胡宸瀚，馬 亮，王 健

（1. 中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 電子計(jì)算技術(shù)研究所，北京 100081；2. 西南交通大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，成都 610031；3. 中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 通信信號(hào)研究所，北京 100081）

鐵路具有運(yùn)量大、全天候、快速、節(jié)能等優(yōu)勢，是國家重要的基礎(chǔ)設(shè)施和民生工程。經(jīng)過六次大提速和高速鐵路的不斷建設(shè)，我國鐵路已形成以“八縱八橫”高鐵線路為骨架的鐵路網(wǎng)絡(luò)。但與經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展需求和國外先進(jìn)水平相比，我國鐵路網(wǎng)仍需不斷加強(qiáng)和發(fā)展，特別是鐵路網(wǎng)密度和人均鐵路里程2 項(xiàng)指標(biāo)與發(fā)達(dá)國家相比仍有不小的差距[1]。除了不斷擴(kuò)建鐵路基礎(chǔ)設(shè)施外，提高鐵路運(yùn)能經(jīng)濟(jì)、高效的手段是優(yōu)化鐵路網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和運(yùn)輸組織。特別是在實(shí)貨制和隨到隨運(yùn)的鐵路貨運(yùn)新需求下，運(yùn)輸部門需要對(duì)貨流進(jìn)行更準(zhǔn)確的預(yù)測，以便制定更優(yōu)化的運(yùn)輸方案和計(jì)劃。

鐵路網(wǎng)絡(luò)是乘客和貨物的載體，多種物質(zhì)和信息在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間有序流動(dòng)，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和功能容易受到外部環(huán)境的影響，造成堵塞、故障和安全問題。鐵路網(wǎng)絡(luò)覆蓋面積廣、運(yùn)輸組織方式多樣、服務(wù)對(duì)象多變、路網(wǎng)演化與外部環(huán)境緊密聯(lián)系，是典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。需要借助復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析方法和技術(shù)，從不同角度認(rèn)識(shí)鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征、演化機(jī)理等，為解決鐵路網(wǎng)規(guī)劃、運(yùn)輸組織優(yōu)化等提供理論依據(jù)。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究始于1736 年數(shù)學(xué)家歐拉對(duì)哥尼斯堡七橋環(huán)游問題[2]的研究，隨著研究的不斷深入，許多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的“小世界性”[3]和“無標(biāo)度性”[4]等拓?fù)浣y(tǒng)計(jì)性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)。這些性質(zhì)介于規(guī)則與隨機(jī)之間，具有這些性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)稱為“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)”[5]。運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，可以計(jì)算網(wǎng)絡(luò)模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)（指標(biāo)），分析統(tǒng)計(jì)特性的產(chǎn)生機(jī)理，預(yù)測網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為等。在鐵路運(yùn)輸領(lǐng)域，目前針對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究主要集中在基本拓?fù)湫再|(zhì)、脆弱性或者抗毀性、動(dòng)力學(xué)分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化等方面。本文對(duì)這些研究進(jìn)行總結(jié)，并展望今后的研究重點(diǎn)。

1 鐵路運(yùn)輸復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型

鐵路運(yùn)輸依據(jù)服務(wù)對(duì)象主要?jiǎng)澐譃槁每瓦\(yùn)輸和貨物運(yùn)輸2 種類型，鐵路運(yùn)輸復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)地劃分為客運(yùn)網(wǎng)絡(luò)和貨運(yùn)網(wǎng)絡(luò)，此外，還有公鐵和空鐵聯(lián)運(yùn)方式下的復(fù)合網(wǎng)絡(luò)。

1.1 鐵路客運(yùn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型

文獻(xiàn)[6]指出：鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)一般在P、R、L空間中定義，如圖1 所示。

圖1 P、R、L 空間中定義的鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)示意圖

（1）在P 空間（Space P）中：節(jié)點(diǎn)定義為車站，如果至少有一個(gè)車次?？績蓚€(gè)車站，則這兩個(gè)車站之間連接一條邊。

（2）在R 空間（Space R）中：節(jié)點(diǎn)定義為車次，如果兩個(gè)車次?？恐辽偻粋€(gè)車站，則這兩個(gè)車次之間連接一條邊。

（3）在L 空間（Space L）中：節(jié)點(diǎn)仍舊定義為車站，如果兩個(gè)車站在至少一個(gè)車次運(yùn)行中作為相鄰的兩個(gè)站點(diǎn)，則這兩個(gè)車站之間連接一條邊。

在國外研究中，文獻(xiàn)[7]在P 空間建立印度鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，文獻(xiàn)[8]對(duì)P、R、L 空間的中歐鐵路網(wǎng)和瑞士鐵路網(wǎng)進(jìn)行研究。國內(nèi)關(guān)于鐵路客運(yùn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的研究，主要包括地理網(wǎng)、車流網(wǎng)、運(yùn)輸網(wǎng)、換乘網(wǎng)、服務(wù)網(wǎng)等，這些網(wǎng)絡(luò)模型的定義和出處見表1。

