淮北師范大學數(shù)學科學學院(235000) 蓋榮倩 張 昆

弗賴登塔爾說,“為教好學生數(shù)學,就要懂得怎樣教”,即對一名數(shù)學教師來講,知道“如何教”比“教什么”更為重要,這就要求各大高校在培養(yǎng)未來數(shù)學教師的過程中投入更多的精力[1]. 隨著碩士研究生的擴招,相信過不了多久,教育碩士研究生將會成為各中小學的主要師資力量,由于他們即將扮演的是千千萬萬中小學生數(shù)學學習過程中方向標的角色,因此數(shù)學教育碩士教學設(shè)計水平的提升將會是當今社會需要著重關(guān)注的熱點問題. 那么,數(shù)學教育碩士的教學設(shè)計水平如何才能得到提升呢?

1 教學設(shè)計水平提升的具體途徑

教學設(shè)計是數(shù)學教學的呈現(xiàn)方式[2],好的教學設(shè)計直接影響數(shù)學課堂實施效果. 數(shù)學教學設(shè)計是教師將教材中的數(shù)學知識點通過合適的教學法投射到學生認知結(jié)構(gòu)中的過程設(shè)計,因此數(shù)學教育碩士在進行具體知識點的教學設(shè)計時需要很好地兼顧教材分析、學情分析、教學法分析三者之間的關(guān)系,其中,教材分析是構(gòu)成數(shù)學教學設(shè)計及其課堂實施的邏輯起點[3],學情分析是在教材分析的基礎(chǔ)上仔細推測學生在學習某具體知識點時心理活動的起承轉(zhuǎn)合歷程,二者整合的結(jié)果構(gòu)成了教學法分析的基礎(chǔ),顯然以上三種分析過程也是教學設(shè)計的形成過程.

蘇格拉底在“產(chǎn)婆術(shù)”中通過向?qū)W生提出問題來引導學生自己進行思考并得出結(jié)論,同樣在進行教學設(shè)計時,數(shù)學教育碩士也可以通過設(shè)置問題來使教學達到啟發(fā)學生思考的最優(yōu)效果,其中最關(guān)鍵的一步便是設(shè)置合適的“初始問題”(所謂“初始問題”是教師為引導學生認識某個知識點而提出的適合學生本階段認知結(jié)構(gòu)和心理活動的問題),“初始問題”的提出又源于“合適根據(jù)地”(學生認知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)存有的組織具體發(fā)生新數(shù)學知識的合適素材的那個特定舊數(shù)學知識點,稱為“根據(jù)地”,其中將那種最適合于具體素材的“根據(jù)地”稱為“合適根據(jù)地”[4])的確立,如何確立“合適根據(jù)地”呢? 這就需要數(shù)學教育碩士在了解教材具體知識內(nèi)容、整體知識結(jié)構(gòu)以及學生心理活動特點的基礎(chǔ)上選擇合適的教學法,才能找到學生學習某具體數(shù)學知識點的“合適根據(jù)地”,設(shè)置合適的“初始問題”,以提高教學設(shè)計的有效性,達到的較高層次的教學設(shè)計水平.

然而,“紙上得來終覺淺, 絕知此事要躬行”, 本次研究若只是用理論描述而不用具體教材進行分析體現(xiàn),難免會顯得蒼白,很難達到預期的效果,故這里選擇了人民教育出版社出版的《義務教育教科書·數(shù)學》(以下簡稱“人教版教科書”)和上?？茖W技術(shù)出版社出版的《義務教育教科書·數(shù)學》(以下簡稱“滬科版教科書”)中的同一知識點“單項式除以單項式”進行分析比較,可以發(fā)現(xiàn): 在引入新課方面,人教版教科書通過“計算12a3b2x3÷3ab2”的問題引入新課,滬科版教科書是以思考題“怎樣計算15a4b3x2÷3a2b3”引入新課, 二者都是以單項式除以單項式的具體問題引入新課;在教學方法方面,二者都是引導學生把“單項式除以單項式”轉(zhuǎn)化為“單項式乘以單項式”,從而得到問題結(jié)果;在歸納總結(jié)方面,二者也都是充分發(fā)揮學生的感性思維,引導學生觀察所得等式存在的規(guī)律,最終得到運算法則. 可見,以上兩版教材在整體知識內(nèi)容安排上差異較小,故筆者最終選擇了滬科版教科書七年級下冊“單項式除以單項式”這一教學內(nèi)容為例,展示“數(shù)學教育碩士教學設(shè)計水平提升”的具體過程.

