李林，李志堅(jiān)

（山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 030006）

0 引言

量子點(diǎn)的電子輸運(yùn)是人們長(zhǎng)期以來(lái)研究的課題，然而相關(guān)的研究工作很少考慮量子點(diǎn)與電極耦合界面的變化。實(shí)際上，量子點(diǎn)和電極界面很容易受到化學(xué)反應(yīng)、局部熱效應(yīng)等的影響而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性的變化。電子輸運(yùn)特性可能會(huì)對(duì)這種界面變化非常敏感，有時(shí)會(huì)提升輸運(yùn)能力，有時(shí)卻會(huì)降低輸運(yùn)能力。界面變化的細(xì)節(jié)不可控制，界面的動(dòng)力學(xué)行為對(duì)系統(tǒng)輸運(yùn)性質(zhì)會(huì)產(chǎn)生何種影響值得進(jìn)一步探究［1—4］。

近年來(lái)，隨著實(shí)驗(yàn)上用微波或光輻射控制系統(tǒng)電子特性的操作越來(lái)越精密，人們對(duì)含時(shí)量子系統(tǒng)的輸運(yùn)性質(zhì)的研究給予了更多關(guān)注［5］，包括發(fā)展新的輸運(yùn)理論來(lái)處理含時(shí)輸運(yùn)問(wèn)題，使得量子輸運(yùn)理論更加完善［6—8］。量子點(diǎn)與電極耦合時(shí)，會(huì)有分子鍵的伸縮振動(dòng)，形成依賴(lài)于時(shí)間的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。該理論考慮了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)，基于非平衡格林函數(shù)方法并遵循近似求解Dyson方程的原理，借鑒布蘭德斯的想法把Wigner空間中表示的Kadanoff-Baym方程按質(zhì)心時(shí)間的導(dǎo)數(shù)梯度展開(kāi)［9—10］，最后給出系統(tǒng)電流的近似表達(dá)式。一些研究工作［11—13］使用了這種梯度展開(kāi)的方法，探究了量子點(diǎn)與電極間耦合化學(xué)鍵的相應(yīng)彈簧常數(shù)值以及化學(xué)鍵間的相互作用等對(duì)系統(tǒng)輸運(yùn)性質(zhì)產(chǎn)生的影響。然而，在量子輸運(yùn)過(guò)程中，量子相干性起著非常重要的作用，會(huì)導(dǎo)致量子共振現(xiàn)象，使得電子輸運(yùn)特性發(fā)生很大的改變。量子系統(tǒng)與電極接觸的界面變化產(chǎn)生的影響會(huì)如何改變相干量子輸運(yùn)特性，對(duì)于設(shè)計(jì)量子器件和改善其效能非常重要。并聯(lián)雙量子點(diǎn)體系是研究量子相干的典型模型，通過(guò)改變施加的磁通，系統(tǒng)的電導(dǎo)會(huì)展現(xiàn)出Fano共振、Kondo效應(yīng)等量子相干特征。本文中，我們基于格林函數(shù)輸運(yùn)理論，考慮量子點(diǎn)和電極耦合界面在其平衡位置附近的振蕩，以并聯(lián)雙量子點(diǎn)AB環(huán)為模型研究磁通的大小和量子點(diǎn)間耦合強(qiáng)度的變化對(duì)體系輸運(yùn)性質(zhì)的影響。

1 理論模型

我們考慮由兩個(gè)量子點(diǎn)組成的并聯(lián)雙量子點(diǎn)耦合到正常金屬電極上，兩量子點(diǎn)間存在隧穿耦合，并施加兩個(gè)不同的磁通?L和?R，形成雙AB環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖1所示。系統(tǒng)的總哈密頓量由雙量子點(diǎn)哈密頓量HM、左右電極哈密頓量HL和HR、左右電極和量子點(diǎn)的耦合哈密頓量HLM和HRM組成，可表示為

圖1 與電極耦合的并聯(lián)雙量子點(diǎn)體系的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the double quantum dot coupled with the electrodes

左右正常金屬電極可看作是無(wú)相互作用的費(fèi)米海，其哈密頓量為

其中di?(di)表示第i(i＝1，2)個(gè)量子點(diǎn)中能量為εi的電子的產(chǎn)生（湮滅）算符，ν表示兩個(gè)量子點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度，θ＝2π(?L—?R)/?0（?0＝hc/e是磁通量子單位）表示電子從一個(gè)量子點(diǎn)隧穿到另一個(gè)量子點(diǎn)時(shí)相位的改變量。并聯(lián)雙量子點(diǎn)AB環(huán)與左右電極間的耦合哈密頓量HαM為

