李永超，任 豪，夏瑞強

（1.長安大學工程機械學院，西安 710064；2.長安大學高速公路施工機械陜西省重點實驗室，西安 710064）

0 引言

在工業(yè)和航空等領域，機械臂應用范圍不斷擴大，常見的機械臂有剛性和柔性機械臂。柔性機械臂具有靈活性高、結構輕、響應快等優(yōu)良的特點和性能[1]，但是由于柔性機械臂的彈性變形和殘余振動，使得其無法實現(xiàn)精確定位[2]。因此，對于柔性機械臂的研究是機器人研究領域的熱門話題。

LabVIEW是一種使用圖形化語言的程序開發(fā)環(huán)境，其程序代碼由框圖組成。使用圖標和連線，可以通過編程對前面板上的對象進行控制。同時Lab?VIEW 提供了很多硬件接口，實現(xiàn)不同的儀器儀表功能[3]。本文提出了一種基于LabVIEW 的柔性機械臂減振控制系統(tǒng)，采用歐拉—伯努利梁理論建立了單連桿柔性機械臂的數(shù)學模型，采用通過運動參數(shù)配置的減振方法來實現(xiàn)振動抑制，并進行了實驗研究。

1 柔性機械臂動力學模型建立

本文將電機和機械臂簡化為中心剛體和柔性梁，通過Lagrange 方程導出柔性機械臂的動力學模型。在水平面內(nèi)作回轉(zhuǎn)運動的柔性機械臂系統(tǒng)，如圖1 所示，OXY 為固定坐標系，oxy 為固定在柔性臂上的浮動坐標系，根據(jù)振動力學[3]得到歐拉—伯努利梁的橫向振動微分方程為：

式中：A(x)為橫截面積；ρ(x)為線密度；E為彈性模量；I(x)為轉(zhuǎn)動慣量。

根據(jù)假設模態(tài)法，柔性機械臂是一個分布參數(shù)系統(tǒng)，彈性變形y(x,t)可以分解為各階模態(tài)頻率ωi對應的振型函數(shù)yi(x)與模態(tài)坐標函數(shù)qi(t)乘積的線性迭加，則柔性臂彈性變形可以近似表示為[4]：

圖1 柔性機械臂物理模型

柔性臂上任意一點P變形后的坐標在慣性坐標系OXY中可表示為：

則系統(tǒng)的動能為：

式中：Jh為剛體中心的轉(zhuǎn)動慣量；ρ為柔性臂的密度；A為柔性臂的橫截面積。

將柔性臂簡化為Euler-Bernoulli 梁，只考慮正應變產(chǎn)生的變形能，則勢能為：

選取q=［X Y θ q］，T為系統(tǒng)的廣義坐標向量，應用拉格朗日方程：

得到柔性臂系統(tǒng)動力學方程[5-6]：

寫成矩陣形式為：

在研究柔性臂振動的時候，將柔性機械臂的終端振動位移y作為系統(tǒng)的輸出響應，所以將式（9）轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達式可得：

通過計算可得到柔性機械臂振動的狀態(tài)空間表達式，進而得到其傳遞函數(shù)[7]：

2 實驗模型和平臺的搭建

2.1 實驗模型參數(shù)

本文柔性機械臂實驗模型如圖2所示，研究對象是一個非均勻截面柔性機械臂，其特點是縱截面為矩形且高度是連續(xù)變化的。

圖2 單連桿柔性機械臂實驗模型

實驗平臺由4 部分構成，分別為電機、減速器、固定裝置和柔性臂。電機帶動柔性機械臂做回轉(zhuǎn)運動，電機的輸出速度和加速度參數(shù)可以通過控制電機的電流來控制，即將運動參數(shù)輸入機械臂。實驗中，研究對象柔性機械臂的材料選用鍍鋅薄鋼板，其各參數(shù)統(tǒng)計如表1所示[8]。

表1 實驗模型柔性臂參數(shù)統(tǒng)計表

2.2 實驗控制系統(tǒng)和平臺

本文搭建的柔性機械臂振動控制系統(tǒng)研究實驗平臺，采用主機上的NI LabVIEW 模塊和Compact RIO 測控系統(tǒng)實現(xiàn)[9]。如圖3 所示，實驗控制系統(tǒng)包括兩大部分，第一部分為通過伺服驅(qū)動器實現(xiàn)直流電機的實時控制，確定機械臂的運動形式；第二部分為利用應變信號采集器進行控制系統(tǒng)的實時振動測試和數(shù)據(jù)收集，得到柔性臂振動響應曲線[8]。

本文實驗平臺中柔性機械臂材料為鍍鋅薄鋼板，所選用的應變片為德國HBM 公司的型號為1-LY13-6/350 系列的應變片。實驗中采用半橋連接的應變7 247 組橋方式，在距離固定端x=L/3 處黏貼應變片，實驗應變片黏貼如圖4所示，在柔性機械臂的兩側(cè)對稱黏貼各一塊應變片，一個受拉一個受壓。

