趙衛(wèi)平，趙欣杰，陳佳麟，吳麗麗

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083）

0 引言

鋼結(jié)構(gòu)基本原理為土木工程專業(yè)核心課，軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定承載力既是教學(xué)重點(diǎn)也是教學(xué)難點(diǎn)。根據(jù)截面形式和支撐邊界條件的不同，軸壓柱有彎曲型、彎扭型和扭轉(zhuǎn)型3 種失穩(wěn)形式。雙軸對(duì)稱工字形截面繞強(qiáng)、弱軸均發(fā)生彎曲型失穩(wěn)；單軸對(duì)稱的T 形截面繞非對(duì)稱軸發(fā)生彎曲型失穩(wěn)，而繞對(duì)稱軸發(fā)生彎扭型失穩(wěn)；十字形截面失穩(wěn)形式可能是彎曲型和扭轉(zhuǎn)型，取決于截面自由外伸肢的寬厚比［1-2］。

先修專業(yè)基礎(chǔ)課材料力學(xué)在T 形截面繞對(duì)稱軸失穩(wěn)時(shí)不計(jì)入扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的簡(jiǎn)化方法將導(dǎo)致偏于不安全的結(jié)果［3-4］，《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》1988 年之前的版本已經(jīng)廢除［5］；此外，薄壁開(kāi)口截面扇性坐標(biāo)及扇性慣性矩所涉及的理論計(jì)算多數(shù)院校并沒(méi)有納入土木工程專業(yè)本科階段力學(xué)課程的教學(xué)范疇。鋼結(jié)構(gòu)基本原理課程中涉及軸心壓桿穩(wěn)定的計(jì)算從平衡微分方程組的關(guān)聯(lián)性出發(fā)［6-7］，結(jié)合剪力中心的概念講授對(duì)本科生特別抽象、突兀［8-9］；為提高學(xué)生對(duì)壓桿失穩(wěn)形式的認(rèn)識(shí)，設(shè)置相關(guān)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)與理論授課相結(jié)合，可在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)得到很好的授課效果。

本文從理論公式入手，找到各類失穩(wěn)類型轉(zhuǎn)變的臨界條件，設(shè)計(jì)了與3 種失穩(wěn)形式相對(duì)應(yīng)的縮尺教學(xué)試件。利用簡(jiǎn)單的教學(xué)設(shè)備、占用有限的實(shí)驗(yàn)室空間和極少的資金投入即可達(dá)到良好的教學(xué)效果。基于ANSYS軟件對(duì)各試件的失穩(wěn)形式進(jìn)行了數(shù)值模擬，有限元計(jì)算結(jié)果與理論分析吻合較好。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)過(guò)程兼顧了安全性、經(jīng)濟(jì)性、可操作性，可供相關(guān)專業(yè)的實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)老師或工程技術(shù)人員參考。

1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

實(shí)驗(yàn)設(shè)備為梁柱教學(xué)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，由反力架，壓力500 kN、行程200 mm 的分離式液壓千斤頂和支座組成，可以進(jìn)行鋼結(jié)構(gòu)、混凝土等柱類試件的軸壓、偏壓實(shí)驗(yàn)，如圖1 所示。

圖1 壓桿穩(wěn)定性試驗(yàn)裝置圖

反力架的上、下橫梁可以根據(jù)試件的大小上下調(diào)節(jié)，千斤頂通過(guò)拉桿拉板與反力架上橫梁連接，該種連接方式可以使千斤頂固定在橫梁上的任意位置。千斤頂活塞桿端依次為力傳感器、柱頂承壓盤、受壓鋼柱、柱底法蘭盤、反力架下橫梁、柱底法蘭盤與下橫梁通過(guò)螺栓連接，避免鋼柱受壓彎曲變形后彈出引發(fā)安全隱患。柱高統(tǒng)一取1 m，長(zhǎng)細(xì)比的變化可通過(guò)調(diào)整橫截面幾何尺寸實(shí)現(xiàn)。軸壓鋼柱加載示意圖見(jiàn)圖2。

