劉 璐，李云飛

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

0 引言

Pareto分布是研究收入模型的一種分布，它最先由意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家Vilfredo Pareto (1848)提出.Pareto分布在社會(huì)經(jīng)濟(jì)、軍事以及可靠性統(tǒng)計(jì)分析等很多領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用[1-3].因此，研究Pareto分布在參數(shù)估計(jì)和可靠性分析上都具有十分重要的理論意義以及實(shí)用價(jià)值.

關(guān)于Pareto分布性質(zhì)的研究，學(xué)者們通過不斷地對(duì)其進(jìn)行完善和改進(jìn)，已經(jīng)形成了豐富的研究成果：Ouyang[4]對(duì)壽命分布為Pareto分布的n個(gè)元件進(jìn)行定數(shù)截尾實(shí)驗(yàn)，當(dāng)觀測到有r個(gè)元件失效后，研究了剩余元件的失效時(shí)間以及還需要的實(shí)驗(yàn)時(shí)間的Bayes預(yù)測.李鳳[5]基于逐次定數(shù)截尾模型，選取未知參數(shù)的先驗(yàn)分布為無信息先驗(yàn)分布，分別在平方損失和LINEX損失下，討論了Pareto分布的形狀參數(shù)，失效率以及可靠度函數(shù)的Bayes估計(jì).王娟[6]給出了Pareto分布中尺度參數(shù)的幾種區(qū)間估計(jì)方法，重點(diǎn)研究之前不常見的極大似然估計(jì)的漸近正態(tài)性法和輪廓似然函數(shù)法，并說明這幾種方法的適應(yīng)范圍及優(yōu)缺點(diǎn).龍兵[7]基于雙邊定時(shí)截尾Pareto分布?jí)勖囼?yàn)數(shù)據(jù)，利用極大似然法和EM算法分別計(jì)算形狀參數(shù)的極大似然估計(jì)近似值.

而對(duì)于最優(yōu)置信區(qū)間的研究也有很多成果，如，李柏林[8]證明了最優(yōu)區(qū)間估計(jì)的存在性，并推導(dǎo)出了常見分布形狀參數(shù)的區(qū)間估計(jì)公式.田霆[9]在給定的置信度下，求得了定數(shù)截尾Weibull分布的形狀參數(shù)的最短置信區(qū)間.李麗穎[10]研究了在總體均值未知時(shí)，尺度參數(shù)σ及σ2在置信水平為0.90和0.95下的最短置信區(qū)間.

定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)(type-censored sample life test)，又稱II型截尾壽命試驗(yàn)，它是指試驗(yàn)到指定的失效個(gè)數(shù)停止[11-12].國內(nèi)外的許多學(xué)者和專家都對(duì)Pareto分布和最優(yōu)置信區(qū)間分別做了相關(guān)的研究，但是在定數(shù)截尾場合下針對(duì)Pareto分布參數(shù)最優(yōu)置信區(qū)間的研究較少.本文將通過構(gòu)造置信區(qū)間的一個(gè)樞軸量的方法[13]，求定數(shù)截尾場合Pareto分布形狀參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間，并將其與傳統(tǒng)方法求得的置信區(qū)間進(jìn)行對(duì)比分析.

1 Pareto分布中形狀參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間

1.1 Pareto分布參數(shù)θ的置信區(qū)間

若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為θ和σ的Pareto分布，則X的密度函數(shù)為：

f(x;θ,σ)=θσθx-(1+θ)，x>σ，

記為X～Pareto(θ,σ)，其中,θ>0為形狀參數(shù)，σ>0為尺度參數(shù).

fT(t;θ)=θexp(-θt).

所以

因此，由指數(shù)分布的性質(zhì)可知：樞軸量2rθTr～

χ2(2r).

采用傳統(tǒng)方法，對(duì)于給定的α∈(0,1)，求得在置信水平為1-α下θ的置信區(qū)間：

在給定置信水平的情況下，由于卡方分布的概率密度是單峰非對(duì)稱，利用傳統(tǒng)方法構(gòu)造的區(qū)間是等尾置信區(qū)間，而不是最短置信區(qū)間，因此造成傳統(tǒng)方法所求的置信區(qū)間的精度也不高，并且也不是具有一致最小平均長度性質(zhì)的置信區(qū)間.