除上述鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)模型之外，為完整刻畫鐵路運(yùn)輸系統(tǒng)各組成要素之間的相互作用，有研究提出多層客運(yùn)網(wǎng)絡(luò)模型。文獻(xiàn)[9]在車流網(wǎng)的基礎(chǔ)上，以車站和列車作為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，將車站與列車、車站與車站之間的相互作用作為網(wǎng)絡(luò)的邊，節(jié)點(diǎn)之間相互作用的大小作為邊的權(quán)重，將鐵路旅客運(yùn)輸系統(tǒng)抽象成加權(quán)鐵路客運(yùn)二分網(wǎng)絡(luò)。文獻(xiàn)[10]以區(qū)域城際鐵路客運(yùn)需求作為上層網(wǎng)絡(luò)、列流網(wǎng)絡(luò)作為下層網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建局域尺度的雙層網(wǎng)絡(luò)演化模型。文獻(xiàn)[11]以線路和車站為節(jié)點(diǎn)，線路節(jié)點(diǎn)與其所經(jīng)過的車站之間直接相連，車站節(jié)點(diǎn)的權(quán)重為單位時(shí)間內(nèi)通過的列車數(shù)，線路節(jié)點(diǎn)的權(quán)重為其所包含車站的權(quán)重之和，構(gòu)建鐵路換乘賦權(quán)二分網(wǎng)絡(luò)。

表1 鐵路客運(yùn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的定義及出處

1.2 鐵路貨運(yùn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型

文獻(xiàn)[20]提出鐵路貨物運(yùn)輸服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的概念，突破了貨運(yùn)物理網(wǎng)絡(luò)線路屬性單一、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡單等限制；服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)包括車站作業(yè)點(diǎn)（站場）和作業(yè)時(shí)間點(diǎn)，分別描述服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的空間和時(shí)間屬性；根據(jù)節(jié)點(diǎn)類型的不同，服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中弧段劃分為運(yùn)輸服務(wù)弧段、車站作業(yè)弧段和等待弧段3 類，分別表示鐵路貨運(yùn)車次信息、車站的技術(shù)作業(yè)狀況、節(jié)點(diǎn)等待運(yùn)輸作業(yè)的時(shí)間消耗等；一系列連續(xù)的服務(wù)弧段構(gòu)成一條服務(wù)路徑，用以描述運(yùn)輸作業(yè)全過程。

文獻(xiàn)[21]和文獻(xiàn)[22]建立貨運(yùn)車流網(wǎng)絡(luò)，是一種業(yè)務(wù)邏輯網(wǎng)。文獻(xiàn)[21]以貨運(yùn)列車經(jīng)過的車站為節(jié)點(diǎn)，有向邊表示列車編組去向，建立鐵路貨運(yùn)車流網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)由編組站、主要截流點(diǎn)、一般技術(shù)站和大型裝卸作業(yè)地點(diǎn)構(gòu)成，邊由遠(yuǎn)程直達(dá)、技術(shù)直達(dá)、區(qū)段和直通去向構(gòu)成。文獻(xiàn)[22]將鐵路技術(shù)站作為節(jié)點(diǎn)，以技術(shù)站間的車流交互作為邊，即對(duì)同一車次進(jìn)行技術(shù)作業(yè)的相鄰站間存在連線，構(gòu)建鐵路貨運(yùn)車流網(wǎng)絡(luò)。

鐵路貨運(yùn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的定義和出處見表2。

表2 鐵路貨運(yùn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的定義及出處

1.3 多制式聯(lián)運(yùn)復(fù)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型

單一的鐵路、公路、航空、水路運(yùn)輸已經(jīng)不能緩解交通基礎(chǔ)設(shè)施緊張，難以滿足人們出行的多樣性、快捷性需求，由此產(chǎn)生空鐵、公鐵、水鐵等聯(lián)運(yùn)方式。

文獻(xiàn)[16]在鐵路客運(yùn)車流網(wǎng)和P 空間的航空網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，在同一個(gè)城市火車站和機(jī)場之間增加連邊，構(gòu)建鐵路—航空多層網(wǎng)絡(luò)。文獻(xiàn)[11]在P 空間定義高鐵車流網(wǎng)和航空網(wǎng)，在同屬于一個(gè)城市的高鐵車站和機(jī)場之間增加連邊，構(gòu)建高鐵—航空復(fù)合網(wǎng)絡(luò)。文獻(xiàn)[23]構(gòu)建2 種鐵路快捷貨運(yùn)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)；即鐵路快捷運(yùn)輸網(wǎng)和鐵路快捷服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，2 種快捷網(wǎng)絡(luò)分別從運(yùn)輸條件和鐵路能夠提供的運(yùn)輸服務(wù)兩個(gè)方面入手，是為改善貨物運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的時(shí)效性、便捷性和安全性提供的一種研究方法：若在駁接樞紐內(nèi)公路和鐵路之間可以換裝，或者存在線路銜接，則公路和鐵路快捷服務(wù)網(wǎng)之間存在邊，即可構(gòu)建公鐵綜合快捷貨運(yùn)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)。