其中r(qαi，φαi)是量子點(diǎn)i與金屬電極α的耦合強(qiáng)度，看作量子點(diǎn)i與電極α界面在平衡位置附近振蕩位移qαi和電子通過(guò)該界面時(shí)相位變化φαi的函數(shù)。本文中我們選取，其中φ＝2π(?L+?R)/?0是由兩個(gè) AB環(huán)的磁通之和導(dǎo)致的相位變化。假設(shè)耦合強(qiáng)度r(qαi，φαi)與振蕩位移qαi和相位φαi有如下關(guān)系：

2 Wigner空間中電流的近似計(jì)算

2.1 Wigner空間中的電流表達(dá)式

2.2 Wigner空間中Kadanoff—Baym方程的近似解及電流的動(dòng)態(tài)修正

3 結(jié)果與討論

3.1 耦合參數(shù)λ對(duì)系統(tǒng)電導(dǎo)的影響

為了探究界面振蕩對(duì)電流的影響，我們考慮系統(tǒng)處于平衡構(gòu)型，即q→0時(shí)的情況，這里需要注意的是，雖然q＝0，但≠0。假設(shè)γL＝γR，則ΓL＝ΓR，從方程（22）式可知，這里零階電導(dǎo)表達(dá)式與不考慮界面振蕩時(shí)的電導(dǎo)形式一致，本文主要的工作是研究二階電導(dǎo)的修正效應(yīng)。

在不考慮磁通?α的情況下，取費(fèi)米能級(jí)ω＝0，且ε1＝ε2＝ε時(shí)，系統(tǒng)的線性電導(dǎo)為

其中γ＝γL+γR。式中的第一項(xiàng)為零階電導(dǎo)，正好是不考慮界面振蕩時(shí)的電導(dǎo)表達(dá)式，第二項(xiàng)是與成正比的二階修正電導(dǎo)。選取，把γ作為能量單位。圖2是點(diǎn)間耦合分別在ν＝0和ν＝1的兩種情況下，且耦合參數(shù)λ均為0、0.1、0.2、0.7、1、2時(shí)，電導(dǎo)隨量子點(diǎn)能級(jí)的變化曲線。從圖2（a）中可以看出，當(dāng)λ＝0時(shí)，也就是沒(méi)有考慮界面振蕩時(shí)，電導(dǎo)的極大值為2，此時(shí)兩個(gè)量子點(diǎn)的能級(jí)和費(fèi)米面一致，兩個(gè)量子點(diǎn)分別作為一條輸運(yùn)通道，系統(tǒng)同時(shí)能夠輸運(yùn)兩個(gè)電子。隨著λ的增加，ε＝0處的電導(dǎo)值會(huì)由電導(dǎo)曲線的極大值變?yōu)闃O小值，轉(zhuǎn)變點(diǎn)約為λ＝0.7。當(dāng)ε＝0處出現(xiàn)電導(dǎo)極小值時(shí)，我們稱(chēng)為強(qiáng)耦合，否則稱(chēng)為弱耦合。不同λ值下的電導(dǎo)曲線總是相交于處，也就是此時(shí)電導(dǎo)的二階修正項(xiàng)為零。當(dāng)時(shí)，界面振蕩總是會(huì)減小電導(dǎo)值，且耦合參數(shù)λ越大，降低的幅度越大。當(dāng)時(shí)，界面振蕩導(dǎo)致的二階修正項(xiàng)則會(huì)增大電導(dǎo)值。隨著量子點(diǎn)能級(jí)繼續(xù)遠(yuǎn)離費(fèi)米能級(jí)，又會(huì)導(dǎo)致電導(dǎo)減小，但減小的幅度較小。圖2（b）給出當(dāng)ν＝1時(shí)，電導(dǎo)隨量子點(diǎn)能級(jí)的變化。與圖2（a）相比，可以看出兩個(gè)量子點(diǎn)間的耦合只會(huì)使得電導(dǎo)曲線向左平移ν，并不影響量子點(diǎn)的輸運(yùn)特性。類(lèi)似前面的運(yùn)算過(guò)程，可以得到單量子點(diǎn)系統(tǒng)的線性電導(dǎo)。圖3給出單量子點(diǎn)系統(tǒng)和并聯(lián)非耦合雙量子點(diǎn)系統(tǒng)的電導(dǎo)比較，從圖中可以看出，并聯(lián)非耦合雙量子點(diǎn)系統(tǒng)的零階電導(dǎo)的峰值是單量子點(diǎn)系統(tǒng)的2倍，但二階修正電導(dǎo)的峰值卻是1/2倍。相對(duì)而言，并聯(lián)雙量子點(diǎn)系統(tǒng)會(huì)比單量子點(diǎn)系統(tǒng)受到界面的影響更小。通過(guò)改變耦合參數(shù)λ的取值大小，發(fā)現(xiàn)結(jié)果與上面討論的情況一致，即與耦合參數(shù)λ的大小無(wú)關(guān)。

