陳修龍， 盛永超

（山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，山東青島266590）

0 引 言

并聯(lián)機(jī)器人具有剛度大、承載能力強(qiáng)、不存在累計(jì)誤差、運(yùn)動(dòng)精度高、末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)慣量小等優(yōu)點(diǎn)，目前并聯(lián)機(jī)器人被廣泛應(yīng)用在醫(yī)藥、電子和食品等領(lǐng)域［1］。

近年來(lái)許多學(xué)者對(duì)不同的抓取并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究。具有代表性的是Clavel 博士于1985 年發(fā)明的Delta機(jī)構(gòu)［2］，該機(jī)械手可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)的高速3維平動(dòng)。葉偉等［3］提出了一種運(yùn)動(dòng)部分解耦2R2T并聯(lián)機(jī)械手，并基于李群理論對(duì)機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)和性能進(jìn)行了分析。汪滿新等［4］提出了一種3-SPR 并聯(lián)機(jī)械手結(jié)構(gòu)，基于量綱-尺寸參數(shù)相對(duì)應(yīng)的方法對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)及性能做了相關(guān)的研究。彭斌彬等［5］提出了一種新型2 自由度并聯(lián)機(jī)械手實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，用無(wú)量綱參數(shù)的方法對(duì)機(jī)構(gòu)構(gòu)型及運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了研究。張東升［6］提出一種5 自由度混聯(lián)機(jī)械手并對(duì)該機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)和工作空間進(jìn)行了詳細(xì)的分析。張超［7］用螺旋理論分析了3-CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度，用幾何方法分析了機(jī)構(gòu)的正逆解，通過(guò)靈巧度指標(biāo)對(duì)機(jī)構(gòu)的工作性能進(jìn)行了研究。周輝等［8］設(shè)計(jì)了一種6 自由度混聯(lián)機(jī)械手結(jié)構(gòu)，并用數(shù)值計(jì)算方法對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和工作空間進(jìn)行了分析。

本文基于提出的3-RRPaR 高速抓取并聯(lián)機(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性進(jìn)行了分析，用閉合矢量法求解運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，用數(shù)值法求解運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，用Matlab 對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)正、反解進(jìn)行數(shù)值計(jì)算分析，用ADAMS虛擬樣機(jī)仿真驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算分析的正確性。整個(gè)計(jì)算仿真過(guò)程對(duì)新機(jī)構(gòu)3-RRPaR 高速抓取并聯(lián)機(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的分析和研究起到指導(dǎo)作用，為本機(jī)構(gòu)的更深層分析研究提供理論基礎(chǔ)。

1 機(jī)器人平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 機(jī)構(gòu)特點(diǎn)與坐標(biāo)系

本文所設(shè)計(jì)的3-RRPaR 高速抓取并聯(lián)機(jī)器人平臺(tái)其結(jié)構(gòu)由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和3 條支鏈組成。每條支鏈包含主動(dòng)臂和從動(dòng)臂。支鏈中的主動(dòng)臂與靜平臺(tái)通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，從動(dòng)臂與動(dòng)平臺(tái)通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，主動(dòng)臂與從動(dòng)臂通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副構(gòu)成的平行四邊形構(gòu)型連接。

為方便描述機(jī)構(gòu)各部件之間的關(guān)系，設(shè)支鏈與動(dòng)平臺(tái)的連接點(diǎn)分別為A1、A2、A3，ΔA1A2A3是等腰三角形，底邊長(zhǎng)度是2m，高為n，在動(dòng)平臺(tái)上建立以O(shè)′A1為X′坐標(biāo)軸，O′A2為Y′坐標(biāo)軸，垂直動(dòng)平臺(tái)豎直向上為Z′坐標(biāo)軸的局部坐標(biāo)系O′-X′Y′Z′；設(shè)支鏈與靜平臺(tái)的連接點(diǎn)分別B1、B2、B3，ΔB1B2B3是等腰三角形，底邊長(zhǎng)度為2a，建立以O(shè)B1為X 坐標(biāo)軸，豎直向上為Z 坐標(biāo)軸，垂直O(jiān)-XZ平面向里為Y坐標(biāo)軸的全局坐標(biāo)系。B2點(diǎn)到X、Y軸的距離分別為b、c，支鏈中主動(dòng)臂的長(zhǎng)度為l1i，從動(dòng)臂的長(zhǎng)度為l2i，其中i ＝1 ～3。主動(dòng)臂與靜平臺(tái)的夾角為θi，具體如圖1 所示。

圖1 并聯(lián)機(jī)器人平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

1.2.1 位置模型

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解研究的問(wèn)題是已知?jiǎng)悠脚_(tái)軌跡方程，求解主動(dòng)臂的角位移、角速度和角加速度的過(guò)程［9］。已知該并聯(lián)機(jī)械手平臺(tái)僅具有3 個(gè)平動(dòng)自由度，故可將靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)視為質(zhì)點(diǎn)［10-14］。

