狄衛(wèi)民，王 然

(鄭州大學 管理工程學院，河南 鄭州 450001)

0 引言

供應鏈設施選址具有戰(zhàn)略重要性，選址結(jié)果是否合理直接影響供應鏈運營績效。以往設計供應鏈網(wǎng)絡時，通常認為設施建成后總能按照既定計劃正常運行，忽略了設施中斷對供應鏈運作的影響。在此情形下，一旦因自然災害、疫情防控、設備故障或生產(chǎn)組織不力等導致部分設施停工停產(chǎn)，即出現(xiàn)設施中斷，將難以完成與這些設施相關(guān)聯(lián)的下游客戶的產(chǎn)品供應任務；若將這些任務臨時指派給其他設施，則可能因其他設施距離較遠而導致系統(tǒng)費用大幅度增加?？梢?，為了提高供應鏈運營績效，亟需研究考慮設施中斷的選址決策方法。

針對隨機中斷、確定性需求下無能力限制的供應鏈設施選址問題，Snyder等[1]引入虛擬設施臨時服務部分客戶，建立了混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，設計了求解模型的拉格朗日松弛算法;Li等[2]建立了該問題的兩階段隨機規(guī)劃模型，并提出了求解模型的樣本均值近似算法;Zhang等[3]研究了隨機中斷、確定性需求下有能力限制的設施選址—路徑問題，并基于設施中斷情景建立了混合整數(shù)規(guī)劃模型，設計了一種融入最大似然抽樣法、路徑—任務調(diào)整、兩階段鄰域搜索和模擬退火思想的元啟發(fā)式算法;馬衛(wèi)民等[4]考慮到?jīng)Q策者在設施中斷和需求波動方面的風險偏好，建立了不確定需求下有能力限制的供應鏈網(wǎng)絡設計模型，給出了嵌入最短增廣鏈法的混合智能遺傳算法;于冬梅等[5]應用不確定集合描述不確定需求，建立了不確定需求下有能力限制的可靠性設施選址魯棒優(yōu)化模型，設計了求解模型的蝙蝠算法。這些研究有利于降低設施中斷風險，提高供應鏈運營績效，但因研究的側(cè)重點不同，建模時均未考慮庫存費用對選址決策的影響。

李志等[6]研究了存在中斷風險和能力限制的分銷網(wǎng)絡選址—庫存優(yōu)化問題，建立了0-1整數(shù)非線性規(guī)劃模型，給出了求解模型的遺傳算法，研究表明，在網(wǎng)絡設計階段考慮中斷風險能夠大幅度降低網(wǎng)絡運營時的應急成本；馬祖軍等[7]同時考慮風險防御策略進一步研究了該問題，亦得出同樣結(jié)論;原丕業(yè)等[8]同時考慮中斷風險和轉(zhuǎn)運策略，研究了不確定需求下無能力限制的分銷網(wǎng)絡選址—庫存優(yōu)化問題，并分別利用遺傳算法、模擬退火算法和粒子群算法求解模型，發(fā)現(xiàn)遺傳算法具有更好的運算效率和計算精度。不過，文獻[6-8]均未在設施中斷后重新制定下游關(guān)聯(lián)成員的產(chǎn)品分配方案，不利于下游產(chǎn)業(yè)安全和供應鏈彈性的提升。Rayat等[9]同時考慮中斷風險和路徑再分配策略，研究了不確定需求下有能力限制的供應鏈選址—庫存—路徑優(yōu)化問題，建立了混合整數(shù)非線性雙目標規(guī)劃模型，并利用改進的歸檔式多目標模擬退火算法求解模型，取得良好效果。

以上研究有利于合理設計供應鏈網(wǎng)絡，但文獻[1-9]僅考慮了單一層級的設施中斷問題，文獻[6-9]僅適用于含有單一初端供應源的設施中斷問題。實際上，一條供應鏈通常由多個層級構(gòu)成，而在每個層級上通常又存在多個可能發(fā)生中斷的設施，且多級中斷風險不可能是單級中斷風險的簡單疊加，因此還需要加強含有多級設施中斷的供應鏈選址—庫存優(yōu)化研究。

目前，考慮多級設施中斷的供應鏈網(wǎng)絡優(yōu)化設計文獻較少。Rohaninejad等[10]針對一種單個下游企業(yè)可由多個上游企業(yè)同時供貨(部分量分配)的三級網(wǎng)狀供應鏈系統(tǒng)，研究了確定性需求下有能力限制且各層設施均可能發(fā)生中斷的供應鏈選址問題，建立了混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，設計了基于樣本均值近似算法和加速Benders分解算法的模型求解方法，該研究中設施中斷概率由設施投資水平?jīng)Q定，若最終客戶的需求不能得到滿足，則根據(jù)缺貨量施以相應金額的懲罰。該文獻雖然考慮到多級設施中斷問題，但尚未涉及需求的不確定性和供應鏈的庫存費用。在實際應用中，除上述網(wǎng)狀系統(tǒng)外，單個下游企業(yè)一次僅允許一個上游企業(yè)供貨(全量分配)的樹狀供應鏈系統(tǒng)也是一種常見系統(tǒng)[11]。在含有多個初端工廠的樹狀系統(tǒng)中，設施中斷后，為保障下游成員的產(chǎn)品供應，有可能在更大范圍內(nèi)進行服務指派方案的臨時調(diào)整，這符合現(xiàn)實運作要求，也使選址—庫存優(yōu)化問題更具一般性，當然也相應增加了方案調(diào)整的維度和難度。鑒于此，為拓展該領(lǐng)域的研究內(nèi)容，彌補已有研究的不足，本文在分析產(chǎn)品獲取成本的基礎(chǔ)上，同時考慮設施中斷后指派任務的臨時調(diào)整和設施容量的確定問題，探討了不確定需求下有能力限制且存在多級中斷風險的樹狀供應鏈選址—庫存優(yōu)化決策方法，建立了以系統(tǒng)期望總成本最小化為目標的混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，設計了在遺傳算法框架下嵌入特定成本分析法的混合遺傳算法。