圖2 軸壓柱加載示意圖

2 理論計(jì)算

2.1 開(kāi)口薄壁桿彈性微分方程

根據(jù)開(kāi)口薄壁桿件理論，理想壓桿失穩(wěn)的彈性微分方程為［1］：

式中：E為彈性模量；Ix為繞x軸慣性矩；N為軸向壓力；v為x方向彎曲位移；x0為x方向剪切中心與形心之間的距離；θ 為截面扭轉(zhuǎn)變形角；Iy為繞y軸慣性矩；u為y方向彎曲位移；y0為y方向剪切中心與形心之間的距離；Iw為扇形慣性矩；G為剪切模量，G＝E／2（1 ＋υ）；It為抗扭慣性矩；r0和分別為考慮縱向應(yīng)力和殘余應(yīng)力對(duì)扭轉(zhuǎn)平衡的影響，

雙軸對(duì)稱截面軸心壓桿剪力中心和形心重合，x0＝0，y0＝0，代入式（1）～（3）得：

由式（4）～（6）可知，3 式都可以獨(dú)立求解求得3個(gè)解，代表3 種失穩(wěn)模態(tài)，分別是繞x、y軸彎曲失穩(wěn)和繞縱軸的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)。歐拉臨界力分別為：

式中：Nex、Ney分別為繞x、y軸的歐拉臨界應(yīng)力；Neθ為歐拉扭轉(zhuǎn)臨界應(yīng)力；l0x、l0y分別為x、y軸計(jì)算長(zhǎng)度；λθ為扭轉(zhuǎn)屈曲換算長(zhǎng)細(xì)比。

對(duì)于單軸對(duì)稱截面軸心壓桿剪力中心和形心不重合，所以y0＝0（x軸為對(duì)稱軸），代入式（1）～（3）得：

式（11）可以單獨(dú)求解，為彎曲失穩(wěn)；而式（10）、（12）需要聯(lián)立求解，說(shuō)明x向位移與軸向扭轉(zhuǎn)角之間存在偶聯(lián)關(guān)系，為彎扭失穩(wěn)，失穩(wěn)歐拉臨界力分別為：

式中：λx、λy分別為繞x、y軸的長(zhǎng)細(xì)比；New為彎扭臨界力；λxz為彎扭長(zhǎng)細(xì)比。

根據(jù)彈性穩(wěn)定理論，扭轉(zhuǎn)屈曲臨界力為：

將式（9）與（15）聯(lián)立得扭轉(zhuǎn)換算長(zhǎng)細(xì)比：

式中：i0為極回轉(zhuǎn)半徑（i0＝e20＋i2x＋i2y，e0為形心到剪心的距離；ix、iy分別為繞x、y軸回轉(zhuǎn)半徑）；A為截面面積；角鋼截面Iw＝0［10］。對(duì)由狹長(zhǎng)矩形截面組合成的截面［2］：

其中k是考慮各組成截面實(shí)際是連續(xù)的影響而引入的增大系數(shù)；雙軸對(duì)稱工字截面k＝1.30，單軸對(duì)稱工字截面k＝1.25，T形截面k＝1.20，其余情況k＝1.00。

根據(jù)彈性穩(wěn)定理論，彎扭屈曲臨界力為［11］：

將式（14）與（17）聯(lián)立得彎扭換算長(zhǎng)細(xì)比：

最后通過(guò)長(zhǎng)細(xì)比查表找出穩(wěn)定系數(shù)φ，通過(guò)下式求出失穩(wěn)臨界力F：

式中，f為材料抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

2.2 角鋼截面理論計(jì)算

等邊角鋼的截面形式與尺寸如圖3 所示。

圖3 等邊角鋼截面尺寸

由式（10）～（12）分析可知，單軸對(duì)稱截面可能會(huì)發(fā)生繞對(duì)稱軸失穩(wěn)的彎扭失穩(wěn)，繞非對(duì)稱失穩(wěn)的彎曲失穩(wěn)，按照λx＝lox／ix和式（18）分別計(jì)算出λx和λxz，然后利用式（19）計(jì)算出F。鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范GB 50017—2017 中給出了等邊單角鋼換算長(zhǎng)細(xì)比簡(jiǎn)化公式［12］：

