值L=0.63 m，H=0.009 6 m，R=1 m，即λL=1.05，λH=0.96，λR=1。采用有限元法得到畸變模型和原型的固有頻率和模態(tài)振型，并采用畸變相似關(guān)系預(yù)測(cè)原型的固有頻率，結(jié)果詳見表5和圖3。

薄壁截錐的畸變相似模型的前3階預(yù)測(cè)頻率與原型固有頻率最大誤差為1.46%，在合理范圍內(nèi)。模型與原型的前3階振型都保持一致。這證明由敏感性分析法得到薄壁截錐殼固有頻率的畸變相似關(guān)系可以預(yù)測(cè)原型固有特性。

5 結(jié)論

本文基于薄壁截錐殼構(gòu)件畸變模型預(yù)測(cè)原型的固有特性，利用動(dòng)力學(xué)微分方程和敏感性分析結(jié)合的方法，建立薄壁截錐殼畸變相似關(guān)系，分析母線長(zhǎng)度L、厚度H、半徑R三個(gè)幾何參數(shù)對(duì)前3階固有特性的敏感性，確定薄壁截錐畸變相似關(guān)系式。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，第1階和第3階對(duì)母線L敏感性最大，第2階對(duì)半徑R敏感性最大。采用有限元仿真表明，前3階預(yù)測(cè)頻率與原型固有頻率之間的誤差均在合理范圍內(nèi)，最大為1.46%；由敏感性分析法得到薄壁截錐殼固有頻率的畸變相似關(guān)系可以預(yù)測(cè)原型的固有特性。

表5 薄壁截錐殼畸變相似模型的固有頻率預(yù)測(cè)值，HzTab.5 Natural frequency prediction value of thin-walled truncated cone shell distortion similarity model，Hz

圖3 薄壁截錐殼原型與畸變相似模型的模態(tài)振型Fig.3 Modal shapes of thin-walled truncated conical shells prototype distortion and model