陳 婷， 白艷萍

（中北大學(xué)理學(xué)院，太原 030051）

陣列信號處理是信號處理的一個重要分支，目的是對陣列接收信號進(jìn)行處理，增強(qiáng)所需有用信號，抑制無用的干擾和噪聲，并提取有用的信號特征及信號所包含的信息［1］. 陣列信號處理研究的主要問題有以下幾個方面：波束形成技術(shù)、空間譜估計、信號源定位和信源分離［2］. 其中，空間譜估計就是對空間信號波達(dá)方向的分布進(jìn)行超分辨估計. 波達(dá)方向估計（DOA）不僅是許多軍事和民用應(yīng)用的一個過程，更是某些設(shè)備的基本功能，例如聲吶和魚雷. 對于這些設(shè)備來說，DOA估計的精度和速度會直接影響設(shè)備的性能，因此，如何改良DOA估計的精度和速度成為國內(nèi)外當(dāng)前研究的重點(diǎn).

如何預(yù)估波達(dá)方向角，解決思路主要有以下兩種：一是建立純數(shù)學(xué)模型，通過大量計算得到結(jié)果，如傳統(tǒng)的多重信號分類算法［3］（MUSIC）、旋轉(zhuǎn)不變子空間算法［4］（ESPRIT）、極大似然算法［5］（ML）等；二是采用智能學(xué)習(xí)進(jìn)行DOA估計，如BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［6］，徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［7］等. 大多數(shù)DOA估計方法都需要對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，并且都有一定閾值限制，在低信噪比和少快拍數(shù)下，ML方法優(yōu)于MUSIC方法和ESPRIT方法，所以我們選用ML方法進(jìn)行主要討論研究.

極大似然估計（ML）方法是子空間擬合類算法中的一種，但是由于其非線性的方向估計似然函數(shù)，導(dǎo)致在求解最優(yōu)解時需進(jìn)行多維搜索，運(yùn)算量較大［8-9］. 近年來，基于仿生學(xué)的智能算法得到了快速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用，不少研究人員嘗試使用這些智能優(yōu)化算法來解決ML-DOA估計中的非線性搜索問題，例如比較經(jīng)典的粒子群優(yōu)化算法（PSO）［10-11］、煙花算法（FWA）［12-13］以及人工蜂群算法（ABC）［14-15］，另外還有近些年提出的正余弦優(yōu)化算法（SCA）［16］、松鼠搜索算法（SSA）［17］以及人群搜索算法（SOA）［18］等. 蝗蟲優(yōu)化算法（GOA）［19-20］是Saremi等人受蝗蟲捕食過程中種群行為的啟發(fā)，在2016年提出的一種新型啟發(fā)式智能優(yōu)化算法. GOA優(yōu)化算法簡單便捷，計算復(fù)雜度較低，具有較高的收斂速度. 近年來，為了提高GOA優(yōu)化算法的性能，眾多專家學(xué)者對此做了大量研究工作. 本文采用改進(jìn)的蝗蟲優(yōu)化算法對極大似然估計方法進(jìn)行改進(jìn)，并且應(yīng)用在信號波達(dá)方向角的預(yù)估方面，通過對不同優(yōu)化算法的迭代時間、對信噪比泛化能力以及信源個數(shù)泛化能力的比較，判別混合變異GOA優(yōu)化ML方法進(jìn)行DOA估計的擬合效果和穩(wěn)定性.

1 算法

本文選用的蝗蟲優(yōu)化算法（GOA）源于對大自然中蝗蟲群體的捕食行為的模擬，不僅通過它當(dāng)前的位置和全局最好的位置更新位置，而且還通過其他蝗蟲的位置更新位置，所有個體都參與到優(yōu)化過程中，搜索效率更高，但是存在陷入局部極值的問題. 為了解決智能優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)的問題，在這里引入重心反向解和柯西變異算子的概念. 重心反向解能夠結(jié)合當(dāng)前個體周圍多個個體的經(jīng)驗，保持種群多樣性. 柯西變異算子則具有更強(qiáng)的全局搜索能力，變異能力強(qiáng)，較易跳出局部最優(yōu)解.