當(dāng)b／t≤0.54loy／b時(shí)：

發(fā)生彎扭失穩(wěn)時(shí)，彎扭屈曲換算長(zhǎng)細(xì)比應(yīng)滿足λxz＞λx，將式（20）與λx＝lox／ix代入該式得：

即：

當(dāng)b／t＞0.54loy／b時(shí)：

根據(jù)發(fā)生彎扭失穩(wěn)時(shí)換算長(zhǎng)細(xì)比應(yīng)滿足的條件，將式（22）與λx＝lox／ix代入得：

解得：

所以當(dāng)b／t≤0.54loy／b時(shí)，b2／t＞2 141 發(fā)生彎扭失穩(wěn)，反之發(fā)生彎曲失穩(wěn)；當(dāng)b／t＞0.54loy／b時(shí)（13.5b4＋4t2）／13.5b2t＞2 146 發(fā)生彎扭失穩(wěn)，反之發(fā)生彎曲失穩(wěn)。

《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB 50017—2017 中等邊角鋼截面對(duì)x軸對(duì)y軸均為b類［12］，變化參數(shù)與計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 等邊角鋼截面計(jì)算參數(shù)與失穩(wěn)形式

2.3 十字截面理論計(jì)算

雙軸對(duì)稱十字形截面形式與尺寸如圖4 所示。

圖4 十字形截面尺寸

由式（4）～（6）分析可知雙軸對(duì)稱截面軸心壓桿可能會(huì)發(fā)生彎曲失穩(wěn)和扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)兩種形式，按照λx＝μl／ix和式（16）分別計(jì)算出λx和λθ然后利用式（19）計(jì)算出F。

扭轉(zhuǎn)屈曲換算長(zhǎng)細(xì)比為式（16），十字鋼截面Iw＝0［13］，所以

解得：

當(dāng)發(fā)生扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)時(shí)，λθ＞λx，將式（26）與λx＝lox／ix代入該式得：

即：

所以當(dāng)b2／t＞906 時(shí)發(fā)生扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)，反之發(fā)生彎曲失穩(wěn)。

《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB 50017—2017 中十字形截面對(duì)x軸和對(duì)y軸均為c類［12］，變化參數(shù)與計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 十字形截面計(jì)算參數(shù)與失穩(wěn)形式

2.4 工字截面理論計(jì)算

雙軸對(duì)稱工字形截面形式與尺寸如圖5 所示。

圖5 工字形截面尺寸

按照λx＝μl／ix、λy＝μl／iy和式（19）計(jì)算即可，《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB 50017—2017 中軋制工字形截面當(dāng)b／h≤0.8 時(shí)對(duì)強(qiáng)軸為a類曲線對(duì)弱軸為b類曲線［12］，h、b、t、tw單位都為mm。由式（4）～（6）分析可知工字鋼截面可能會(huì)發(fā)生繞x軸的彎曲失穩(wěn)（x軸為弱軸），繞y軸彎曲失穩(wěn)和繞縱軸的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)；但工字鋼截面扭轉(zhuǎn)屈曲臨界力總是高于彎曲屈曲臨界力，本文不再列舉［14］，變化參數(shù)與計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 工字形截面計(jì)算參數(shù)與失穩(wěn)形式

3 有限元模擬結(jié)果及分析

3.1 模型介紹

ANSYS中SHELL181 單元適合薄殼結(jié)構(gòu)的大轉(zhuǎn)動(dòng)變形和非線性大形變的分析。本次研究的3 種截面形式鋼柱在長(zhǎng)度方向的幾何尺寸l遠(yuǎn)大于橫截面特征尺寸，同時(shí)橫截面上的厚度t遠(yuǎn)小于外伸肢寬度b。

MASS21 是一個(gè)具有6 個(gè)自由度的點(diǎn)單元，即x、y和z方向的平動(dòng)和繞x、y和z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。用于加載點(diǎn)的模擬［15］。

根據(jù)表1～3，由SHELL181 單元生成殼，然后把MASS21 單元分別建在鋼柱的兩端，并把鋼柱兩端的自由度耦合在MASS21 節(jié)點(diǎn)上形成剛域，用于施加約束和荷載，約束情況為一端自由一端固定，然后先進(jìn)行特征值屈曲分析然后用UPGEOM 命令根據(jù)一階特征屈曲模態(tài)失穩(wěn)形式施加初始缺陷，打開(kāi)大變形選項(xiàng)采用弧長(zhǎng)法疊代計(jì)算。

