趙玉龍 郭吉蘋 郭正華 盛 偉 陳 勇

(①南昌航空大學(xué)航空制造工程學(xué)院，江西 南昌 330063；②南昌航空大學(xué)科技學(xué)院，共青城 332020；③南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

面齒輪[1-2]傳動(dòng)是一種圓柱齒輪與圓錐齒輪相嚙合的新型齒輪傳動(dòng)，面齒輪傳動(dòng)具有傳動(dòng)平穩(wěn)、動(dòng)力分流效果好等優(yōu)點(diǎn)[3]，主要應(yīng)用于直升機(jī)主減速器的動(dòng)力分流機(jī)構(gòu)，適應(yīng)于高速、重載的工作環(huán)境。國(guó)內(nèi)目前研究直齒與斜齒面齒輪傳動(dòng)居多，進(jìn)行了齒面方程的推導(dǎo)以及齒輪接觸強(qiáng)度的計(jì)算，對(duì)于正交弧線齒面齒輪[4-6]的相關(guān)研究還較少，其中趙寧[7-8]研究了直齒面齒輪修形及承載接觸分析，彭先龍[9]研究了斜齒面齒輪傳動(dòng)齒面主動(dòng)修形與邊緣接觸分析，陳書涵[10]研究了安裝誤差對(duì)面齒輪傳動(dòng)接觸軌跡與接觸應(yīng)力的影響規(guī)律。本文推導(dǎo)了弧線齒面齒輪齒面方程，并對(duì)嚙合點(diǎn)進(jìn)行求解，計(jì)算了嚙合點(diǎn)的主曲率、主方向和接觸應(yīng)力，為后續(xù)有限元分析研究提供理論依據(jù)。

1 正交弧線齒面齒輪基本方程

1.1 弧線齒面齒輪展成坐標(biāo)系的建立

本文弧線齒面齒輪的加工是以端面為漸開線的弧線齒圓柱齒輪作為假想刀具，通過(guò)包絡(luò)成形運(yùn)動(dòng)展成的，確立弧線齒面齒輪展成關(guān)系如圖1所示，建立弧線齒面齒輪展成坐標(biāo)系如圖2所示。刀具齒輪的固定坐標(biāo)系和固連坐標(biāo)系為o0-x0y0z0和o1-x1y1z1，面齒輪的固定坐標(biāo)系和固連坐標(biāo)系分別為o2-x2y2z2和o3-x3y3z3。其中：φ1、φ3分別為刀具齒輪和面齒輪展成時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度，A1為刀具齒輪軸線與面齒輪齒頂平面的距離，且A1=R1-ha，其中ha為假想刀具齒頂高。

1.2 弧線齒面齒輪齒面方程推導(dǎo)

在展成坐標(biāo)系下，弧線齒圓柱齒輪齒面方程為

(1)

(2)

式中：Rb為弧線齒圓柱齒輪的基圓半徑，θs為漸開線上的角度參數(shù)，θs0為齒槽角，β為位置角，h為齒寬參數(shù)，R1為分度圓半徑，RT為圓弧半徑。

根據(jù)各坐標(biāo)系之間的位置關(guān)系，坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換矩陣如下：

則刀具弧線齒圓柱齒輪包絡(luò)弧線齒面齒輪的齊次轉(zhuǎn)換矩陣為M31：

M31=M32·M20·M01

(3)

在假想刀具包絡(luò)展成弧線齒面齒輪的過(guò)程中，假設(shè)接觸點(diǎn)隨刀具齒輪坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)的速度v1，隨面齒輪坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)的速度v3，通過(guò)變換矩陣M31可得k3和k1的關(guān)系，刀具齒輪與被加工面齒輪的齒面接觸處的相對(duì)速度v(1,3)為

(4)

假設(shè)ω1=1 rad/s，得到相對(duì)速度v(1,3)的方程

(5)

由齒輪嚙合原理可知，圓柱齒輪與面齒輪嚙合條件式為

f(θs,h,φ1)=n1·v(1,3)=0

(6)

根據(jù)式(6)化簡(jiǎn)可得

φ1=arcsin

(7)

其中，

(8)

(9)

ψ=arctan(b0/a0)

(10)

(11)