1.1 混合變異蝗蟲優(yōu)化算法

1）參數(shù)初始化，N，Max_iter，Cmax，Cmin，ub，lb 和dim. 其中：N 表示蝗蟲種群個數(shù)；Max_iter 表示最大迭代次數(shù)；Cmax，Cmin用來計算求解c(·)的最值范圍；lb 和ub 是計算蝗蟲間距離的上下邊界值；dim 表示維數(shù).

2）初始化種群，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計算種群中每個蝗蟲的目標(biāo)函數(shù)值，按照目標(biāo)函數(shù)值的大小進(jìn)行排序，找出初始種群中的最優(yōu)個體蝗蟲.

3）開始循環(huán)，參數(shù)c(·)是縮小系數(shù)，目的是用來線性減少舒適空間，排斥空間和吸引空間. t 為蝗蟲當(dāng)前迭代次數(shù)，tmax即Max_iter 表示最大迭代次數(shù)，用

更新當(dāng)前個體位置. 其中s(·)定義為一個函數(shù)表示為蝗蟲間的社會作用力，

其中：f 表示吸引力的強(qiáng)度；l 是有吸引力的大小范圍，此文中l(wèi)=1.5，f=0.5，dij(t)取值范圍為[1 ,4] .

其中：N 代表蝗蟲的數(shù)量，g 是引力常數(shù)，eg表示朝向地心的一個單位矢量，u 表示空氣漂移常量，ew表示與風(fēng)力方向相同的單位矢量. 幼年的蝗蟲沒有翅膀，因此它們主要的動力來源于風(fēng)對蝗蟲的作用力.

5）用下式求出更新后蝗蟲的位置：

其中：k 表示一個[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)；M 是蝗蟲種群位置的一個重心；R1是[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)；η 是用來控制柯西分布變異強(qiáng)度的一個常數(shù)；Xnow表示當(dāng)前蝗蟲個體的位置；Xnew表示更新后蝗蟲個體的位置.

標(biāo)準(zhǔn)柯西分布函數(shù)形式如下：

Cauchy(0,1)是l=1時的標(biāo)準(zhǔn)柯西隨機(jī)分布.

根據(jù)（5）式對當(dāng)前個體的位置進(jìn)行混合變異，得到跳出局部最優(yōu)的搜索點(diǎn)，對這些搜索點(diǎn)代入到目標(biāo)函數(shù)中進(jìn)行計算，與當(dāng)前最優(yōu)個體進(jìn)行比較，如果目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于當(dāng)前最優(yōu)個體的函數(shù)值，則進(jìn)行位置的更新.

6）重新安置超過搜索邊界的個體，計算所有個體的目標(biāo)函數(shù)值，直至達(dá)到最大循環(huán)次數(shù).

7）判斷t 是否達(dá)到Max_iter，若是，則算法結(jié)束，同時輸出T arg etposition 和T arg etfitness；若不是，令t=t+1，轉(zhuǎn)向步驟3）繼續(xù)執(zhí)行.

1.2 基于混合變異GOA優(yōu)化極大似然的DOA估計

在ML算法中，所得信號的似然函數(shù)被定義為含有未知參數(shù)的條件概率密度函數(shù)，通過選定未知的參數(shù)使得似然函數(shù)最大化. 由于求解過程需要多維搜索，運(yùn)算量較大，所以引入混合變異GOA優(yōu)化算法，能夠在保證預(yù)估精度下有效加快搜索速度（圖1）.

2 波達(dá)方向估計

2.1 非相干信號源下仿真實驗

2.1.1 不同優(yōu)化算法雙信號預(yù)測角度 本文通過Matlab驗證所提算法的可行性. 仿真條件：均勻的8元天線陣列，兩個非相干的正弦信號作為信號源，信噪比為10 dB，快拍數(shù)為1000，陣元間距為半波長. 入射角度為［30°，50°］，每個優(yōu)化算法小循環(huán)50次，主循環(huán)100次，對比其他四種不同優(yōu)化算法（蝗蟲優(yōu)化算法（GOA）、人群搜索算法（SOA）、松鼠優(yōu)化算法（SSA）、正余弦優(yōu)化算法（SCA）DOA估計角度.