2 鐵路運(yùn)輸復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮卣鞣治?/h2>

鐵路運(yùn)輸復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮匦苑治龅闹饕侄问牵和ㄟ^對(duì)平均距離、效率、度分布、聚集系數(shù)、介數(shù)、富人集團(tuán)系數(shù)等統(tǒng)計(jì)參數(shù)的計(jì)算，對(duì)比分析小世界特性、無標(biāo)度特性、集團(tuán)度、脆弱性、抗毀性和異質(zhì)性等特性。

2.1 鐵路復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本統(tǒng)計(jì)參數(shù)

確定網(wǎng)絡(luò)中是否具備某種性質(zhì)，涉及距離、度與度分布、聚集系數(shù)、介數(shù)、富人集團(tuán)系數(shù)等參數(shù)的計(jì)算[24]。

（1）平均距離與效率

在不同的鐵路運(yùn)輸復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)間的距離可以表示鐵路站點(diǎn)之間鐵路線路的里程、換乘次數(shù)等。網(wǎng)絡(luò)中任意兩節(jié)點(diǎn)之間的平均距離(N(N?1)/2)[24]，其中，N為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)，di j指從任意節(jié)點(diǎn)i到另一節(jié)點(diǎn)j最短路徑上所有邊的總和。

效率表示鐵路平均交通的容易程度，定義為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間距離倒數(shù)之和的平均值(N(N?1)/2)。

（2）度與度分布

鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度數(shù)可以表示站點(diǎn)的物理重要性和轉(zhuǎn)乘地位等。令ai j表示網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的矩陣元，節(jié)點(diǎn)i的度定義為其鄰邊數(shù)，記為li=

從概率統(tǒng)計(jì)的角度看，度分布P(l)定義為節(jié)點(diǎn)度為l的節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)中所占的比例，一般服從離散常數(shù)、泊松、冪律等分布。

（3）聚集系數(shù)

聚集系數(shù)可以描述鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中站點(diǎn)之間的聚集程度、聯(lián)系的緊密程度，記為Ci=Si/(ki(ki?1)/2)，其中，Si表示節(jié)點(diǎn)i的 鄰接子圖Gi的實(shí)際邊數(shù)，ki為Gi的節(jié)點(diǎn)數(shù)，則Gi最多有ki(ki?1)/2條邊。

（4）介數(shù)

介數(shù)可以反映節(jié)點(diǎn)或者邊在鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中的影響力與地位，對(duì)于發(fā)現(xiàn)和保護(hù)鐵路關(guān)鍵站點(diǎn)和線路具有重要意義，按照其表述對(duì)象分為節(jié)點(diǎn)介數(shù)和邊介數(shù)。節(jié)點(diǎn)（邊）的介數(shù)是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中所有的最短路徑經(jīng)過該節(jié)點(diǎn)（邊）的數(shù)量與所有最短路徑數(shù)量的比值，即網(wǎng)絡(luò)中所有最短路徑中經(jīng)過該節(jié)點(diǎn)（邊）的數(shù)量比例。節(jié)點(diǎn)i的 介數(shù)njk是連接節(jié)點(diǎn)j和k的最短路徑的數(shù)量，njk(i)是 連 接節(jié)點(diǎn)j和k并且經(jīng)過節(jié)點(diǎn)i最短路的數(shù)量。

（5）富人集團(tuán)系數(shù)

富人集團(tuán)系數(shù)可以刻畫鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中重要節(jié)點(diǎn)之間的緊密聯(lián)系程度，網(wǎng)絡(luò)的k富人集團(tuán)系數(shù)表示度大于k的節(jié)點(diǎn)集合中互相鄰接的節(jié)點(diǎn)比例，用?(k)表示：

其中，R(k)={v∈N(G)|kv＞k}表 示度大于k的節(jié)點(diǎn)集合， |R(k)|表 示k富人集團(tuán)集合的數(shù)目，表示這種集合中互相鄰接的節(jié)點(diǎn)數(shù)目的2 倍。