圖3 實驗控制系統(tǒng)框圖

圖4 實驗應變片黏貼示意圖

3 柔性機械臂減振控制思路

3.1 柔性機械臂的參數(shù)測定

為了方便研究柔性機械臂的振動現(xiàn)象，首先要獲得系統(tǒng)被控對象的振動頻率等特性參數(shù)，本文在實驗測試中采用衰減法獲取柔性臂的特性參數(shù)。

在自由振動的狀態(tài)下，敲擊鍍鋅薄鋼板收集得到應變片電壓信號數(shù)據(jù)，用Matlab 對數(shù)據(jù)進行處理得到其衰減振動波形[8]。圖5 所示為柔性臂的自由振動曲線，圖6所示為柔機械臂響應信號的傅里葉變換。

圖5 自由振動響應曲線圖

圖6 響應信號的FFT變換

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)可以得到鍍鋅薄鋼板的一階振動周期T=250 ms=0.25 s，也即一階固有頻率為4 Hz。從圖6所對應的傅里葉變換曲線可以看出柔性臂系統(tǒng)的一階固有頻率為4.03 Hz。

3.2 柔性機械臂運動參數(shù)配置

根據(jù)控制信息的來源可以將減振控制分為前饋控制和反饋控制，其中前饋控制是基于系統(tǒng)輸入的一種控制策略，其優(yōu)點是實現(xiàn)方法簡單，可以預先改善系統(tǒng)的性能。在柔性機械臂減振方面，輸入整形技術應用十分廣泛，原理是在一定時刻施加方向相反、不同幅值的脈沖信號，使得兩脈沖響應振幅之和為0。現(xiàn)將柔性臂的運動可分為“加速—勻速—減速”3個運動階段，柔性臂在加速和減速期間受到電機的沖擊而變形發(fā)生振動，合理地配制運動時間可以減少運動結束后的殘余振動[8-10]。設柔性機械臂運動的角度為θ，角速度為ω，角加速度為α，當柔性臂運動角度確定后，可以根據(jù)等式（12）～（13）規(guī)劃出角速度的梯形曲線。

為了方便計算，設置加減速運動階段的角加速度數(shù)值相等，同時將加減速階段的運動時間均設置為柔性臂一階振動周期T。柔性臂運動過程先加速到角速度ω=ω0，然后以最大角速度ω0勻速運動，最后減速到0，所以運動的角度θ即是角速度的積分，可以表示為：

式中：ω0為最大角速度；t1為加減速段的時間，即柔性臂一階振動周期；變量t為中間勻速段的時間。

4 實驗結果與分析

根據(jù)運動參數(shù)配置的思路，將加速段和減速段設置為角加速度6.28 rad/s2，所以運動最高角速度設置為1.57 rad/s，使得加速段時間約等于柔性臂的一階振動周期，設置目標運動角度為π/2=1.57 rad，得到如圖7所示的角速度曲線、運動角度曲線、振動曲線以及速度—振動的整合曲線。本實驗平臺通過應變計采集柔性臂彎曲形變的電壓信號，通過數(shù)據(jù)分析電壓的幅值得到柔性臂的振動狀態(tài)，單位mV。

通過圖7可以得知，柔性臂在運動過程中的加速和減速段有較大的變形量，主要是因為電機驅(qū)動轉(zhuǎn)矩突變；在中間勻速段，柔性臂基本恢復原來狀態(tài)；在運動結束后，柔性臂殘余振動抑制效果明顯。

圖7 柔性機械臂運動控制速度規(guī)劃實驗曲線

通過采集電壓信號得知，機械臂運動過程中末端的最大振幅對應的電壓分別為-1.50×10-3mV，機械臂完成加速、勻速和減速三段運動后的1 s 內(nèi)，末端存在最大的殘余振動振幅對應的電壓為-1.037×10-4mV，應變電壓相對減少了93.27%，其中應變電壓的正負值表示振動方向。

實驗研究的結果分析表明本文所提減振控制思路的有效性和正確性，合理地利用柔性臂的振動固有周期進行運動參數(shù)配制可以大幅減少系統(tǒng)殘余振動。

5 結束語

本文針對所提出的通過運動參數(shù)配置的減振控制方法，基于LabVIEW和NI板卡搭建柔性機械臂減振控制系統(tǒng)實驗平臺，并以鍍鋅薄鋼板為研究對象進行了實驗研究。

（1）首先建立柔性機械臂的動力學模型，介紹實驗平臺的結構、鍍鋅薄鋼板模型和參數(shù)、控制系統(tǒng)框圖和應變片的測量電橋。

（2）通過信息采集系統(tǒng)對研究對象的固有周期和阻尼比進行測定和計算；根據(jù)機械臂的振動特點，合理地利用柔性臂的振動周期進行運動參數(shù)配制。

（3）進行實驗研究，對得到的實驗數(shù)據(jù)進行分析，結果表明當系統(tǒng)的加減速時間等于系統(tǒng)的一階振動周期時，可以大幅減少系統(tǒng)殘余振動，本文的柔性臂減振研究是正確且實用的。