2 教學設(shè)計水平提升過程

為方便本次研究過程的呈現(xiàn),這里將數(shù)學教育碩士教學設(shè)計水平提升的具體過程分為三個階段: 初步階段——尋找“合適根據(jù)地”設(shè)置“初始問題”;提高階段——啟發(fā)學生萌生數(shù)學觀念生成數(shù)學方法;完善階段——關(guān)注學生主體性完善教學設(shè)計. 下面依次分階段進行分析.

2.1 初步階段: 尋找“合適根據(jù)地”設(shè)置“初始問題”

教育碩士們經(jīng)過思考,基于教材中所給的思考題“怎樣計算15a4b3x2÷3a2b3? ”對“單項式除以單項式”進行教學設(shè)計并發(fā)表觀點,現(xiàn)將主要內(nèi)容實錄如下: (下文中所提到的“教碩”是指學科教學(數(shù)學)專業(yè)在讀教育碩士,分別用數(shù)字1-5 進行標記區(qū)分)

教碩1: 先引導學生將“單項式除以單項式”轉(zhuǎn)化為“單項式乘以單項式”, 即( )·3a2b3= 15a4b3x2, 再分別列出( )×3 = 15,( )×a2= a4,( )×b3= b3,( )×1 = x2對學生進行啟發(fā), 學生可以比較容易地得到括號里分別填5,a2,1,x2,從而得到單項式為5a2x2,即15a4b3x2÷3a2b3=5a2x2.

教碩2: 學生在小學階段已經(jīng)學習過分數(shù),知道分數(shù)線具有除號的作用,因此教師可以引導學生將“單項式除以單項式”轉(zhuǎn)化成分數(shù)的形式,即利用學生認知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)存在的約分思想,把本節(jié)課的知識同化到他們已有的認知體系中去,從而促進學生認知結(jié)構(gòu)的建立.

注: 以上兩位教育碩士的教學法都源于教材分析中的宏觀分析,關(guān)注點在于知識點與知識點之間的聯(lián)系,把學生思維限制在某個單元中,這只是學生認知結(jié)構(gòu)中的“根據(jù)地”,但并非“合適根據(jù)地”,不利于學生真正理解數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展過程的實質(zhì). 作為一名數(shù)學教師,要想找到學生學習某具體數(shù)學知識點的“合適根據(jù)地”,就要學會運用教材分析中的微觀分析,分析每一個要素的功能、作用.

教碩3: 引導學生將“單項式除以單項式”轉(zhuǎn)化為“單項式乘以單項式”(學生之前已經(jīng)學過的知識),即( )·3a2b3=15a4b3x2,考慮到存在教師所教授班級的學生數(shù)學基礎(chǔ)較差,不能觀察出括號內(nèi)應填單項式的情況,教師可以告訴學生運用待定系數(shù)、待定指數(shù)法的思想提出假設(shè): 設(shè)括號里的單項式為kambnxp,從而得到kambnxp·3a2b3=15a4b3x2,通過列方程3k =15,am+2=a4,bn+3=b3,xp=x2求解可以得到k =5,m=2,n=0,x=2,由于b0=1,故括號里的單項式為5a2x2,最終得到15a4b3x2÷3a2b3=5a2x2. 具體如圖1(所設(shè)計成的PPT 進行了相應的壓縮,下同).

圖1

通過以上案例可以看出,當數(shù)學教育碩士教學設(shè)計水平處于初步階段時,教碩1 和教碩2 的觀點只是以之前學習的知識點為“根據(jù)地”將教材中的新知識傳遞給了學生,在這個過程中對學生思維意識的培養(yǎng)產(chǎn)生了較小的影響,也就是說,這種教學設(shè)計僅僅只是針對特定知識點進行設(shè)計,并沒有貫穿學生數(shù)學學習的全過程. 但值得肯定的是,教碩3 的觀點在前兩者的基礎(chǔ)上有了很大的創(chuàng)新,他運用待定系數(shù)、待定指數(shù)法的思想(“合適根據(jù)地”)進行教學設(shè)計,能夠激發(fā)學生數(shù)學思維的火花,具有很好的數(shù)學教學價值,在實際數(shù)學教學中,數(shù)學教師們所缺少的就是這種能夠提高學生數(shù)學思維能力的教學法. 可見,基本數(shù)學思想不會白紙黑字寫在教科書上,而是蘊含在數(shù)學知識的形成、發(fā)展過程中,蘊含在數(shù)學問題的剖析、解決過程中,教學中教師要能夠透過知識看思想,通過合理設(shè)計,引導學生逐步感悟數(shù)學思想[5].