1 問題描述

考慮一種由多個工廠、多個配送中心和若干零售商構(gòu)成的三級樹狀供應鏈系統(tǒng)。在該系統(tǒng)中，零售商不設庫存，配送中心設有庫存并采用(r,Q)庫存控制策略補貨，工廠在正常情況下供應能力充足。為便于管理，規(guī)定每個零售商在每天營業(yè)前僅由一個配送中心為其運送當日待售產(chǎn)品，每個配送中心需要補貨時僅由一個工廠為其補貨。當工廠/配送中心中斷時，其下游的關(guān)聯(lián)配送中心/零售商將面臨缺貨風險，為應對這種風險，允許其他未中斷的工廠/配送中心為這些配送中心/零售商提供臨時服務。這樣，由于可能出現(xiàn)設施中斷，在一段時期內(nèi)，對于一個給定的配送中心/零售商而言，未必始終由同一個工廠/配送中心為其補貨/送貨。

為避免由其他工廠/配送中心為下游配送中心/零售商提供臨時服務時可能導致的系統(tǒng)費用的大幅度增加，分析時需要比較配送中心/零售商通過本系統(tǒng)獲取產(chǎn)品的成本(即生產(chǎn)成本加物流過程成本)和就地購買同種產(chǎn)品的成本(即購買價格加必要的搬運成本，此處的購買價格多為當?shù)嘏l(fā)價格)。如果通過本系統(tǒng)獲取產(chǎn)品的成本不大于就地購買成本，則通過本系統(tǒng)獲取產(chǎn)品；否則，可通過就地購買方式獲取產(chǎn)品。為便于分析，假設存在一個永不中斷的虛擬工廠/虛擬配送中心，且該虛擬工廠/虛擬配送中心為所有需要就地購買產(chǎn)品的配送中心/零售商提供服務。這樣，通過增加虛擬設施，便將外部購買方式添加到了先前的三級供應鏈系統(tǒng)中(如圖1)。此時可以認為，在一段時期內(nèi)，零售商的全部需求完全由實際配送中心和虛擬配送中心共同完成，實際配送中心的全部補貨完全由實際工廠和虛擬工廠共同完成。

假設已經(jīng)明確了每個工廠、零售商和候選配送中心的具體位置，且各零售商的每日產(chǎn)品需求量完全獨立并服從正態(tài)分布，則在工廠和配送中心均可能發(fā)生中斷的情況下，為使供應鏈系統(tǒng)的期望總費用最低，如何確定配送中心的建設位置、建設數(shù)量、倉儲容量以及各工廠/配送中心對于各配送中心/零售商的補貨/送貨指派等級是待解決的問題。

2 模型建立

2.1 建模假設

為便于研究，作如下假設：

(1)研究單一產(chǎn)品在一個較長規(guī)劃期的配送中心選址決策及倉儲容量配置問題。

(2)類似于文獻[1]，假設各工廠和各配送中心的中斷事件完全獨立，同類設施的中斷概率基本相同，而且設施在中斷期間完全不可用。

(3)供應鏈成員間具有較高的信息共享度，未中斷的設施可以即時提供臨時服務。

(4)配送區(qū)域范圍合適，配送中心接到送貨指令后，可以當晚裝車并于零售商次日營業(yè)前將所需產(chǎn)品送達零售商處。

(5)配送中心的訂貨提前期主要取決于從工廠到該中心的產(chǎn)品運輸時間。

(6)各工廠技術(shù)水平相當，產(chǎn)品生產(chǎn)成本基本相同。

2.2 符號說明

為便于建模，定義如下符號：

m、n、g分別表示零售商、候選配送中心和實際工廠的數(shù)量。

I={1,2,…,m}、J={1,2,…,n,n+1}、K={1,2,…,g,g+1}分別表示零售商、配送中心和工廠的編號集合，其中：(n+1)即|J|為虛擬配送中心編號，(g+1)即|K|為虛擬工廠編號。