2.2 小世界與無標(biāo)度特性

小世界特性[24]是指無論網(wǎng)絡(luò)規(guī)模有多大，網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間都可以找到一條相對(duì)較短的路徑。具有小世界特性的網(wǎng)絡(luò)模型稱為WS 小世界網(wǎng)絡(luò)模型，小世界網(wǎng)絡(luò)模型的平均距離與節(jié)點(diǎn)總數(shù)N的關(guān)系大致符合ER 隨機(jī)網(wǎng)模型，但就平均集群系數(shù)特性而言，它又與節(jié)點(diǎn)總數(shù)N無關(guān)，類似于規(guī)則網(wǎng)模型。小世界特性在統(tǒng)計(jì)參數(shù)上的表現(xiàn)為具有相對(duì)較小的平均距離和相對(duì)較大的平均聚集系數(shù)。無標(biāo)度特性[25]表明節(jié)點(diǎn)與其鄰接節(jié)點(diǎn)之間相互作用的異質(zhì)性，體現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)增長和偏好依附的“馬太效應(yīng)”，即只有極少數(shù)節(jié)點(diǎn)具有較大的度，成為中心節(jié)點(diǎn)，大部分節(jié)點(diǎn)度值很小。具體表現(xiàn)為節(jié)點(diǎn)的度分布服從冪率特性，這與規(guī)則網(wǎng)的度分布是 δ函數(shù)、隨機(jī)網(wǎng)的度分布是泊松不同。無標(biāo)度特性在統(tǒng)計(jì)參數(shù)上的表現(xiàn)為度分布滿足冪律函數(shù)。

文獻(xiàn)[9]、文獻(xiàn)[19]及文獻(xiàn)[23]研究發(fā)現(xiàn)：地理網(wǎng)絡(luò)較為稀疏，且較多起止車站處于鐵路網(wǎng)的邊緣；因此，地理網(wǎng)是樹狀網(wǎng)絡(luò)，平均聚集系數(shù)近似為零，平均網(wǎng)絡(luò)距離較大，不具有小世界特性。但是文獻(xiàn)[14]通過擬合雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下的度分布曲線得到近似直線，度分布近似符合冪律分布，同時(shí)求得全國鐵路網(wǎng)聚類系數(shù)為0.130 5，平均距離為9.305，因而推斷2020 年的全國鐵路規(guī)劃網(wǎng)具有無標(biāo)度和小世界特性。

文獻(xiàn)[9]、文獻(xiàn)[19]及文獻(xiàn)[26]研究發(fā)現(xiàn)鐵路車流網(wǎng)具有較小的平均距離和較大的聚集系數(shù)，即乘客或者貨物平均只需要較少的換乘即可從源點(diǎn)到達(dá)目的地，且?guī)讉€(gè)重要的車站與相鄰車站之間聯(lián)系比較緊密，因而具有小世界特性。文獻(xiàn)[9]計(jì)算認(rèn)為鐵路車流網(wǎng)的度分布符合冪律函數(shù)，因而具有無標(biāo)度增長特性。文獻(xiàn)[11]計(jì)算得到與文獻(xiàn)[9]的研究結(jié)果不同，認(rèn)為車流網(wǎng)的度分布更符合指數(shù)分布特性，表明車流網(wǎng)度分布呈現(xiàn)出弱階化結(jié)構(gòu)和度值跨度大的特性。

文獻(xiàn)[12]經(jīng)計(jì)算推導(dǎo)出乘客在中國鐵路網(wǎng)平均需要經(jīng)過12.49 個(gè)車站，才可到達(dá)目的地；而且平均聚集系數(shù)很小，大部分站點(diǎn)的聚集系數(shù)為0，可以看出任意3 個(gè)節(jié)點(diǎn)間直接連接的較少，因此運(yùn)輸網(wǎng)不具備小世界特性。文獻(xiàn)[28]經(jīng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算，得到從任意一個(gè)站點(diǎn)出發(fā)到任意一個(gè)其他站點(diǎn)平均需要3.27次轉(zhuǎn)站，具有明顯的小世界網(wǎng)絡(luò)的特征；度分布符合冪律函數(shù)，說明鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)一定程度上具有無標(biāo)度特性。

文獻(xiàn)[12]計(jì)算得到換乘網(wǎng)的平均最短路段數(shù)為2.15，表明乘客平均乘坐2.15 趟列車到達(dá)目的地點(diǎn)，而且換乘網(wǎng)中聚集系數(shù)為1 的節(jié)點(diǎn)占比為2/3 以上，因而具有小世界特性。文獻(xiàn)[18]針對(duì)加權(quán)換乘網(wǎng)絡(luò)計(jì)算得到：從任意一個(gè)站點(diǎn)出發(fā)平均轉(zhuǎn)乘2 次即可到達(dá)任一目標(biāo)站點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)為1，總體趨勢上節(jié)點(diǎn)的度與聚集系數(shù)呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)的特性；度分布符合冪律分布，具有小世界和無標(biāo)度特性。