圖2是五種優(yōu)化算法進(jìn)行DOA估計的角度對比圖. 在100次主循環(huán)迭代過程中，信源1是30°，信源2是50°，GOA、SOA、SSA、SCA四種優(yōu)化方法的輸出DOA估計角度都有不同程度的波峰波谷，而混合變異GOA輸出估計角度曲線在輸入角度附近輕微浮動，更加接近于真實值，可以得出混合變異GOA方法優(yōu)化的極大似然估計效果要優(yōu)于另四種優(yōu)化方法的優(yōu)化效果，混合變異GOA優(yōu)化極大似然的DOA估計角度更加精準(zhǔn)，穩(wěn)定性更高.

圖1 基于混合變異GOA優(yōu)化極大似然的DOA估計算法流程圖Fig.1 Flow chart of DOA estimation algorithm based on mixed mutation GOA optimization maximum likelihood

圖2 雙信號源的輸出DOA估計角度Fig.2 DOA estimation angles of outputs of dual signal sources

圖3是雙信號源的輸出DOA估計角度誤差圖，我們以輸入角度和輸出角度的誤差值作為衡量指標(biāo). 通過圖3可以看出，混合變異GOA方法優(yōu)化極大似然的DOA估計角度誤差曲線介于另外四種方法優(yōu)化極大似然的DOA估計角度誤差曲線之間，在0°曲線附近上下波動，而GOA、SOA、SSA、SCA四種優(yōu)化方法的DOA估計角度誤差都有不同程度的波峰波谷，可以得出混合變異GOA優(yōu)化極大似然的DOA估計測角誤差更小，擬合優(yōu)度更好.

2.1.2 不同優(yōu)化算法的DOA估計評價指標(biāo)對比 仿真條件同仿真實驗1，本實驗選用均方誤差（MSE）、均方根誤差（RMSE）和平均絕對誤差（MAE）作為衡量算法的指標(biāo).

均方誤差（MSE）是衡量“平均誤差”的一種較方便的方法，表示此時觀測值與估計值之間的偏差，其計算公式為：

圖3 雙信號源的輸出DOA估計角度誤差Fig.3 DOA estimation angle errors of outputs of double signal sources

均方根誤差（RMSE）是均方誤差的算術(shù)平方根. 在實際測量中，觀測次數(shù)總是有限的，真值只能用最可信賴（最佳）值來代替，均方根誤差對一組測量中的特大或特小誤差反應(yīng)非常敏感，所以，均方根誤差能夠很好地反映出測量的精密度，其計算公式為：

平均絕對誤差（MAE）是絕對誤差的平均值，能更好地反映預(yù)測值誤差的實際情況，其計算公式為：

式中：yn為第n 次實際輸出值；y^n 為第n 次的網(wǎng)絡(luò)輸出值.

分別將混合變異GOA-ML、GOA-ML、SOA-ML、SSA-ML 和SCA-ML 的MSE 值、RMSE 值和MAE 值進(jìn)行對比，見表1.

表1 基于五種不同算法優(yōu)化極大似然的DOA估計評價指標(biāo)Tab.1 DOA estimation evaluation indexes optimized based on five different algorithms for maximum likelihood

通過表1實驗數(shù)據(jù)可以觀察到，混合變異GOA-ML預(yù)估效果相比另外四種GOA-ML、SOA-ML、SSA-ML、SCA-ML 要更加精準(zhǔn)，在100 次Monte-Carlo 仿真實驗中，DOA 估計的MSE 值、RMSE 值和MAE 值都是這五種優(yōu)化算法中最小的，說明通過混合變異GOA 優(yōu)化算法改進(jìn)后的極大似然估計方法擬合優(yōu)度更好，穩(wěn)定性較高.

2.1.3 不同優(yōu)化算法迭代所需時間對比 仿真條件同仿真實驗1，我們依次將混合變異GOA-ML、GOA-ML、SOA-ML、SSA-ML和SCA-ML的迭代50次，迭代100次，迭代150次，迭代200次的運(yùn)行時間進(jìn)行記錄，見表2.