動(dòng)平臺(tái)形心在全局坐標(biāo)系下O-XYZ下的位置矢量為r ＝ ［x，y，z］T，可表示為：

式中：ai、bi分別為支鏈鉸點(diǎn)Bi、Ai在O -XYZ 和O′-X′Y′Z′下的位置矢量OB1和O′A1；l1i、l2i分別為支鏈主動(dòng)臂和從動(dòng)臂的桿長(zhǎng)長(zhǎng)度；ui和si分別為主動(dòng)臂和從動(dòng)臂的單位矢量。

Bi點(diǎn)在系O-XYZ下的位置矢量為：

Ai點(diǎn)在系O′-X′Y′Z′下的位置矢量為：

Pi點(diǎn)在系O-XYZ下的位置矢量為：

為了表達(dá)準(zhǔn)確，引入單位矢量vi，vi的表示方法為：垂直主動(dòng)臂的擺動(dòng)面，使得vi×ui可以表示主動(dòng)臂的旋轉(zhuǎn)方向。ui的表示方法為：主動(dòng)臂在系O -XYZ下的位置矢量與自身長(zhǎng)度的比值，可得：

將式（1）化簡(jiǎn)，得到r -ai-l1iui＋bi＝l2isi，等式兩端乘以各自的轉(zhuǎn)置，可得：

代入r、ai、bi、l1i、l2i、ui，并轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)式Misin θi＋Nicos θi＋Qi＝0 的形式。其中：

可得主動(dòng)臂的角位移為：

根據(jù)機(jī)構(gòu)主動(dòng)臂安裝在機(jī)架下方的方式，可得式（3）中應(yīng)該取“-”號(hào)。

由式（1）可以確定從動(dòng)臂的單位矢量：

進(jìn)而可得支鏈中主動(dòng)臂與從動(dòng)臂的夾角，可以由ui×si求得。

1.2.2 速度模型

對(duì)式（1）關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，可得：

將式（6）寫成矩陣的形式，有：

即：

將式（5）兩端右叉乘ωi，整理可得第i 個(gè)支鏈從動(dòng)臂的角速度：

機(jī)構(gòu)中各桿件為剛性均質(zhì)桿，故第i 個(gè)支鏈從動(dòng)臂質(zhì)心速度可表示為：

1.2.3 加速度模型

將式（5）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得：

式中：ad為動(dòng)平臺(tái)的加速度矢量；為主動(dòng)臂角加速度；vi×ui為可確定主動(dòng)臂的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)閺膭?dòng)臂的角加速度矢量。

計(jì)算化簡(jiǎn)并將速度結(jié)果代入式（11）中，整理可得主動(dòng)臂的角加速度：

式中：

式中，E3為三階單位陣

將式（11）兩邊同時(shí)右叉乘si，化簡(jiǎn)得第i 個(gè)支鏈從動(dòng)臂的角加速度：

同時(shí)可以表示第i 個(gè)支鏈從動(dòng)臂的質(zhì)心加速度為：

1.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解研究的問(wèn)題是已知主動(dòng)臂的輸入夾角θi，求解動(dòng)平臺(tái)位置參數(shù)的過(guò)程［11］。由上面分析已知鉸點(diǎn)Pi在系O -XYZ 下的位置矢量，則鉸點(diǎn)Ai在系O-XYZ下的位置矢量為：

將式（15）各式統(tǒng)一寫成：

式中，di1、di2、di3、di4為化簡(jiǎn)參數(shù)。

將式（16）化簡(jiǎn)消去平方項(xiàng)，可以寫成：

若將x y看作是z的函數(shù)，則（17）可化簡(jiǎn)成一個(gè)二元一次方程組，兩個(gè)未知數(shù)兩個(gè)方程，方程能夠求得唯一解，即：

式中，f11、f12、f21、f22為化簡(jiǎn)參數(shù)。

將式（18）代入式（16）中的任意一個(gè)，可以得到一個(gè)關(guān)于z的二元一次方程，即：

式中，g1、g2、g3為化簡(jiǎn)參數(shù)。

將式（20）代入（18）可以求得位置正解：

2 正反解分析驗(yàn)證

算例驗(yàn)證：設(shè)置機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)，見表1。

表1 機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù) mm

由式（3）可知，給定一個(gè)動(dòng)平臺(tái)位置（x，y，z），對(duì)應(yīng)的主動(dòng)臂輸入角度有8 組。例如，給定（x，y，z）＝（-150，0，-540），可以求得8 組主動(dòng)臂輸入角度，見表2。

表2 主動(dòng)臂8 組輸入角度 （°）

表2 中：θ1為1 鏈主動(dòng)臂與x軸正向的夾角；θ2為2 鏈主動(dòng)臂與x 軸正向的夾角；θ3為3 鏈主動(dòng)臂與x軸負(fù)向的夾角。從機(jī)構(gòu)主動(dòng)臂的裝配方式來(lái)看，為保證機(jī)構(gòu)有良好的性能，要滿足3 個(gè)角度同時(shí)為銳角，因此可以排除掉2 ～7 組的解，將第1 組主動(dòng)臂的輸入角度θ1＝59.84°、θ2＝50.14°、θ3＝17.59°代入正解式（21）中，可以求得2 組正解，見表3。