文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[16]經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)：復(fù)合鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)與其子網(wǎng)絡(luò)都具有無標(biāo)度特性和小世界特性；無標(biāo)度特性表明，復(fù)合鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)與其子網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模擴(kuò)大，會(huì)導(dǎo)致強(qiáng)者越強(qiáng)、弱者越弱；而小世界特性表明，在復(fù)合鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)與其子網(wǎng)絡(luò)中，從一個(gè)城市到達(dá)另一個(gè)城市總能找到一條最短路徑，且僅需較少的中轉(zhuǎn)次數(shù)。

2.3 集團(tuán)特性

集團(tuán)[24]是指部分節(jié)點(diǎn)相較于其它節(jié)點(diǎn)更加緊密相連組成的子圖。即集團(tuán)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)構(gòu)成完全子圖，集團(tuán)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)與外部節(jié)點(diǎn)連接較為稀疏，一個(gè)m-集團(tuán)定義為一個(gè)包含m個(gè)節(jié)點(diǎn)的完全子圖。依據(jù)集團(tuán)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)之間以及集團(tuán)內(nèi)部與外部節(jié)點(diǎn)之間連接的緊密程度或者數(shù)量，還可存在派系、叢、群等結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[13]對(duì)鐵路網(wǎng)絡(luò)中各車站之間形成的小組團(tuán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，測算城市之間更容易形成聯(lián)合體的空間發(fā)展格局，通過計(jì)算推導(dǎo)出京津冀城際鐵路網(wǎng)絡(luò)存在6-集團(tuán)度。文獻(xiàn)[26]經(jīng)加權(quán)貨運(yùn)車流網(wǎng)的富人集團(tuán)系數(shù)計(jì)算后發(fā)現(xiàn)：編組站進(jìn)行編組作業(yè)時(shí)，要考慮車流對(duì)相鄰編組站的作業(yè)關(guān)聯(lián)性，以及車流量大小的問題，在車流網(wǎng)中是“富人”；富人集團(tuán)現(xiàn)象表明，編組站之間的聯(lián)系十分緊密，體現(xiàn)了編組站在鐵路網(wǎng)中的核心地位，這一點(diǎn)與實(shí)際情況相符。

2.4 脆弱性、抗毀性與魯棒性

脆弱性[24]指鐵路網(wǎng)絡(luò)中不同節(jié)點(diǎn)或者邊受蓄意攻擊、發(fā)生隨機(jī)故障后，能夠引起網(wǎng)絡(luò)連通性或效率等性能下降的程度。基于效率的脆弱性定義為：Vi=(E?Ei)/E，其中，E為網(wǎng)絡(luò)原始效率，Ei為網(wǎng)絡(luò)失效之后的網(wǎng)絡(luò)效率?？箽訹27]與脆弱性相反，是指破壞一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的困難程度。由于度分布的異質(zhì)性，導(dǎo)致面對(duì)不同的失效模式，表現(xiàn)出不同的抗毀性。面對(duì)隨機(jī)故障，即使多數(shù)節(jié)點(diǎn)失效、崩潰，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)仍然可以保持連通性。但是，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中幾個(gè)重要節(jié)點(diǎn)或者邊同時(shí)遭受蓄意攻擊時(shí)，網(wǎng)絡(luò)就變得十分脆弱。因此，如何搜尋和保護(hù)鐵路網(wǎng)絡(luò)中比較脆弱的節(jié)點(diǎn)和邊是非常重要的實(shí)際問題。

文獻(xiàn)[15]、文獻(xiàn)[16]、文獻(xiàn)[26]及文獻(xiàn)[28]通過模擬網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)或者邊在遭到隨機(jī)故障和蓄意攻擊前后，平均路徑長度、最大連通子圖大小、網(wǎng)絡(luò)效率、相對(duì)熵、結(jié)構(gòu)熵等屬性的相對(duì)變化，分析高速鐵路網(wǎng)絡(luò)、空鐵復(fù)合網(wǎng)絡(luò)、地理網(wǎng)絡(luò)、鐵路換乘網(wǎng)絡(luò)等網(wǎng)絡(luò)的脆弱性、抗毀性和魯棒性；結(jié)果表明：由于鐵路網(wǎng)具有小世界特性，即節(jié)點(diǎn)的連接具有“馬太效應(yīng)”，我國鐵路網(wǎng)在選擇性攻擊時(shí)抗毀性差和比較脆弱，而在隨機(jī)故障時(shí)，其魯棒性和抗毀性較強(qiáng)；空鐵復(fù)合網(wǎng)絡(luò)比單層鐵路網(wǎng)的魯棒性較好。