i、j、k分別表示零售商、配送中心和工廠的編號，有i∈I，j∈J，k∈K。

b表示某配送中心對于某零售商的服務指派等級，若b=0，說明正常情況下應由該中心為該零售商送貨，即該中心為該零售商的首級服務設施；若b=1，說明當該零售商的首級配送中心中斷而該中心正常時，應指派該中心為該零售商送貨，即該中心為該零售商的第1級備用服務設施；若b=2，說明當該零售商的首級和第1級備用配送中心同時中斷而該中心正常時，應指派該中心為該零售商送貨，即該中心為該零售商的第2級備用服務設施；依次類推，若b=n0，說明當該零售商的首級和第1～(n0-1)級備用配送中心同時中斷而該中心正常時，應指派該中心為該零售商送貨，即該中心為該零售商的第n0級備用服務設施。由于虛擬配送中心永不中斷，對于每個零售商而言，虛擬配送中心為該零售商送貨的服務指派等級即為集合J相對于該零售商的最大服務指派等級；若記此時的等級值為b0，顯然b0≤n。

s表示某工廠對于某實際配送中心的服務指派等級，類似于b的賦值，有s=0,1,…,s0，其中s0是虛擬工廠為該中心補貨時的服務指派等級值，s0≤g。

μi、σi和μj、σj分別為零售商i和配送中心j的產(chǎn)品日需求量的均值與標準差。fj為配送中心j的日均固定建設成本，Bj為配送中心j一次訂貨的固定成本，hj為配送中心j的單位產(chǎn)品日均持有成本，ej為配送中心j的單位容量日均建設成本，rj為配送中心j的再訂貨點，Qj為配送中心j的訂貨量，Lj和σLj分別為配送中心j的訂貨提前期的均值和標準差，Tj為配送中心j兩次訂貨的間隔天數(shù)，zαj為配送中心j在服務水平αj下應對需求量變化的安全系數(shù)。

Aj1、Aj2、Aj3分別為配送中心j的周轉(zhuǎn)庫存、安全庫存和最大庫存水平。

cij為配送中心j到零售商i的單位運輸成本，其中虛擬中心到零售商i的單位運輸成本ci|J|用產(chǎn)品在零售商i附近的就地購買成本與供應鏈系統(tǒng)中產(chǎn)品生產(chǎn)成本的差值代替；cjk為工廠k到配送中心j的單位運輸成本，其中虛擬工廠到配送中心j的單位運輸成本cj|K|用產(chǎn)品在配送中心j附近的就地購買成本與供應鏈系統(tǒng)中產(chǎn)品生產(chǎn)成本的差值代替。

djk為工廠k到配送中心j的距離；vjk為工廠k到配送中心j的車輛行駛速度。

q為配送中心中斷概率，p為工廠中斷概率。

xj表示是否建設配送中心j，是取1，否取0。

yijb表示配送中心j是否以等級b為零售商i送貨，是取1，否取0。

wjks表示工廠k是否以等級s為配送中心j補貨，是取1，否取0。

2.3 選址—庫存決策模型

2.3.1 供應鏈系統(tǒng)成本分析

在一個較長的規(guī)劃期內(nèi)，要想獲得最小的供應鏈系統(tǒng)總費用，只需讓該系統(tǒng)的日均總成本最小即可。此處，主要估算配送中心到零售商的日均運送成本、配送中心的日均庫存成本和日均建設成本以及工廠到配送中心的日均運輸成本。

(1)配送中心到零售商的日均運送成本

對于給定的某實際配送中心j和任一零售商i，若該中心是為零售商i服務的首級配送中心(即yij0=1)且尚未中斷，則該中心一定會向零售商i運送產(chǎn)品，由于這一事件的發(fā)生概率為(1-q)，故此種情形下該中心到零售商i的期望運送量為(1-q)μiyij0=q0(1-q)μiyij0；若該中心為零售商i服務的第b(1≤b≤n)級配送中心(即yijb=1)，并且為零售商i服務的第0～(b-1)級配送中心已同時中斷但該中心沒有中斷，這種情形下該中心也一定會向零售商i運送產(chǎn)品，由于這一事件的發(fā)生概率為qb(1-q)，故此時該中心到零售商i的期望運送量為qb(1-q)μiyijb。另外，若該中心不是零售商i的第b(0≤b≤n)級配送中心(即yijb=0)，即便該中心沒有中斷，它也不會以等級b向零售商i運送產(chǎn)品，但此種情形下該中心到零售商i的運送量仍可記為qb(1-q)μiyijb。綜上所述，在等級b(0≤b≤n)上配送中心j到零售商i的期望運送量可記為qb(1-q)μiyijb。

類似地，因虛擬配送中心永不中斷，在等級b(0≤b≤n)上虛擬配送中心|J|到零售商i的期望運送量可記為qbμiyi|J|b。

因此，配送中心到零售商的日均運送成本為：

(1)

(2)配送中心的日均庫存成本

對于給定的某實際配送中心j，其日運送量的均值和標準差分別為：

(2)

(3)

(4)

標準差為

(5)

因此，配送中心j的日均庫存費用為

(6)

由式(6)可以看出，若μj=0，則Cj=0，這與現(xiàn)實情況相符。

因此，配送中心的日均庫存成本為

(7)

(3)配送中心的日均建設成本

配送中心的建設成本與其容量大小密切相關(guān)，如果假設配送中心的容量不受限制，則難以準確反映建設成本，與現(xiàn)實情況不符。此處，將配送中心建設成本分為固定成本和可變成本兩個部分，其中固定成本主要包括建設時的管理成本、行政辦公和其他輔助設施的基本建設成本等;可變成本主要包括倉儲設施的建設成本及其可能引起的其他設施的增加成本，可變成本與倉儲最大庫存水平(即倉儲容量)直接相關(guān)。最大庫存水平Aj3=Qj+Aj2。因此，實際配送中心j的日均建設成本為：