根據(jù)表1所示參數(shù)代入面齒輪工作齒面即可得到工作齒面數(shù)學(xué)模型如圖3。

表1 正交面齒輪傳動(dòng)副設(shè)計(jì)參數(shù)

2 面齒輪嚙合軌跡仿真

嚙合軌跡的求解，可以將刀具齒輪與小齒輪看作假想的內(nèi)嚙合關(guān)系，將其按照內(nèi)嚙合的標(biāo)準(zhǔn)中心距安裝，通過(guò)給定刀具齒輪的一系列轉(zhuǎn)角φ1，可以得到沿著齒寬方向得到一系列θs值和h值，代入瞬時(shí)齒面的接觸線方程(12)中，即在刀具齒面構(gòu)成一條接觸線。弧線齒面齒輪利用同樣的原理，也可以得到一系列接觸線，接觸線方程如式(13)，最后把嚙合線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換到面齒輪上，兩條接觸線相交，就可以得到嚙合點(diǎn)。

根據(jù)上述理論和公式編寫相關(guān)程序?qū)佑|點(diǎn)軌跡、接觸線等進(jìn)行了計(jì)算仿真?？梢缘玫降毒啐X輪與小齒輪嚙合在面齒輪齒面上的接觸線L1(如圖4)和刀具齒輪與面齒輪嚙合在面齒輪齒面上的接觸線L2(如圖5)，小齒輪與面齒輪嚙合在面齒輪齒面上的嚙合點(diǎn)軌跡(如圖6)，以及弧線齒面齒輪上的嚙合點(diǎn)參數(shù)列為表2。

表2 弧線齒面齒輪嚙合點(diǎn)參數(shù)

(12)

(13)

3 弧線齒面齒輪赫茲接觸應(yīng)力計(jì)算

3.1 面齒輪傳動(dòng)齒面主曲率與主方向分析

為了防止邊緣接觸，通常采用比面齒輪加工刀具齒數(shù)小1～3齒的小齒輪，此時(shí)，小齒輪與面齒輪為點(diǎn)接觸，從而有效避免了邊緣接觸的產(chǎn)生，根據(jù)微分幾何理論，曲面的曲率可以由兩類基本量來(lái)確定，用E,F,G,L,M,N來(lái)表示。弧線齒面齒輪曲面的參數(shù)方程可以用r=r(u,v)表示，其中u、v表示齒面參數(shù)。假設(shè)曲面上的一點(diǎn)P(u,v)，則該曲面的單位法向矢量為

(14)

則P(u,v)點(diǎn)沿方向du/dv的法曲率kn為

(15)

化簡(jiǎn)公式(15)則得到主曲率的計(jì)算公式為

(16)

該方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，就是弧線齒面齒輪上一點(diǎn)處兩個(gè)不同的主曲率。根據(jù)弧線齒面齒輪副的齒面嚙合點(diǎn)參數(shù)，結(jié)合主曲率計(jì)算原理，編寫相關(guān)程序計(jì)算面齒輪副齒面嚙合點(diǎn)處的主曲率，其中K11與K12為小齒輪兩個(gè)主曲率；K21與K22為面齒輪兩個(gè)主曲率，如表3所示。

表3 面齒輪副齒面嚙合點(diǎn)處的齒面主曲率

根據(jù)微分幾何原理知識(shí)，有主方向的特征方程為

(17)

得到求解主方向的方程:

(18)

簡(jiǎn)化方程(18)得到:

(19)

求解該方程得到du/dv的兩個(gè)解，即曲面上該點(diǎn)處的主方向。經(jīng)計(jì)算，面齒輪齒面上嚙合點(diǎn)的主方向在面齒輪坐標(biāo)系中如表4所示。

表4 面齒輪齒面嚙合點(diǎn)在面齒輪坐標(biāo)系中的主方向

3.2 赫茲應(yīng)力計(jì)算

基于赫茲接觸理論的任意形狀彈性物體間的接觸情況如圖7所示。兩個(gè)彈性物體在O點(diǎn)接觸，當(dāng)在法向載荷Fn作用下，兩個(gè)彈性物體在法向相互接近，物體表面之間有相同距離的點(diǎn)在公切面上形成一組相似的橢圓，起始接觸點(diǎn)擴(kuò)展為以O(shè)點(diǎn)為中心的接觸橢圓，且O點(diǎn)處的法向位移最大，接觸應(yīng)力也最大。