文獻(xiàn)[17]針對(duì)上述文獻(xiàn)中沒有考慮網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響，以遭受級(jí)聯(lián)失效前后網(wǎng)絡(luò)中最大連通片的剩余節(jié)點(diǎn)數(shù)與原網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)總數(shù)之比作為抗毀性測度；通過計(jì)算比較，得到鐵路網(wǎng)的換乘網(wǎng)抗毀性達(dá)到最強(qiáng)且成本值最小時(shí)，級(jí)聯(lián)失效模型的構(gòu)建方法。

文獻(xiàn)[14]通過建立基于流行病的SIR（易感人群（S）、染病人群（I）和免疫人群（R））傳播理論的晚點(diǎn)傳播模型，模擬分析晚點(diǎn)對(duì)鐵路網(wǎng)造成的影響，對(duì)于運(yùn)力緊張的線路，如果晚點(diǎn)就會(huì)導(dǎo)致大面積的列車晚點(diǎn)，但對(duì)于運(yùn)力充足的線路，少量列車的晚點(diǎn)，不會(huì)造成大面積列車晚點(diǎn)，由此可得到晚點(diǎn)傳播模型的無標(biāo)度特性動(dòng)力過程，并通過實(shí)例分析證明：我國鐵路網(wǎng)具有無標(biāo)度特性，對(duì)隨機(jī)攻擊具有很好的魯棒性和較強(qiáng)的容錯(cuò)能力，而對(duì)蓄意破壞則比較脆弱。

3 鐵路運(yùn)輸復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)分析

拓?fù)涮卣鞣治鍪菑慕y(tǒng)計(jì)學(xué)角度研究鐵路運(yùn)輸復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的宏觀表現(xiàn)，關(guān)注基本單元之間的位置關(guān)系、單元之間的某種聯(lián)系等。這種描述是“靜態(tài)”和“平面”的，缺少對(duì)相互作用的豐富特性隨時(shí)間演化機(jī)理的研究，更缺乏描述和刻畫這些相互作用特征與規(guī)律、可預(yù)測系統(tǒng)行為的手段[5]。物理動(dòng)力學(xué)方法旨在從微觀角度，極力尋求節(jié)點(diǎn)之間相互作用對(duì)網(wǎng)絡(luò)的演化、傳播、運(yùn)動(dòng)、傳輸?shù)入S時(shí)間動(dòng)態(tài)變化規(guī)律。

文獻(xiàn)[18]和文獻(xiàn)[26]使用動(dòng)力學(xué)和熱力學(xué)的方法，研究交通流量的分布與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的關(guān)系，并通過調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，模擬交通流量在網(wǎng)絡(luò)中的分布，對(duì)有限的鐵路資源實(shí)行按需分配。文獻(xiàn)[18]結(jié)合我國鐵路網(wǎng)的具體特征，通過隨機(jī)行走模型模擬表明：在鐵路交通網(wǎng)絡(luò)中站點(diǎn)的流量與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)權(quán)成正比，而與站點(diǎn)的度成非線性關(guān)系，但未考慮乘客個(gè)體狀態(tài)的復(fù)雜變化。文獻(xiàn)[26]提出用玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)模型來模擬鐵路客運(yùn)網(wǎng)絡(luò)中的客流分布，結(jié)果表明：無論初態(tài)如何，各車站的客流分布最終會(huì)趨于平衡，各車站的平衡客流量與其點(diǎn)權(quán)正相關(guān)，但未考慮每個(gè)車站最大的乘客數(shù)限制。

動(dòng)力學(xué)傳播理論最初用于流行病的傳播、病毒在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中的傳播等。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)傳播理論是分析由于網(wǎng)絡(luò)中局部故障蔓延之后，對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)影響的一種便利方法，可在網(wǎng)絡(luò)遭受故障、災(zāi)難、失效、攻擊時(shí)，對(duì)其未來狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測和預(yù)報(bào)。交通網(wǎng)絡(luò)傳播動(dòng)力學(xué)研究主要集中在道路交通中的級(jí)聯(lián)失效、用戶均衡配流、道路擁塞傳播等問題，已取得較為豐碩的成果，但在鐵路運(yùn)輸領(lǐng)域僅有較少的文獻(xiàn)，且主要集中于分析列車晚點(diǎn)傳播機(jī)制。

文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[22]運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播動(dòng)力學(xué)理論，分析鐵路網(wǎng)中列車晚點(diǎn)的傳播擴(kuò)散情況，基于SIR 理論，建立全國鐵路列車晚點(diǎn)傳播網(wǎng)絡(luò)模型，分析列車晚點(diǎn)的傳播機(jī)制，并討論通過制定相應(yīng)的應(yīng)急預(yù)案來干預(yù)晚點(diǎn)的傳播，以防止發(fā)生大面積晚點(diǎn)的情況；通過模擬計(jì)算表明：發(fā)生晚點(diǎn)的車站越重要或者數(shù)目越多，造成列車晚點(diǎn)的時(shí)間越短，越容易引起鐵路網(wǎng)的大面積晚點(diǎn)；同時(shí)，鐵路網(wǎng)對(duì)于晚點(diǎn)傳播有一定的控制能力。