表2 不同優(yōu)化算法迭代時間所需時間Tab.2 Iteration times required by different optimization algorithms 單位：s

通過表2結(jié)果可知，在其他條件相同時，從運(yùn)算時間來看，SOA-ML算法的運(yùn)行時間是最長的，SSA-ML算法的運(yùn)行時間是最少的，造成這兩種優(yōu)化算法迭代運(yùn)行時間如此大的差距原因是Matlab 是針對矩陣進(jìn)行運(yùn)算的一個軟件，在SOA-ML優(yōu)化算法中，主要迭代過程都是針對矩陣進(jìn)行的，所以導(dǎo)致運(yùn)行時間相對較長，而在SSA-ML優(yōu)化算法中，迭代公式相對簡單，所以運(yùn)行時間最短. 在保證預(yù)估精度的情況下，本文提出的混合變異GOA-ML優(yōu)化算法在運(yùn)行時間方面也是僅次于SSA-ML算法，具有較強(qiáng)競爭力.

2.1.4 不同優(yōu)化算法對信噪比的泛化能力 仿真條件：陣元數(shù)為8，信源數(shù)為2，信噪比為-15 dB、-10 dB、-5 dB、0 dB、5 dB、10 dB、15 dB，采樣點(diǎn)個數(shù)100，這次將兩個獨(dú)立的窄帶信號通過［30°，50°］兩個方向入射到陣列中，利用混合變異GOA-ML算法、GOA-ML算法、SOA-ML算法、SSA-ML算法和SCA-ML算法依次進(jìn)行矢量水聽器的DOA估計，迭代次數(shù)100次，觀察不同信噪比下，基于不同優(yōu)化算法下極大似然估計的DOA估計的RMSE值，見表3.

表3 不同信噪比下的DOA估計誤差Tab.3 DOA estimation errors under different SNRS

圖4 不同信噪比下的DOA估計誤差Fig.4 DOA estimation errors under different SNR

通過圖4和表3結(jié)果可知，在信噪比-15 dB到15 dB之間，基于五種不同優(yōu)化算法下極大似然的DOA估計RMSE 值都呈現(xiàn)減小的趨勢，說明使用智能算法優(yōu)化后DOA 估計效果更加精確，并且混合變異GOA-ML的DOA 估計RMSE值在-15 dB到15 dB之間要低于GOA-ML、SOA-ML、SSA-ML、SCA-ML 四種優(yōu)化算法的RMSE值，可見經(jīng)過混合變異GOA-ML進(jìn)行DOA估計后的測向精度在逐步增強(qiáng)，測角誤差更小，對信噪比的泛化能力更高.

2.1.5 不同優(yōu)化算法對信源個數(shù)的泛化能力 智能優(yōu)化算法的優(yōu)化性能與適應(yīng)度函數(shù)的維數(shù)有關(guān)，在ML-DOA 估計中，極大似然函數(shù)的維數(shù)就是信號源的個數(shù)，為此進(jìn)行DOA 估計的RMSE 值相對于信號源數(shù)量的仿真實驗.

仿真條件：陣元數(shù)為8，信源數(shù)依次為2、4、6、8、10、12、14，信噪比為10 dB，采樣點(diǎn)個數(shù)100，利用混合變異GOA-ML 算法、GOA-ML 算法、SOA-ML 算法、SSA-ML 算法和SCA-ML 算法依次進(jìn)行矢量水聽器的DOA估計，迭代次數(shù)100次，觀察不同信源個數(shù)下，基于不同優(yōu)化算法下極大似然估計的DOA估計的RMSE值，見表4.

表4 不同信源個數(shù)下的DOA估計誤差Tab.4 DOA estimation errors under different numbers of sources

圖5 不同信源個數(shù)下的DOA估計誤差Fig.5 DOA estimation errors under different numbers of sources

通過圖5和表4結(jié)果可知，在當(dāng)前仿真條件下，隨著信號源個數(shù)的增多，RMSE值也相應(yīng)增大，說明信號源個數(shù)較少的時候DOA 估計精度較好. 從這五種算法來說，在相同信源個數(shù)，相同仿真條件下，混合變異GOA-ML 的DOA 估計RMSE 值要小于GOA-ML、SOA-ML、SSA-ML、SCA-ML 四種優(yōu)化算法的DOA 估計RMSE 值，其次是GOA-ML 和SOA-ML 方法，說明混合變異GOA-ML 的DOA 估計在不同信源個數(shù)下都具有較大優(yōu)勢.