根據(jù)之前求得設(shè)兩彈性物體的接觸點(diǎn)在各自兩個(gè)正交平面上的主曲率K11、K12和K21、K22，正交主平面與公切面的交線為坐標(biāo)軸和。對(duì)于點(diǎn)接觸的弧線齒面齒輪而言，嚙合點(diǎn)處將形成接觸橢圓，長(zhǎng)半軸為a、短半軸為b，面齒輪輪齒的接觸變形量δ按照彈性力學(xué)赫茲公式計(jì)算。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：α、β、γ為計(jì)算系數(shù)，其值由B/A=cosθ確定，可查詢接觸區(qū)域計(jì)算系數(shù)表；E1、E2，μ1、μ2分別為弧線齒圓柱齒輪和弧線齒面齒輪材料的彈性模量和泊松比，φ為齒面的主方向之間的夾角。

漸開線齒廓圓柱齒輪的齒面接觸點(diǎn)法向載荷為

Fn=2T1/(d1cosαs)

(25)

式中：T1為弧線齒圓柱齒輪施加的轉(zhuǎn)矩，取T1=24 N·m；d1為圓柱齒輪分度圓直徑，d1=mz1；αs為圓柱齒輪分度圓壓力角，取αs=20°。取彈性模量E1=E2=2.07×105MPa，泊松比μ1=μ2=0.3。

根據(jù)赫茲接觸理論，在接觸橢圓表面上，接觸應(yīng)力按橢圓體分布，最大接觸應(yīng)力在接觸橢圓中心，接觸點(diǎn)處最大接觸應(yīng)力σmax為

σmax=3Fn/(2πab)

(26)

根據(jù)公式(26)，計(jì)算得到接觸橢圓長(zhǎng)半軸a、短半軸b、變形量δ和最大接觸應(yīng)力σ數(shù)值如表5。

表5 齒面接觸參數(shù)計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)語(yǔ)

弧線齒面齒輪傳動(dòng)的嚙合接觸分析不僅是弧線齒面齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié)，也是促進(jìn)后續(xù)面齒輪傳動(dòng)工程應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。通過(guò)對(duì)弧線齒面齒輪傳動(dòng)的嚙合接觸分析，主要得出：

(1)通過(guò)建立弧線齒面齒輪展成坐標(biāo)系，推導(dǎo)了正交弧線齒面齒輪齒面方程，并在Matlab中得到工作齒面的數(shù)學(xué)模型。

(2)在不考慮誤差的情況下，求解出接觸軌跡，并提出兩條接觸線在面齒輪相交得到弧線齒面齒輪傳動(dòng)副的嚙合點(diǎn)，并且將接觸軌跡和嚙合點(diǎn)可視化；觀察到嚙合點(diǎn)的位置在一條近似從齒頂?shù)烬X根的一條直線上；弧線齒面齒輪傳動(dòng)副的嚙合位置靠近面齒輪的內(nèi)徑，后期可以通過(guò)改變參數(shù)，調(diào)整嚙合位置，使其向齒面中心移動(dòng)。

(3)利用主曲率求解方法，得到傳動(dòng)中弧線齒圓柱齒輪和弧線齒面齒輪上接觸點(diǎn)處主曲率的變化規(guī)律，當(dāng)弧線齒面齒輪嚙合點(diǎn)從齒頂向齒根方向移動(dòng)時(shí)，弧線齒圓柱齒輪嚙合點(diǎn)的主曲率K11變化很小，K12不斷減小，而面齒輪嚙合點(diǎn)的主曲率K21不斷增大，K22先減小后增大。

(4)基于赫茲接觸應(yīng)用理論，計(jì)算得到傳動(dòng)中接觸區(qū)域橢圓的長(zhǎng)、短半徑和接觸區(qū)域中心最大變形量、最大接觸應(yīng)力，可知嚙合點(diǎn)接觸應(yīng)力從齒頂向齒根處逐漸變小再增大，與之前研究直齒面齒輪接觸應(yīng)力最大在中部不同，為后續(xù)有限元及實(shí)驗(yàn)提供理論依據(jù)。