4 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鐵路運(yùn)輸網(wǎng)規(guī)劃與運(yùn)輸組織優(yōu)化

國內(nèi)針對(duì)鐵路運(yùn)輸復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的具體應(yīng)用研究，主要是解決鐵路運(yùn)輸網(wǎng)規(guī)劃、運(yùn)輸組織優(yōu)化2類問題。

在鐵路運(yùn)輸網(wǎng)規(guī)劃方面：文獻(xiàn)[12]從鐵路基礎(chǔ)設(shè)施、?？空军c(diǎn)及換乘3 個(gè)角度構(gòu)建物理網(wǎng)、運(yùn)輸網(wǎng)和換乘網(wǎng)3 種網(wǎng)絡(luò)模型，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法分析這3 種網(wǎng)絡(luò)遭受不同攻擊時(shí)的網(wǎng)絡(luò)彈性，為鐵路運(yùn)輸規(guī)劃提供參考。文獻(xiàn)[16]構(gòu)建鐵路—航空多層網(wǎng)絡(luò)和鐵路網(wǎng)絡(luò)、航空網(wǎng)絡(luò)等3 種網(wǎng)絡(luò)，從理論上證明鐵路—航空多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性比鐵路層、航空層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性強(qiáng)，為我國運(yùn)輸規(guī)劃中多式聯(lián)運(yùn)提供有價(jià)值的參考。文獻(xiàn)[13]探討城市群城際鐵路車站空間布局規(guī)劃的優(yōu)化策略，并以京津冀城市群為例，提出城際鐵路車站的整體、車站的局部和車站3 個(gè)層次的城市群的規(guī)劃優(yōu)化措施。文獻(xiàn)[15]建立鐵路地理網(wǎng)整體優(yōu)化模型和局部優(yōu)化模型，提出鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化方案，使其具有更強(qiáng)的容錯(cuò)性。文獻(xiàn)[19]通過分析鐵路客運(yùn)網(wǎng)絡(luò)的可靠性和抗毀能力，提出在高速鐵路客運(yùn)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)中，除了考慮高速鐵路關(guān)鍵車站選址規(guī)劃，也要考慮非關(guān)鍵車站所選位置的抗風(fēng)險(xiǎn)能力，以降低自然災(zāi)害對(duì)關(guān)鍵車站的隨機(jī)性影響。文獻(xiàn)[11]從無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)特性和小世界網(wǎng)絡(luò)特性進(jìn)行分析，提出多式聯(lián)運(yùn)設(shè)計(jì)應(yīng)考慮盡量減少復(fù)合網(wǎng)絡(luò)的換乘次數(shù)，以提高復(fù)合網(wǎng)絡(luò)的有效性，為協(xié)調(diào)高鐵子網(wǎng)絡(luò)與航空子網(wǎng)絡(luò)之間的良性競爭與合作提供了理論依據(jù)。

在鐵路運(yùn)輸組織方面：文獻(xiàn)[18] 基于我國鐵路網(wǎng)絡(luò)的具體特征，分析我國鐵路交通網(wǎng)絡(luò)的客流問題，指出在客流平衡時(shí)，各車站的客流量與對(duì)應(yīng)車站權(quán)重存在正相關(guān)，可為鐵路客運(yùn)運(yùn)輸組織提供參考依據(jù)。文獻(xiàn)[14]模擬分析因突發(fā)事故導(dǎo)致晚點(diǎn)對(duì)鐵路網(wǎng)造成的影響，為鐵路網(wǎng)應(yīng)急處置以及在突發(fā)事件下的鐵路運(yùn)輸組織提供參考。文獻(xiàn)[19]通過分析高速鐵路地理網(wǎng)的連通可靠性，發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵車站一旦遭受攻擊，高速鐵路網(wǎng)的整體連通性會(huì)迅速受到顯著影響，為保證高速鐵路正常運(yùn)營，應(yīng)對(duì)關(guān)鍵車站加強(qiáng)防護(hù)。文獻(xiàn)[20] 認(rèn)為目前服務(wù)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)模型的研究是基于相對(duì)固定的企業(yè)中期貨物運(yùn)量水平條件下的運(yùn)輸資源配置，未能反映實(shí)際運(yùn)量的波動(dòng)和變化，而這種波動(dòng)是影響貨物運(yùn)輸服務(wù)的可靠性水平和資源配置有效性的重要因素，服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)應(yīng)考慮多目標(biāo)的綜合優(yōu)化，才能為貨物運(yùn)輸組織優(yōu)化提供具有實(shí)用價(jià)值的參考。