2.2 提高階段: 啟發(fā)學生萌生數(shù)學觀念生成數(shù)學方法

在初步階段中,教師只是引導學生運用待定系數(shù)、待定指數(shù)法的思想求出了特定的單項式除以單項式的值,但并未擴展到全部單項式除以單項式的求解方式,即運算法則. 難道學生在今后遇到這種問題時依舊要運用這種比較繁瑣的方式進行求解計算嗎? 顯然,這是不現(xiàn)實的. 因此,教師在幫助學生找到“合適根據(jù)地”的同時,也要啟發(fā)學生萌生數(shù)學觀念,生成數(shù)學方法,即引導學生總結(jié)歸納出“單項式除以單項式”的運算法則,以便于學生在今后的學習中能夠直接使用.因此,教育碩士們經(jīng)過思考與討論,對這個知識點的教學過程做了進一步補充.

教碩4: 在教碩3 教學實施所得到的結(jié)果15a4b3x2÷3a2b3= 5a2x2基礎(chǔ)之上,引導學生觀察系數(shù)、同底數(shù)冪分別在被除數(shù)、除數(shù)、商三個位置上的關(guān)系(學生之前已經(jīng)學習了同底數(shù)冪的除法法則). 先觀察系數(shù)15÷3 = 5,再觀察同底數(shù)冪a4÷a2=a2;b3÷b3=1,學生可以發(fā)現(xiàn): 把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除作為商的因式;另外,還剩下字母x 這種特殊情況未被描述,教師可以引導學生分析x 只出現(xiàn)在被除式和商中,最終總結(jié)得出: 對于只在被除式中含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個因式. 具體如圖2.

圖2

通過以上案例可以看出,當數(shù)學教育碩士教學設(shè)計水平處于提高階段時,教碩4 能夠在教碩3 的教學基礎(chǔ)之上進行補充,引導學生把之前所學的知識點自然而然地運用到對當前知識點的理解過程中,學生不僅對前面所學的知識點進行了復習鞏固,加深印象,而且能將前后知識點聯(lián)系起來,把新知識納入自身已有的認知結(jié)構(gòu)中去,促進了對新知識的理解;此外,在教師的引導下,學生通過觀察總結(jié)出“單項式除以單項式”的運算法則,更能加深其對這個知識點的記憶,應用起來也更得心應手. 可見,本階段數(shù)學教育碩士能夠相對完整地完成某個知識點的教學設(shè)計,但在某些細微之處還存在問題,例如: 板書設(shè)計不規(guī)范、重難點突出不明顯、一味灌輸數(shù)學思想等方面,還需要進行進一步修改和完善,才能更好地完成這個知識點的教學設(shè)計.

2.3 完善階段: 關(guān)注學生主體性完善教學設(shè)計

針對上述兩個階段教學實施過程中出現(xiàn)的一些問題,教育碩士們對“單項式除以單項式”的教學設(shè)計進行了思考與完善,最后,由教碩5 進行教學演示,具體教學過程如下:

首先,教師帶領(lǐng)學生一起分條回顧“單項式乘以單項式”的運算法則,并進行板書(板書的必要性在于防止數(shù)學基礎(chǔ)較差的學生無法回憶起這個知識點,從而跟不上課程節(jié)奏),自然地引出“單項式除以單項式”的課程內(nèi)容;

其次,運用教材中所給的思考題: 怎樣計算15a4b3x2÷3a2b3? 引發(fā)學生思考, 顯然, 學生之前沒有學過“單項式除以單項式”的運算法則, 無法進行計算, 這時教師可以提示學生“除法是乘法的逆運算”并簡單舉例示范, 引導學生將“單項式除以單項式”轉(zhuǎn)化為“單項式乘以單項式”, 即( ) · 3a2b3= 15a4b3x2, 接下來, 教師引導學生猜想: 括號中可能包含哪些元素?[6]學生可以比較容易地得出元素的集合為: 系數(shù), 字母a,b,x(提示: 商中的元素不可能比被除式中的元素多) , 此時, 教師可順勢引導學生運用待定系數(shù)、待定指數(shù)法的數(shù)學思想提出假設(shè): 設(shè)這個單項式為kambnxp(在初步階段中, 教碩3 是采用灌輸式教學法直接告訴學生待定系數(shù)、待定指數(shù)法的數(shù)學思想, 并沒有對學生進行適當?shù)囊龑? 很難形成學生自己的數(shù)學思維意識) , 從而得到kambnxp· 3a2b3= 15a4b3x2, 再通過列方程3k = 15,am+2= a4,bn+3= b3,xp= x2求解可以得到k = 5,m=2,n =0,x=2,由于b0=1,故括號里的單項式為5a2x2,最終得到15a4b3x2÷3a2b3=5a2x2.