(8)

配送中心的日均建設成本為

(9)

(4)工廠到配送中心的日均運輸成本

類似于配送中心到零售商的日均運送成本分析方法，可以得到工廠到配送中心的日均運輸成本：

(10)

可見，工廠到配送中心的日均運輸成本同時受到工廠和配送中心兩級設施的中斷影響，且該影響并非單級設施中斷影響的簡單疊加。

2.3.2 數(shù)學規(guī)劃模型

為使供應鏈系統(tǒng)的日均總成本最小，建立混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型(Model1)：

minTC=CIJ+CJ+FJ+CJK。

(11)

s.t.

式(4)，式(5)。

i=1,2,…,m;b=0,1,…,n。

(12)

j=1,2,…,n;s=0,1,…,g。

(13)

yijb≤xj，i=1,2,…,m;

j=1,2,…,n;b=0,1,…,n。

(14)

wjks≤xj，j=1,2,…,n;k=1,2,…,

g+1;s=0,1,…,g。

(15)

(16)

(17)

xj∈{0,1}，j=1,2,…,n。

(18)

yijb∈{0,1}，i=1,2,…,m;j=1,2,…,

n+1;b=0,1,…,n。

(19)

wjks∈{0,1}，j=1,2,…,n;k=1,2,…,

g+1;s=0,1,…,g。

(20)

其中：目標函數(shù)式(11)的第1部分為配送中心到零售商的日均運送成本，第2部分為配送中心的日均庫存成本，第3部分為配送中心的日均建設成本(包括固定建設成本和可變建設成本)，第4部分為工廠到配送中心的日均運輸成本。約束條件式(4)和式(5)服務于目標函數(shù)值的計算；式(12)確保在指派虛擬配送中心為某個零售商送貨前，在每一個指派等級上有唯一的配送中心為該零售商送貨；式(13)確保在指派虛擬工廠為某個配送中心補貨前，在每一個指派等級上有唯一的工廠為該中心補貨；式(14)保證只有確定建設的配送中心才能考慮其送貨任務；式(15)保證只有確定建設的配送中心才能考慮其補貨需求；式(16)確保每個配送中心最多在一個指派等級上為某個零售商送貨；式(17)確保每個工廠最多在一個指派等級上為某個配送中心補貨；式(18)～式(20)為決策變量的取值約束。

3 優(yōu)化算法

選址—庫存決策模型(即Model1)具有高維性和非線性特征，是一類NP-hard問題，不宜直接求解。但是，如果能夠事先給定配送中心選址方案，即給定xj的值，Model1便通過一定程度的降維簡化成了單一的指派決策模型(Model2)。為便于表述，此處對已確定建設的配送中心的編號和虛擬配送中心的編號進行連續(xù)化處理，并用j′表示處理后的編號，J′表示處理后的編號集合，b′表示新編號下的配送中心指派等級。假設已確定建設n′個配送中心，則有j′=1,2,…,n′,n′+1，|J′|=n′+1。Model2如下：

minTC=CIJ′+CJ′+FJ′+CJ′K。

(21)

(22)

(23)

b′=0,1,…,n′。

(24)

j′=1,2,…,n′;s=0,1,…,g。

(25)

j′=1,2,…,n′+1。

(26)

k=1,2,…,g+1。

(27)

yij′b′∈{0,1}，i=1,2,…,m;j′=1,2,…,

n′+1;b′=0,1,…,n′。

(28)

wj′ks∈{0,1}，j′=1,2,…,n′;k=1,2,…,

g+1;s=0,1,…,g。

(29)

雖然Model2仍是混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，但可以通過特定成本分析法(見3.1節(jié))確定工廠/配送中心相對于配送中心/零售商的服務指派方案，從而得到?jīng)Q策變量wj′ks和yij′b′的值，以及既定選址方案下的供應鏈系統(tǒng)日均總成本(不再以傳統(tǒng)算法求解模型)?？梢姡绻軌虍a(chǎn)生不同的選址方案，有望在短時間內(nèi)得到Model1的優(yōu)化結(jié)果。遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)是解決高維決策問題的一種有效算法[12-14]，下面將根據(jù)GA原理產(chǎn)生、比較并優(yōu)化配送中心選址方案(算法中的染色體代表選址方案)，同時基于特定成本分析法獲得每個選址方案(或者說Model2)的設施服務指派方案和對應的系統(tǒng)日均總成本。這樣，便形成了GA框架下嵌入特定成本分析法的混合遺傳算法(Hybrid Genetic Algorithm, HGA)，可用于Model1的求解。

3.1 特定成本分析法

此處的特定成本包括產(chǎn)品渠道成本和供應鏈系統(tǒng)總成本兩種。為了獲得既定選址方案下工廠和配送中心兩類設施的服務指派方案，首先根據(jù)產(chǎn)品渠道成本構(gòu)造一個初始設施服務指派方案，即找到Model2的一個初始可行解，然后再根據(jù)供應鏈總成本獲得調(diào)整后的滿意設施服務指派方案，即找到Model2的滿意解。