表3 第一組輸入角度對(duì)應(yīng)的2 組正解 mm

表3 中的兩組解在空間的位置關(guān)于3 條支鏈主動(dòng)臂下鉸點(diǎn)形成的平面上下對(duì)稱，平面下方的點(diǎn)與給定的動(dòng)平臺(tái)位置吻合，即為所求的正確的結(jié)果。

本文采用Matlab 對(duì)3-RRPaR 高速抓取并聯(lián)機(jī)器人平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，求解在給定動(dòng)平臺(tái)軌跡下，主動(dòng)臂和從動(dòng)臂相關(guān)的運(yùn)動(dòng)特性，再用ADAMS 進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證［15］。

給定動(dòng)平臺(tái)一個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡，如下：

由圖2 ～7 可知，Matlab 和ADAMS 圖像中曲線的波動(dòng)幅度和數(shù)值大小基本一致。第1、3 支鏈主動(dòng)臂的角位移曲線走勢(shì)平緩，數(shù)值大小在-0.7 ～0 和0 ～0.7之間變化，第2 支鏈主動(dòng)臂的角位移曲線波動(dòng)較大，在0 ～0.7 之間變化。第1、3 支鏈主動(dòng)臂的角速度曲線波動(dòng)較小，趨勢(shì)緩和，數(shù)值分別在-0.25 ～-0.1 和0.1 ～0.25 之間變化，第2 支鏈主動(dòng)臂的角速度曲線波動(dòng)較明顯，數(shù)值大小在-0.5 ～0.15 之間變化。第1、3 支鏈主動(dòng)臂的角加速度在0 值上下波動(dòng)，波動(dòng)幅度較小，第2 支鏈主動(dòng)臂的角加速度波動(dòng)幅度明顯，數(shù)值大小在-0.8 ～0.8 之間變化。

圖2 Matlab主動(dòng)臂角位移

圖3 ADAMS主動(dòng)臂角位移

圖4 Matlab主動(dòng)臂角速度

圖5 ADAMS主動(dòng)臂角速度

圖6 Matlab主動(dòng)臂角加速度

圖7 ADAMS主動(dòng)臂角加速度

由圖8 ～15 可知，Matlab 和ADAMS 圖像中各曲線的走勢(shì)和數(shù)值大小基本一致。第1、3 支鏈的主從動(dòng)臂夾角變化曲線無(wú)明顯波動(dòng)，數(shù)值大小在1.35 ～1.62之間變化，第2 支鏈的夾角變化曲線波動(dòng)比較大，數(shù)值大小在1.45 ～1.73 之間浮動(dòng)。第1、3 支鏈的從動(dòng)臂角速度無(wú)明顯波動(dòng)，數(shù)值大小在-0.15 ～-0.07 之間變化，第2 支鏈從動(dòng)臂角速度波動(dòng)明顯，數(shù)值在0.03 ～0.23 之間波動(dòng)。第1、3 支鏈的從動(dòng)臂質(zhì)心加速度在0 值上下波動(dòng)，波動(dòng)幅度較小，第2 支鏈的從動(dòng)臂質(zhì)心加速度波動(dòng)較大，數(shù)值在-150 ～150 之間變化。第1、3 支鏈的從動(dòng)臂質(zhì)心速度曲線重合，數(shù)值大小一樣，波動(dòng)幅度在-25 ～25 之間變化，第2 支鏈曲線波動(dòng)幅度在35 ～70 之間變化。

圖8 Matlab主、從動(dòng)臂夾角

圖9 ADAMS主、從動(dòng)臂夾角

圖10 Matlab從動(dòng)臂角速度

圖11 ADAMS從動(dòng)臂角速度

圖12 Matlab從動(dòng)臂質(zhì)心加速度

圖13 ADAMS從動(dòng)臂質(zhì)心加速度

圖14 Matlab從動(dòng)臂質(zhì)心速度

圖15 ADAMS從動(dòng)臂質(zhì)心速度

在給定的運(yùn)動(dòng)軌跡下，3 條支鏈的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性曲線為光滑、連續(xù)曲線，因此3-RRPaR 高速抓取并聯(lián)機(jī)械手實(shí)驗(yàn)平臺(tái)具有良好的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性［16］。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)3-RRPaR 高速抓取并聯(lián)機(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和分析進(jìn)行了研究，基于機(jī)器人構(gòu)型分析了機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，分別用閉合矢量法和數(shù)值計(jì)算法建立了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解和正解的數(shù)學(xué)模型，利用Matlab數(shù)值仿真和ADAMS虛擬樣機(jī)仿真驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和分析的正確性。本文內(nèi)容對(duì)高速并聯(lián)抓取機(jī)構(gòu)的分析和研究有指導(dǎo)作用，同時(shí)對(duì)后期實(shí)體樣機(jī)的制作提供理論基礎(chǔ)。