最后, 教師引導學生觀察得到的式子15a4b3x2÷3a2b3= 5a2x2(考慮到部分數(shù)學基礎(chǔ)較差的學生可能無法找到觀察的切入點, 因此教師可以提示學生主要觀察系數(shù)、同底數(shù)冪分別在被除數(shù)、除數(shù)、商三個位置上的關(guān)系,并以“單項式乘以單項式”的運算法則格式為參照),先觀察系數(shù)15÷3 = 5,學生可以發(fā)現(xiàn): 系數(shù)的商作為商的系數(shù);再觀察含有同底數(shù)冪的兩組等式a4÷a2=a2;b3÷b3=1,學生可以發(fā)現(xiàn): 同底數(shù)冪的商作為商的因式(此前學生已經(jīng)學習過同底數(shù)冪的運算法則);另外,還剩下字母x 這種特殊情況未被描述,教師可以引導學生分析x 只出現(xiàn)在被除式和商中,最終教師引導學生總結(jié)出: 對于在被除式中含有的字母,連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式. 具體如圖3:

圖3

本階段教學設(shè)計相比較前兩個階段主要從以下三個方面進行了完善: 首先,在PPT 設(shè)計方面,更加簡潔明了,學生能夠據(jù)此明確本節(jié)課的重點和難點,便于形成清晰的認知結(jié)構(gòu)體系;其次,在數(shù)學思想引入方面,將“直接告訴學生”的灌輸法轉(zhuǎn)變?yōu)椤白寣W生自己去猜想、假設(shè)”的引導法,充分體現(xiàn)了學生是學習的主體,教師是學生學習的引導者. 最后,在歸納運算法則方面,給學生一些提示進行引導而不是直接告訴學生現(xiàn)成答案,為學生的觀察活動提供了很好的切入點,同時也照顧到了數(shù)學基礎(chǔ)較差的學生,充分體現(xiàn)了數(shù)學教學要面向全體學生. 以上完善之處盡顯義務教育數(shù)學課程標準的課程基本理念,有利于激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣,使學生理解和掌握基本的數(shù)學知識和技能,體會和運用基本的數(shù)學思想和方法,獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗[7].

3 結(jié)語

在“數(shù)學教育碩士教學設(shè)計水平提升”的整個過程中,數(shù)學教育碩士從教材的宏觀分析轉(zhuǎn)變?yōu)槲⒂^分析,從教數(shù)學知識轉(zhuǎn)變?yōu)榻虜?shù)學思想,從講授式教學法轉(zhuǎn)變?yōu)閱l(fā)式教學法,在這個過程中不僅找到了適合學生學習某具體數(shù)學知識點的“合適根據(jù)地”,引導學生主動去探索數(shù)學新知,還將數(shù)學思想貫穿于課堂教學的全過程,啟發(fā)學生數(shù)學思維意識,從整體上看教學設(shè)計水平呈現(xiàn)出一種逐步上升的趨勢. 可見,數(shù)學教學設(shè)計是一門藝術(shù),需要教師用心鉆研教材,深入了解學生的認知結(jié)構(gòu)和心理活動特點,仔細推敲學生在學習某一特定知識時心理活動繞不過去的關(guān)鍵環(huán)節(jié),在教學中加以鋪墊、渲染、烘托,啟發(fā)學生進行猜想和假設(shè),形成自己的認識和理解,從而激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣,發(fā)展學生的數(shù)學思想,觸動學生的數(shù)學靈感,更好地啟發(fā)學生數(shù)學思考,進而優(yōu)化思維素質(zhì),提高解決問題的能力[8]. 唯有如此,數(shù)學教育碩士才能真正提升教學設(shè)計水平.