鋼材屈服強(qiáng)度f(wàn)y＝235 MPa，彈性模量E＝206 GPa，泊松比ν ＝0.3，本構(gòu)關(guān)系為理想的彈塑性模型（BISO）。

3.2 數(shù)值模擬結(jié)果

根據(jù)一階特征屈曲模態(tài)施加初始缺陷，失穩(wěn)前后模型對(duì)比如圖6～8 所示。

圖6 工字截面失穩(wěn)變形圖

表1 中當(dāng)截面尺寸為b＝100 mm，t＝10 mm 與b＝160 mm，t＝10 mm時(shí)通過(guò)計(jì)算，兩種截面尺寸鋼柱失穩(wěn)形式分別為彎曲失穩(wěn)與彎扭失穩(wěn)，上述同樣截面尺寸在ANSYS軟件中模擬，結(jié)果也分別為彎曲失穩(wěn)與彎扭失穩(wěn)；表2 中當(dāng)截面尺寸為b＝48 mm，t＝5 mm與b＝120 mm，t＝11 mm 時(shí)通過(guò)計(jì)算，兩種截面尺寸鋼柱失穩(wěn)形式分別為彎曲失穩(wěn)與扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)，上述同樣截面尺寸在ANSYS軟件中模擬，結(jié)果也分別為彎曲失穩(wěn)與扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)；表3 中當(dāng)截面尺寸為b＝68 mm，h＝100 mm，tw＝4.5 mm，t＝7.6 mm 時(shí)通過(guò)計(jì)算，失穩(wěn)形式為彎曲失穩(wěn)，上述同樣截面尺寸在ANSYS軟件中模擬，結(jié)果也為彎曲失穩(wěn)。表1～3 中其他截面尺寸鋼柱也有同樣結(jié)果，不再列舉。有限元模擬結(jié)果與計(jì)算結(jié)果對(duì)應(yīng)良好。

圖7 十字截面失穩(wěn)變形圖

圖8 角鋼截面失穩(wěn)變形圖

3.3 柱子曲線

2017 版的《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》中的柱子曲線是考慮了初彎曲和殘余應(yīng)力且初彎曲的失高取柱長(zhǎng)度的1／1 000［12］，然后根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)，將柱子曲線分成a、b、c、d4條，柱子曲線具體形式如下：

圖9 柱子曲線散點(diǎn)圖

由圖9 可見(jiàn)，表1～3 截面類型的穩(wěn)定承載力均分布在《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB 50017—2017 規(guī)定的帶狀區(qū)域內(nèi)，實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)可根據(jù)目標(biāo)失穩(wěn)形式選擇合適的截面類型和尺寸。

4 結(jié)語(yǔ)

等邊角鋼截面鋼柱當(dāng)b／t≤0.54loy／b時(shí)，b2／t＞2 141 發(fā)生彎扭失穩(wěn)，反之發(fā)生彎曲失穩(wěn)；當(dāng)b／t＞0.54loy／b時(shí)，（13.5b4＋4t2）／13.5b2t＞2 146 發(fā)生彎扭失穩(wěn)，反之發(fā)生彎曲失穩(wěn)。根據(jù)計(jì)算結(jié)果彎曲失穩(wěn)建議截面尺寸b＝100 mm，t＝10 mm，彎扭失穩(wěn)建議截面尺寸b＝160 mm，t＝10 mm。十字形截面鋼柱當(dāng)b2／t＞906 時(shí)發(fā)生扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)，反之發(fā)生彎曲失穩(wěn)。根據(jù)計(jì)算結(jié)果彎曲失穩(wěn)建議截面尺寸b＝48 mm，t＝5 mm，扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)建議截面尺寸b＝120 mm，t＝11 mm。工字形截面鋼柱弱軸的長(zhǎng)細(xì)比總是大于強(qiáng)軸長(zhǎng)細(xì)比，而且扭轉(zhuǎn)換算長(zhǎng)細(xì)比總是小于彎曲失穩(wěn)長(zhǎng)細(xì)比，所以總是發(fā)生繞弱軸的彎曲失穩(wěn)。根據(jù)計(jì)算結(jié)果彎曲失穩(wěn)建議截面尺寸b＝68 mm，t＝76 mm，tw＝45 mm，h＝100 mm。