2.2 相干信號源下仿真實驗

由于傳播環(huán)境的復(fù)雜性，入射到陣列的信號中往往有相干信號源存在，在DOA估計研究中，相干信號源干擾會造成目標(biāo)定位錯誤. 此實驗我們主要驗證在相干信號源下，本文提出的混合變異GOA-ML模型的有效性.

仿真條件：均勻的8元陣列，兩個相干的信號源，入射角度為［10°，60°］，信噪比為10 dB，快拍數(shù)為500，陣元間距為半波長. 我們選擇傳統(tǒng)的MUSIC方法、ESPRIT方法、ML方法、GOA-ML方法以及本文提出的混合變異GOA-ML方法依次仿真. 圖6是MUSIC方法的輸出DOA估計角度，可以看出波峰位置的坐標(biāo)信息.表5是三種方法的DOA估計效果對比，選擇相對誤差作為衡量指標(biāo). 一般來說，相對誤差更能反映測量的可信程度.

在眾多性能優(yōu)良的高分辨DOA估計算法中，MUSIC算法最為經(jīng)典，它在空域內(nèi)進(jìn)行譜峰搜索求出信源來向. 相比于另外兩種傳統(tǒng)算法來說，MUSIC算法運(yùn)算量要小很多，但是在相干信號下，傳統(tǒng)的MUSIC算法已經(jīng)不能有效地分辨信號的DOA. 通過圖6也可以看出，估計的譜峰最大值對應(yīng)的目標(biāo)源信號入射角度分別為13°和59.5°，同時也存在其他一些小的波峰會對最終的結(jié)論造成干擾.

圖6 MUSIC的輸出DOA估計角度Fig.6 DOA estimation angles of MUSIC output

表5 相干信號下各類方法DOA估計效果對比Tab.5 Comparison of DOA estimation effects of various methods under coherent signals

在相同仿真條件下，觀察表5結(jié)果，比較傳統(tǒng)方法即MUSIC、ESPRIT和ML，ML-DOA對于角度1的估計更為準(zhǔn)確，對于角度2 的估計則優(yōu)于ESPRIT-DOA，略次于MUSIC-ML. 綜合兩個輸入角度的相對誤差來看，ML-DOA在相干信號下具有更強(qiáng)的競爭力. 我們進(jìn)一步優(yōu)化傳統(tǒng)的ML方法，得到了GOA-ML-DOA 方法和混合變異GOA-ML-DOA 方法，在相同仿真條件下進(jìn)行實驗，可知相干信號源下，本文提出的混合變異GOA-ML方法的相對誤差最小，所以在DOA估計精度有了很大的提高.

3 結(jié)果

通過大量仿真對比實驗，我們觀察到本文提出的混合變異GOA-ML 方法比其他優(yōu)化算法的擬合優(yōu)度要好，穩(wěn)定性較高，能夠保證估計值與輸入值誤差在±1°之內(nèi). 在保證預(yù)估精度的前提下，運(yùn)行時間也具有較強(qiáng)的競爭力，對信噪比的泛化能力也比較強(qiáng). 在實際生活中，往往存在的是相干信號源，因此我們討論了在相干信號源下的DOA 估計效果. 通過仿真實驗可知，在相干信號下，相較于傳統(tǒng)的MUSIC 算法、ESPRIT 算法、ML 算法來說，混合變異GOA-ML 方法的相對誤差最小，應(yīng)用范圍更廣，更適用于處理相干信號的問題中.

4 結(jié)語

本文提出了一種基于混合變異GOA優(yōu)化極大似然的新的DOA估計方法，該方法可以有效地提高DOA估計精度. GOA優(yōu)化算法是一種不僅根據(jù)個體當(dāng)前位置，還要根據(jù)和其他個體之間距離更新位置的智能群體優(yōu)化算法，能夠使更新位置更具有全局性，其中引入了柯西變異算子和重心反向解，不僅改善了極大似然估計的搜索效率，也避免了GOA優(yōu)化算法容易陷入局部最優(yōu)的問題，并在非相干信號和相干信號兩大類仿真實驗下，驗證了改進(jìn)方法具有更高的估計精度和更好的泛化能力，并且在保證其他性能良好的情況下，算法運(yùn)行時間方面有較強(qiáng)優(yōu)勢，相對于其他方法的性能有一定的提升.