3.1.1 基于產(chǎn)品渠道成本構(gòu)造初始設施服務指派方案

設施中斷后，為了以較少的投入保障下游成員的產(chǎn)品供應，文獻[1,3]注意到運輸費用與運輸量和運輸距離的線性關(guān)系，在假設運輸路況無差異的情況下，按照設施與下游客戶的距離遠近確定了設施服務指派等級，即距離越近，指派等級值越低;距離越遠，指派等級值越高。此處，若將某節(jié)點的產(chǎn)品渠道成本定義為將單位產(chǎn)品從工廠或虛擬設施沿著給定渠道轉(zhuǎn)移至該節(jié)點的物流過程成本，則可以根據(jù)產(chǎn)品渠道成本的高低類似地確定設施服務指派等級，即在未得到虛擬設施的服務指派等級前，設施的產(chǎn)品渠道成本越低，其指派等級值越低;渠道成本越高，指派等級值越高。顯然，這種確定方法滿足Model2的約束條件，得到的設施服務指派方案一定是可行方案。

根據(jù)產(chǎn)品流向，首先確定工廠的服務指派等級，然后再確定配送中心的服務指派等級。對于一個已確定建設的配送中心j′(j′=1,2,…,n′)，其產(chǎn)品必然直接來源于工廠k(k=1,2,…,g)或虛擬工廠|K|，因此配送中心j′的可能產(chǎn)品渠道成本只能為cj′k(k=1,2,…,g)或cj′|K|。為盡量以較低的渠道成本獲取產(chǎn)品，此處將產(chǎn)品渠道成本從小到大以0為序號起點依次排序，然后確定工廠相對于配送中心j′的服務指派等級。確定原則為：①在虛擬工廠的指派等級未得到認定前，根據(jù)產(chǎn)品渠道成本序號由前向后依次認定相應工廠的服務指派等級，并令指派等級值等于產(chǎn)品渠道成本序號；②一旦認定了虛擬工廠的指派等級，結(jié)束為配送中心j′補貨的工廠指派等級認定任務。根據(jù)上述原則，如果系統(tǒng)中有4個實際工廠和1個虛擬工廠，且產(chǎn)品渠道成本cj′1≤cj′3≤cj′5≤cj′2≤cj′4，則對于配送中心j′，除了wj′10=wj′31=wj′52=1外，其他的wj′ks均等于0。

利用上述方法確定各工廠/配送中心對于各配送中心/零售商的服務指派等級后，便形成了既定選址方案下的初始設施服務指派方案。由于各工廠在正常情況下供應能力充足，并且根據(jù)產(chǎn)品轉(zhuǎn)移過程可知，對于給定的選址方案，確定上游設施的服務指派等級時不會受到下游設施中斷的影響，因此按照上述方法確定的工廠服務指派等級即為使工廠層至配送中心層的期望運輸費用最小(參見式(10))的最優(yōu)指派等級[1]。從本質(zhì)上講，式(21)的供應鏈總成本即為各零售商按照其產(chǎn)品渠道成本獲得所需產(chǎn)品所花費的全部費用，故如果能夠獲得各零售商的準確的產(chǎn)品渠道成本，則可以就此確定最小的供應鏈總成本。在此情形下，理論上可以根據(jù)零售商的產(chǎn)品渠道成本確定配送中心的最優(yōu)服務指派等級。但是，在計算過程中，考慮到非線性關(guān)系項的影響(參見式(6)和式(8))，對零售商的產(chǎn)品渠道成本進行了近似處理，因此本節(jié)算法僅能稱為確定配送中心服務指派等級的構(gòu)造啟發(fā)式算法。但應用該算法時能夠確定工廠的最優(yōu)服務指派等級。

3.1.2 基于供應鏈總成本改進配送中心服務指派方案

在制定初始設施服務指派方案時，對間接渠道中的零售商產(chǎn)品渠道成本進行了近似計算，這可能導致某些配送中心對于某個零售商的服務指派等級的微小變動。通過比較初始方案和某些配送中心服務指派等級已產(chǎn)生微小變動的其他眾多方案的供應鏈總成本(即式(21)中的TC值)，能夠確定其中的最佳方案并判斷有無必要進行方案調(diào)整。若有必要進行方案調(diào)整，則將調(diào)整后的方案再次與某些配送中心服務指派等級產(chǎn)生微小變動的其他方案進行比較，可以進一步優(yōu)化指派方案。根據(jù)該思路，能夠找到較為理想的指派方案，但尋優(yōu)過程中的計算量大，計算效率低。為此，提出利用原方案與其臨近方案的供應鏈總成本差值表改進配送中心指派方案的計算方法。該算法可以稱為確定配送中心服務指派等級的改進啟發(fā)式算法。由于計算過程中根據(jù)目標函數(shù)式(21)改進配送中心指派等級，故改進后的結(jié)果必然是Model2的滿意解。