圖2 不同耦合參數(shù)λ下電導(dǎo)隨量子點(diǎn)能級(jí)ε的變化曲線，其余參數(shù)選取為，θ＝0，φ＝0Fig.2 Conductance as energy levelεof quantum dots under different coupling parametersλ.Parameters used in calculations are，θ＝0，φ＝0

圖3 （a）零階電導(dǎo)、（b）二階修正電導(dǎo)、（c）電導(dǎo)在單量子和并聯(lián)雙量子點(diǎn)兩種系統(tǒng)中，隨量子點(diǎn)能級(jí)ε變化的曲線對(duì)比圖。參數(shù)選取實(shí)線 λ＝ 0.5，虛線 λ＝ 1，，v＝0，θ＝0，φ＝0Fig.3 Comparison of the curves of zero-order conductance（a），second-order modified conductance（b），and conductance（c）in single quantum and parallel double quantum dot systems with changes in quantum dot energy levelsε.Parameters used in calculations are λ＝ 1，，ν＝0，θ＝0，φ＝0

3.2 磁通?α對(duì)系統(tǒng)電導(dǎo)的影響

接下來(lái)我們研究并聯(lián)雙量子點(diǎn)AB環(huán)中磁通對(duì)電導(dǎo)的影響。前文中我們限定了通過(guò)兩個(gè)AB環(huán)的磁通大小相等方向相反，所以φ＝0，只看兩個(gè)相反方向的磁通差產(chǎn)生相位θ的影響。選取、λ＝0.2和ν＝1，在不同θ下電導(dǎo)隨量子點(diǎn)能級(jí)的變化如圖4所示。當(dāng)θ＝0時(shí)，兩個(gè)子AB環(huán)中的磁通都為零，結(jié)果和圖2相同，只是由于選取ν＝1導(dǎo)致了電導(dǎo)向左平移（黑線所示）。當(dāng)θ＝π時(shí)，ν前的相位因子eiθ等于—1，相當(dāng)于ν反號(hào)，使得電導(dǎo)曲線（紫線所示）向右平移。在兩種情況下，二階電導(dǎo)修正很小。當(dāng)θ＝π/2時(shí)，圖4（a）中的零階電導(dǎo)在ε＝±ν處出現(xiàn)完全對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)峰（藍(lán)線所示），二階修正電導(dǎo)同樣關(guān)于ε＝0對(duì)稱(chēng)。當(dāng)θ＝π/3時(shí)，零階電導(dǎo)在ε＝±ν處雖然出現(xiàn)兩個(gè)峰，但是兩峰不對(duì)稱(chēng)，右側(cè)峰形成了一個(gè)Fano峰（紅線所示）。二階電導(dǎo)表現(xiàn)出明顯的不對(duì)稱(chēng)性，進(jìn)一步增強(qiáng)了右側(cè)峰的Fano共振行為。當(dāng)θ＝2π/3時(shí)，觀測(cè)到的左右峰的現(xiàn)象與θ＝π/3的情況恰恰相反，即Fano峰會(huì)出現(xiàn)在左側(cè)（綠線所示）。由此可以看出，在弱耦合情況下，當(dāng)θ≠nπ/2時(shí)，電導(dǎo)會(huì)出現(xiàn)Fano效應(yīng)，二階修正電導(dǎo)會(huì)因兩個(gè)AB環(huán)中的磁通差的不同而改變，增強(qiáng)Fano共振行為。

圖4 磁通不同時(shí)，（a）零階電導(dǎo)、（b）二階修正電導(dǎo)、（c）電導(dǎo)隨量子點(diǎn)能級(jí)ε的變化圖Fig.4 Zero-order conductance（a），second-order modified conductance（b）conductance（c）with the energy levelεof quantum dots under different magnetic flux conditions

4 結(jié)論

我們采用非平衡格林函數(shù)方法，考慮量子點(diǎn)和電極之間的含時(shí)耦合效應(yīng)，研究了并聯(lián)雙量子點(diǎn)AB環(huán)的輸運(yùn)特征。研究發(fā)現(xiàn)并聯(lián)雙量子點(diǎn)系統(tǒng)中量子點(diǎn)與電極耦合界面的振蕩運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的輸運(yùn)性能改變。在弱耦合情況下，發(fā)現(xiàn)通過(guò)改變AB兩個(gè)子環(huán)之間的磁通量的大小，零階電導(dǎo)會(huì)有Fano效應(yīng)出現(xiàn)，二階修正電導(dǎo)對(duì)該效應(yīng)可以進(jìn)一步增強(qiáng)，進(jìn)而改變系統(tǒng)的輸運(yùn)性能。