5 結(jié)束語

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是描述和分析鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、拓?fù)涮卣骱蛣?dòng)力學(xué)演化行為的有力工具，國內(nèi)外也有眾多學(xué)者對(duì)鐵路運(yùn)輸復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)開展研究，相關(guān)研究成果頗為豐碩。在廣泛查閱和研讀現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，從鐵路運(yùn)輸復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的模型構(gòu)建、拓?fù)涮卣鞣治觥?dòng)力學(xué)分析3 個(gè)方面對(duì)這些研究工作進(jìn)行全面地分析和總結(jié)；同時(shí)，對(duì)鐵路運(yùn)輸復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及方法在鐵路運(yùn)輸規(guī)劃和運(yùn)輸組織分析與優(yōu)化2個(gè)主要應(yīng)用方向的研究工作進(jìn)行梳理和概括。

近年來，受全路貨源結(jié)構(gòu)變化影響，貨源向區(qū)域集中的態(tài)勢較為明顯，貨運(yùn)需求不均衡問題更加突出。雖然中國國家鐵路集團(tuán)有限公司對(duì)鐵路網(wǎng)運(yùn)力資源協(xié)調(diào)配置進(jìn)行籌劃部署，優(yōu)化了客貨列車開行結(jié)構(gòu)，釋放普鐵繁忙干線，為貨運(yùn)擴(kuò)能創(chuàng)造更大空間，但是通道瓶頸依然存在，且有逐漸加劇的趨勢，制約了運(yùn)力的進(jìn)一步提升。為此，圍繞鐵路運(yùn)輸網(wǎng)及運(yùn)輸組織不斷優(yōu)化的任務(wù)，有必要繼續(xù)深入推進(jìn)基礎(chǔ)理論與方法的研究。展望我國鐵路運(yùn)輸復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究工作，提出如下考慮與建議：

（1）與鐵路客運(yùn)相比，現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)鐵路貨運(yùn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建方法研究相對(duì)較少。隨著鐵路貨運(yùn)改革的推進(jìn)，鐵路貨物運(yùn)輸在我國物流運(yùn)輸領(lǐng)域中的地位越來越重要，有必要結(jié)合鐵路貨運(yùn)基礎(chǔ)設(shè)施現(xiàn)狀、發(fā)展和運(yùn)輸組織的特點(diǎn)，在現(xiàn)有研究成果基礎(chǔ)上，從不同層面建立典型的鐵路貨運(yùn)邏輯業(yè)務(wù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，并針對(duì)每一種鐵路貨運(yùn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，統(tǒng)一定義其相關(guān)要素和數(shù)據(jù)選擇標(biāo)準(zhǔn)，以反映鐵路地理網(wǎng)絡(luò)對(duì)鐵路貨運(yùn)服務(wù)水平的影響；在形成共識(shí)和統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，不斷持續(xù)推進(jìn)研究的深度，提升研究成果的實(shí)用性，使相關(guān)理論研究更好地服務(wù)于鐵路貨運(yùn)網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃和貨運(yùn)組織優(yōu)化。

（2）現(xiàn)有文獻(xiàn)較多地從宏觀角度統(tǒng)計(jì)分析鐵路網(wǎng)的拓?fù)涮卣?，分析的前提條件較為嚴(yán)苛和理想化，如假設(shè)某一個(gè)車站或一條線路功能全部失效，但實(shí)際中出現(xiàn)這類情況的概率比較小，應(yīng)該重點(diǎn)考慮車站或者線路通過能力和作業(yè)效率下降的程度或者概率，從概率統(tǒng)計(jì)方面研究脆弱性、可靠性、抗毀性和容錯(cuò)性等問題。

（3）現(xiàn)有文獻(xiàn)較少從微觀角度分析鐵路網(wǎng)的動(dòng)力學(xué)特性，包括：流量預(yù)測、級(jí)聯(lián)失效、晚點(diǎn)傳播等?？煽紤]依據(jù)以往車流歷史數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)分析車流與點(diǎn)權(quán)、車流與邊權(quán)的相關(guān)性；依據(jù)鐵路車流組織特點(diǎn)，建立系統(tǒng)熱力學(xué)模型，通過對(duì)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，探索外界環(huán)境與系統(tǒng)之間的關(guān)系，挖掘出外界客源或者貨源與系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系，以及外界客源與貨源與系統(tǒng)之間的交換作用關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)未來一段時(shí)刻鐵路網(wǎng)中車流分布進(jìn)行預(yù)測，并根據(jù)車流變化情況，編制各鐵路局集團(tuán)公司的日班計(jì)劃，組織運(yùn)輸生產(chǎn)。