1.2 最優(yōu)置信區(qū)間

(1)

(2)

1.3 Pareto分布參數(shù)θ的最優(yōu)置信區(qū)間

對(duì)于Pareto分布而言，在給定的置信水平1-α下，假設(shè)存在a,b，其中0

P(a≤2rθTr≤b)=1-α，

由此可得θ的1-α的置信區(qū)間為：

這個(gè)區(qū)間的平均長度為：

(3)

定理1設(shè)x1,x2,…,xn是來自總體X的樣本，總體X服從Pareto(θ,σ)分布，θ為未知參數(shù)，樞軸量2rθTr的分布密度函數(shù)為

F在(a*,b*)處的Hessian矩陣為：

因?yàn)間′(b*)<0，所以λ*g′(b*)>0，Hessian矩陣為正定矩陣，因此(a*,b*)為非線性規(guī)劃的唯一最優(yōu)解.

2 算例分析

假設(shè)某種元件服從尺度參數(shù)為σ=10，形狀參數(shù)為θ=0.5的Pareto分布，現(xiàn)從這批元件中隨機(jī)抽取16個(gè)元件進(jìn)行定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)，所得的壽命數(shù)據(jù)[8](單位：小時(shí))按從小到大的順序排列如下：x1=10.201，x2=11.355，x3=13.507，x4=14.705，x5=23.907，x6=28.327，x7=28.806，x8=32.425，x9=67.62，x10=145.863，x11=230.913，x12=286.61，x13=883.347，x14=1448.172，x15=1635.349，x16=2403.728.在取置信水平1-α=0.95時(shí)，求這批元件服從Pareto分布的形狀參數(shù)的一致最小平均長度的置信區(qū)間.

表1 形狀參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間

從表1可以發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)置信區(qū)間長度比傳統(tǒng)區(qū)間長度相對(duì)縮短了ε%(ε與樣本個(gè)數(shù)n無關(guān))；觀察發(fā)現(xiàn)置信區(qū)間相對(duì)縮短比率ε%的大小不依賴算例數(shù)據(jù)，因此該結(jié)果具有一般性：當(dāng)失效個(gè)數(shù)r≤11時(shí)，最優(yōu)置信區(qū)間相比傳統(tǒng)的置信區(qū)間有較為明顯的縮短，幅度在2%～12%；當(dāng)r>11時(shí)，置信區(qū)間的縮短比率(<2%)逐漸減小.

3 結(jié)論

Pareto分布首先經(jīng)過線性變換轉(zhuǎn)化成指數(shù)分布，然后在定數(shù)截尾試驗(yàn)場合中，給出了構(gòu)造Pareto分布形狀參數(shù)θ置信區(qū)間所需的樞軸量，并且樞軸量服從卡方分布，但是卡方分布的概率密度非對(duì)稱，從而按照傳統(tǒng)方法得到的θ的置信區(qū)間不是最優(yōu)置信區(qū)間；因此在這里進(jìn)一步給出了滿足定數(shù)截尾試驗(yàn)場合Pareto分布參數(shù)θ最優(yōu)置信區(qū)間的條件，并利用拉格朗日乘數(shù)法，將最優(yōu)置信區(qū)間求解過程中的非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為方程問題，由此得到形狀參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間；最后給出了一個(gè)求解定數(shù)截尾場合下Pareto分布參數(shù)最優(yōu)置信區(qū)間的算例分析，通過分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)失效個(gè)數(shù)r≤11時(shí)，最優(yōu)置信區(qū)間相比傳統(tǒng)的置信區(qū)間有較為明顯的縮短，但隨著失效個(gè)數(shù)r>11，置信區(qū)間的縮短比率(<2%)逐漸減小，因此，當(dāng)r≤11時(shí)，可以用最優(yōu)置信區(qū)間作為形狀參數(shù)的置信區(qū)間，這樣將會(huì)提高估計(jì)的精度.