此處，將一個已有設施服務指派方案的臨近方案定義為：在已有方案的基礎(chǔ)上，交換為某個零售商送貨的具有相鄰指派等級的兩個實際配送中心所形成的方案、將為某個零售商服務的虛擬配送中心的指派等級提前一個級別(該級別的原配送中心變?yōu)闊o服務指派等級的配送中心)所形成的方案，或者將為某個零售商服務的虛擬配送中心的指派等級退后一個級別(將虛擬配送中心的原服務指派等級賦給無服務指派等級中編號最靠前的配送中心，即賦給在該指派等級上最具有送貨可能性的那個配送中心)所形成的方案。根據(jù)定義可知，臨近方案的決策變量取值仍然滿足Model2的約束條件，故臨近方案仍是可行方案。計算時，可以將臨近方案視為原方案的可比較方案。為便于計算，給出命題1。

命題1可以根據(jù)以下3種情形計算原方案與其臨近方案的供應鏈總成本差值ΔTC。

(30)

(31)

(32)

式中：

(33)

證明對于情形(1)，由于已經(jīng)確知wj′ks的值，根據(jù)式(22)和式(23)可以確定Lj′和σLj′的值。于是，由式(1)和式(10)可知，日均運輸成本CIJ′和CJ′K均為決策變量yij′b′的線性函數(shù)。對于線性函數(shù)而言，只有那些在臨近方案中取值已發(fā)生變化的yij′k的線性關(guān)系項才會導致原方案與臨近方案之間的目標函數(shù)值差異。此處，原方案與其臨近方案的日均運輸成本的差值為：

(34)

由式(6)和式(8)可知，配送中心j′的日均庫存成本和日均建設成本均為決策變量yij′b′的非線性函數(shù)，且兩成本之和為：

(35)

(36)

由于原方案與其臨近方案的目標函數(shù)差值為ΔTC=Δ(CIJ′+CJ′K)+Δ(CJ′+FJ′)，代入Δ(CIJ′+CJ′K)和Δ(CJ′+FJ′)的計算式，整理后可知式(30)成立。情形(1)得證。

類似地，可以證明對于情形(2)有式(31)成立，對于情形(3)有式(32)成立(證明過程略)。證畢。

根據(jù)命題1計算原方案與其某臨近方案的ΔTC，如果ΔTC>0，說明該臨近方案優(yōu)于原方案，可以將其作為新方案中的備選方案。若存在多個優(yōu)于原方案的臨近方案，可以選擇使ΔTC最大的那個臨近方案作為調(diào)整后的新方案。由于新方案與原方案相比，已經(jīng)將為某個零售商送貨的或最具有送貨可能性的一個實際配送中心與跟該中心具有相鄰指派等級的某個配送中心(實際的或虛擬的)進行了交換，因此新方案的臨近方案與原方案的臨近方案會有不同。為便于計算新方案與其臨近方案的供應鏈總成本差值，給出推論1。

推論1若通過交換原方案中相對于零售商i′的一個實際配送中心j′與跟該中心具有相鄰指派等級的某個配送中心(實際的或虛擬的)形成了新方案，則在計算新方案與其臨近方案的目標函數(shù)差值時，如果在新方案中配送中心j′以某個指派等級為零售商i0送貨，則需重新計算新方案與那些相對于零售商i0通過交換配送中心j′與跟該中心具有相鄰指派等級的某配送中心而形成的新臨近方案的目標函數(shù)差值；其他情況下，新方案與新臨近方案的目標函數(shù)差值和原方案與對應的原臨近方案的目標函數(shù)差值相同。

證明由式(33)可知，Ej′(j′=1,2,…,n′)的計算值主要取決于yij′b′=1(i=1,2,…,m;b′=0,1,…,n′)的各項，即有哪些零售商在某個指派等級上由配送中心j′為其送貨。顯然，在相對于零售商i′交換配送中心j′與跟該中心具有相鄰指派等級的某配送中心時，一定會改變某個yi′j′b′(b′=0,1,…,n′)的取值，即若配送中心j′不再以某個指定等級為零售商i′送貨，則該yi′j′b′由1變?yōu)?，否則，若改由配送中心j′以某一指定等級為零售商i′送貨，則該yi′j′b′由0變?yōu)?，這勢必會導致Ej′的數(shù)值變化。由式(31)～式(32)可知，無論在哪種情形下，若通過交換相對于零售商i0的配送中心j′與跟該中心具有相鄰指派等級的某配送中心形成新方案的臨近方案，則新方案與該臨近方案的目標函數(shù)差值ΔTC均會發(fā)生改變。在其他情況下，雖然新方案/新臨近方案與原方案/對應的原臨近方案相比，目標函數(shù)值不同，但新、舊ΔTC不變。故推論1成立。證畢。

