杜瑋翎

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

0 引言

子流形作為微分幾何的一個(gè)重要分支，內(nèi)容十分豐富.常平均曲率子流形是子流形中重要的一類，有許多有意義的結(jié)論，特別是對(duì)極小子流形的研究，得到了許多重要定理.如著名的Simons不等式[1]，

即：設(shè)Mn是單位球面Sn+p(1)的n維緊致無邊的極小子流形，S表示其第二基本形式模長的平方，則有

其中*1表示M上的體積元.Simons不等式給出后，陳省身[2]，李安民[3]等又繼續(xù)得出了一些推論.

最近，Chen-Cheng[5]利用Jacobi算子的特征值，刻畫了球面上的常平均曲率的超曲面，對(duì)超曲面進(jìn)行了分類.

事實(shí)上，若將單位球面Sn(1)看作是歐氏空間Rn+1的超曲面，則球面中的任意子流形均為曲率子流形，因此研究具有常平均曲率的曲率子流形是自然且有意義的.Wu[6]研究了曲率子流形的基本方程，張宇萍[7]證明了極小曲率子流形的一個(gè)Simons型不等式的結(jié)論，推廣了Simons的結(jié)論.基于以上研究，本文中利用一類Schr?dinger算子的特征值，繼續(xù)研究了曲率子流形的一些性質(zhì)，推廣了Wu[4]、Chen-Cheng[5]的部分結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

1≤A,B,C,…≤n+p;1≤i,j,k,…≤n;n+1≤α,β,γ,…≤n+p.

令{ωA}是{eA}的對(duì)偶標(biāo)架場(chǎng),當(dāng)限制在Mn上時(shí),有ωα=0，則有0=dωα.

由Cartan引理可知

(1)

(2)

可得Ricci恒等式

(3)

(4)

(5)

(6)

其中*1表示Mn的體積元.

(7)

當(dāng)且僅當(dāng)bi中至少有n-1個(gè)相等時(shí)等號(hào)成立.

2 主要定理及證明

(8)

這里*1表示M的體積元.

定理2.1的證明如所知

當(dāng)?shù)胤N植的大田作物主要有水稻、玉米、小麥等。當(dāng)前除了冬小麥播種有少量用肥需求，當(dāng)?shù)匾呀?jīng)基本進(jìn)入用肥淡季。受化肥價(jià)格持續(xù)高位影響，加上農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格低，當(dāng)?shù)剞r(nóng)民用肥量有所減少，尤其在施肥結(jié)構(gòu)方面，因尿素的價(jià)格大大高于往年同期，所以很多農(nóng)民尿素的使用量大大降低，相應(yīng)地，復(fù)合肥的使用量有所增加。

(9)

由于M是非全測(cè)地的，則

通過直接計(jì)算可知

由引理1.2，我們有

由文獻(xiàn)[6]，可得

于是

因而

(10)

由(9)式和(10)式，我們得到

令ε→0，結(jié)合|λ|≥c(c>0).

2)μ1=0，當(dāng)且僅當(dāng)S=0.

2)若S=0，顯然算子L1=-Δ，μ1=0.反之，若μ1=0，則由定理2.1可知M必是全測(cè)地的.

結(jié)合定理2.1和定理2.2，我們得到：

1)μ1=0，如果Mn是全測(cè)地的.

2)μ1≤-nc2，其他.

下面，我們假設(shè)H≠0，由(9)～(10)式可得

(11)

令μi=κi-H，則有

(12)

(13)

由(11)～(13)式可得

(14)

對(duì)任意常數(shù)α>0，ε>0，令fε=(B+ε)α，則由(14)式計(jì)算得到

(15)

又由于H是常數(shù)，則

因此

又對(duì)任意常數(shù)β,可得

(16)

又因?yàn)?/p>

于是

=0

(17)

由(16)、(17)式，可得

當(dāng)1-2α(1-β)>0時(shí)，

因?yàn)镸是非全臍曲率子流形，則

令ε→0，結(jié)合|λ|≥c>0.

則有

(18)

λ1≤-nH2-n(c2+H2).

又由

可知

(19)

則此時(shí)

(20)

代入(18)式知

(21)

結(jié)合(20)式，計(jì)算可得

4(n-1)(1-2α(1-β))(c2+H2)-2α(1-β)(n-2)2H2

(22)

由 (18)、(21)、(22)式，可得

(23)

定理得證.

3 結(jié)束語

本文中研究了具有常平均曲率的曲率子流形上的一類Schr?dinger算子，估算了其第一特征值的上界，推廣了Wu[4]、Chen-Cheng[5]的部分結(jié)果.由于曲率子流形中外圍空間的性質(zhì)不確定，本文中結(jié)果未得出剛性的情形，這也是以后可研究的一個(gè)方面.同時(shí)，根據(jù)Chen-Cheng的結(jié)果，余維數(shù)p≥2情形下的Jacobi算子的特征值估計(jì)，帶權(quán)的Jacobi算子估計(jì)等都是可以考慮的問題.