此處，基于命題1和推論1，給出利用原方案與其臨近方案的供應鏈總成本差值表改進配送中心服務指派方案的計算步驟。

(1)將初始設施服務指派方案看作原方案。

表1 原方案與其臨近方案的ΔTC值

(3)原方案的最優(yōu)性檢驗與方案調(diào)整。若表1中的ΔTC值均不大于0，原方案即為最佳方案，結(jié)束調(diào)整過程；否則，將對應于表中最大ΔTC值的那個臨近方案作為調(diào)整后的新方案，同時根據(jù)推論1計算新方案與其臨近方案的ΔTC值。例如，對應情形(1)，若表1中的ΔTC5-2-3為最大差值(正數(shù))，則新方案為通過交換原方案中為零售商5送貨的第2級和第3級配送中心1和2所形成的臨近方案。根據(jù)推論1，需重新計算相對于各零售商的與實際配送中心1或2相關(guān)的ΔTC值，為便于區(qū)分，將該值記為Δ′TCi-b′-(b′+1)(仍按照命題1計算該值)，計算結(jié)果如表2所示。類似地，對應情形(2)，若表1中的ΔTC1-1-2為最大差值(正數(shù))，計算結(jié)果如表3所示；對應情形(3)，若表1中的ΔTC4-1-2為最大差值(正數(shù))，并且在原方案中相應于零售商4的第2個無指派等級的配送中心編號為1，計算結(jié)果如表4所示。

表2 新方案與其臨近方案的ΔTC值—情形(1)

表3 新方案與其臨近方案的ΔTC值—情形(2)

表4 新方案與其臨近方案的ΔTC值—情形(3)

(4)將新方案看作原方案，重復步驟(3)，直至表1中的ΔTC值均不大于0為止。

通過以上運算，可以確定配送中心相對于零售商的理想服務指派等級;聯(lián)合先前得到的工廠相對于配送中心的最優(yōu)服務指派等級，可以得到Model2的滿意解。

3.2 混合遺傳算法

將Model1分解為配送中心選址和設施服務指派兩個相互關(guān)聯(lián)的子問題，然后利用GA優(yōu)化選址方案和特定成本分析法確定每個選址方案的設施服務指派方案。下面給出HGA的主要運算步驟。

(1)生成初始種群 每條染色體代表一個配送中心選址方案。對應于n個候選配送中心的建設情況，用一個由1和0組成的長度為n的二進制串表達染色體，其中1表示建設，0表示不建設。為便于進化計算，隨機產(chǎn)生一定數(shù)量的染色體作為GA的初始種群。

(2)計算染色體適應度 針對每條染色體，利用特定成本分析法確定工廠和配送中心的服務指派方案，進而得到Model2的目標函數(shù)值。由于供應鏈總成本越小越好，計算時首先將目標函數(shù)值的倒數(shù)作為染色體適應度的映射值。然后利用線性尺度變換方法，將種群中的各映射值規(guī)格化在區(qū)間[0,1]內(nèi)，并將規(guī)格化后的數(shù)值作為染色體的適應度。

(3)遺傳算子操作 ①根據(jù)輪盤賭法選擇父代個體；②根據(jù)交叉概率和雙點交叉策略形成子代個體；③根據(jù)變異概率和單點0-1翻轉(zhuǎn)變異策略變異子代個體；④根據(jù)最優(yōu)保存策略保留父代精英。

(4)循環(huán)或終止GA運算 重復步驟(2)和步驟(3)，直至迭代到了最大允許進化代數(shù)或在規(guī)定進化代數(shù)內(nèi)最優(yōu)染色體無變動時，終止GA運算，此時的最優(yōu)染色體就是Model1的滿意解。

(5)結(jié)果整理 根據(jù)Model1的滿意解確定配送中心的建設位置、倉儲容量，以及各工廠/配送中心對于各配送中心/零售商的補貨/送貨指派等級。

4 算例分析

M公司在河南省擁有4個工廠和97個零售商。目前，該公司直接從工廠向零售商運送產(chǎn)品，響應速度慢，運送費用高，當某些工廠中斷時不便協(xié)調(diào)運送方案。為改進供應鏈網(wǎng)絡，降低運送費用，M公司擬在19個候選地點建設若干配送中心，將來運營時，工廠向配送中心批量補貨，配送中心每日向零售商運送產(chǎn)品。河南省東西向距離約580 km，南北向距離約550 km，因此可以將所有設施映射在580×550的平面上?？紤]M公司的目前運作狀況和將來運作要求，參考文獻[1,5,6]的參數(shù)設置方法，將各設施的中斷概率賦值為0.1，即p=q=0.1。其他主要參數(shù)的取值為，cj|K|=8，ci|J|=15，hj=2，ej=1，αj=95%，zαj=1.96，vjk=80，fj和Bj的值如表5所示。對于本算例，由于4個以上工廠/配送中心同時中斷的概率小于0.000 1，屬于小概率事件[5]，計算時僅考慮了各配送中心/零售商3級以內(nèi)的可用工廠/配送中心(包括虛擬的)，即僅取0≤s≤3和0≤b′≤3范圍內(nèi)的服務指派等級。

表5 配送中心j的fj和Bj

利用MATLAB語言編程，在處理器為Intel(R) Core(TM) i5-3230 M CPU@2.60 GHz、內(nèi)存為4.00 GB、操作系統(tǒng)為Windows 7的計算機上運行程序。正式運算前，綜合考慮計算允許時間、算法收斂性、解空間擴展和避免算法“早熟”的需要，在多次試驗測試和計算過程跟蹤分析的基礎(chǔ)上，確定了相對合適的遺傳算法參數(shù)，即交叉概率為0.7，變異概率為0.1，種群規(guī)模為50，最大進化代數(shù)為100。正式運算后，連續(xù)運行15次程序，運算時間均在443 s內(nèi)，平均值283 s。算法表現(xiàn)出良好收斂性，運算結(jié)果均為：建設配送中心4、8、12、13、15，倉儲容量依次為1 285、1 413、1 513、1 167、1 367，供應鏈總成本94 609(服務指派關(guān)系略)。其中，第1次運算時間276 s，運算過程如圖2所示。圖2中，“種群平均成本”和“種群最小成本”分別表示某代種群的平均供應鏈總成本和最小供應鏈總成本，種群平均成本呈現(xiàn)出逐漸下降趨勢，體現(xiàn)了適者生存、優(yōu)勝劣汰的進化特征。若將各配送中心/各零售商與其首級服務設施連接起來，可得到如圖3所示的供應鏈基礎(chǔ)網(wǎng)絡(即各設施均未中斷時的供應鏈網(wǎng)絡)。由圖3可以看出，部分零售商的首級服務設施并不是距其最近的配送中心，這說明當考慮配送中心的可變建設成本和庫存成本時，不能像傳統(tǒng)方法那樣僅憑距離遠近確定服務指派關(guān)系。

為便于比較，稱上述p=0.1、q=0.1時的運算結(jié)果為結(jié)果1；分別稱p=0、q=0.1，p=0.1、q=0和p=0、q=0時的運算結(jié)果為結(jié)果2、3、4。因此，結(jié)果2為：建設配送中心4、6、12、13、15、16，倉儲容量依次為1 287、916、1 531、1 204、1 343、1 012，總成本為91 019；結(jié)果3為：建設配送中心編號4、6、12、13、15，倉儲容量依次為1 332、943、1 800、1 204、1 330，總成本為91 228；結(jié)果4為：建設配送中心4、6、12、13、18，倉儲容量依次為1 332、943、1 981、1 145、1 012，總成本為88 021?？梢钥闯?，不同結(jié)果的選址決策存在明顯差異。結(jié)果2比結(jié)果1多出1個配送中心，結(jié)果3、4與結(jié)果1的配送中心數(shù)量雖然相同，但配送中心建設位置不盡相同，且倉儲容量存在較大差異。若在考慮兩級設施中斷(p=0.1、q=0.1)的情況下，應用結(jié)果2、3、4的選址方案(含選址決策和倉儲容量)計算各項成本，對比分析如表6所示。計算時，規(guī)定超出配送中心倉儲能力的補貨量由虛擬工廠提供；表6中某結(jié)果的“總成本增長率”指該結(jié)果與結(jié)果1總成本的差值同結(jié)果1總成本的比率。從表6可以看出，若將結(jié)果2、3、4所對應的選址方案應用于含有兩級設施中斷風險的運作情景中，與結(jié)果1相比，它們的總成本均有所增加。可見，在一并考慮兩級設施中斷情形進行選址—庫存聯(lián)合決策時，不宜以單級設施中斷或不考慮設施中斷時的決策結(jié)果代替其滿意方案。

表6 運算結(jié)果對比分析

另外，以往考慮設施中斷的供應鏈選址文獻大多忽略了庫存費用，并且通常假設配送中心的倉儲能力無限制。為作比較，將不考慮倉儲能力和庫存費用的運算結(jié)果記為結(jié)果5，該結(jié)果為：建設配送中心1、4、6、9、10、12、13、15、16，總成本為70 448。若考慮庫存費用，結(jié)果5對應的選址決策會產(chǎn)生18 796的庫存成本和18 641-9 510=9 131的可變建設成本，與結(jié)果1相比，總成本增長率達3.98%(如表6)?？梢?，若忽略庫存費用，雖然通過增設4個配送中心降低了運輸成本，但是由于倉儲地分散反而會增加更多的庫存成本，進而導致了更高的系統(tǒng)總成本。這在一定程度上說明了進行選址決策時同時考慮庫存費用的重要性。

5 結(jié)束語

綜合考慮需求不確定性、多級設施中斷風險、供應鏈庫存費用和可變建設成本對供應鏈網(wǎng)絡優(yōu)化設計的影響，建立了以系統(tǒng)期望總成本最小化為目標的供應鏈選址—庫存聯(lián)合決策模型。該模型是一個復雜的混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，不宜應用常規(guī)算法求解。為此，設計了一種在GA框架下嵌入特定成本分析法的混合遺傳算法。算法中，利用GA產(chǎn)生若干配送中心選址方案，并對選址方案尋優(yōu)；利用特定成本分析法確定既定選址方案下的設施服務指派方案。特定成本分析法又由兩部分構(gòu)成，其中：第一部分基于產(chǎn)品渠道成本構(gòu)造既定選址方案下的初始設施服務指派方案;第二部分基于供應鏈總成本并利用原方案與其臨近方案的總成本差值表改進既定選址方案下的設施服務指派方案。通過算例驗證了模型和算法的有效性，為求解類似問題提供了新思路。研究成果有利于在供應鏈網(wǎng)絡設計階段從根本上降低多級設施中斷風險的不利影響，有助于根據(jù)設施服務指派等級科學制訂配送中心的應急補貨方案和零售商的應急送貨方案，具有現(xiàn)實指導意義。未來，將進一步研究設施中斷時同級設施間的產(chǎn)品橫向調(diào)配問題以增強供應鏈彈性。