重慶市合川太和中學(401555) 陳開龍

重慶市合川瑞山中學(401520) 余曉君 羅 菊

數(shù)學運算, 是高中數(shù)學的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析這六大核心素養(yǎng)[1]之一.教會學生數(shù)學運算, 是中學數(shù)學教學最重要最基本的要求.章建躍博士強調(diào),運算是數(shù)學的“童子功”. 學生只有練好了運算“童子功”,才能提高數(shù)學成績. 而數(shù)學運算又依賴于數(shù)學運算法則,于是數(shù)學法則教學就成為培養(yǎng)中學生數(shù)學運算能力的關(guān)鍵.

那么,如何有效地開展數(shù)學法則教學呢? 我們認為,數(shù)學法則教學要注重數(shù)學思想滲透,突出法則教學的“思想味”[2],“將法則的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)”[3],在法則的引出與形成過程、與所學法則的比較、法則的直接運用與活用等教學環(huán)節(jié),讓學生體會法則的實質(zhì),把法則學活用活,從而提高法則教學質(zhì)量. 本文,我們以初中“冪的乘方”教學為例,談?wù)剶?shù)學法則教學滲透數(shù)學思想的途徑與方法.

1 在法則引出中滲透數(shù)學歸納思想

數(shù)學法則的引出和形成過程,可以從舊知識逐步過渡到新知識,從特殊到一般、從具體到抽象去設(shè)計法則引出的問題串, 讓學生在解答問題串的過程中自然地引出數(shù)學法則,從而滲透歸納思想等數(shù)學思想,培養(yǎng)學生數(shù)學歸納能力等能力.

例如,冪的乘方法則“(am)n=amn”的引出和形成過程,可這樣設(shè)計:

問題串: 請同學們用前面學過的知識填空:

(1)23=____×____×____;

(2)(32)3=____×____×____=____;

(3)(a2)3=____·____·____=____;

(4)(am)3=____·____·____=____(m 是正整數(shù));

(5)猜想(am)n=____(m,n 是正整數(shù));

(6)驗證你的猜想:

(7)用文字敘述你的結(jié)論:________________________.

這里,從學生學過的乘方法則出發(fā),設(shè)計了七個問題組成的問題串. (1)題以簡單的計算復習乘方法則,(2)(3)題進一步拓展乘方運算,(4)題過渡到冪的乘方運算,(5)題猜想出冪的乘方法則,(6)題驗證猜想出的冪的乘方法則,(7)題用文字敘述冪的乘方法則. 這樣設(shè)計,突出了學生學習主體,讓學生在做中學、做中悟,經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等探究活動,有利于培養(yǎng)“四基”(基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗)[4].

在上面問題串中,冪的底數(shù)由2 →32→a →a2→am,冪的指數(shù)由3 →n,既滲透了用字母代替數(shù)、代替其它字母和代數(shù)式的代數(shù)思想,又滲透了從特殊到一般、從簡單到復雜、從舊知識到新知識的數(shù)學歸納思想,以及“先猜后證”的數(shù)學思維方式. 這樣,學生經(jīng)歷了冪的乘方法則的形成過程,理解其內(nèi)涵,有利于提高法則教學質(zhì)量.

2 在法則比較中滲透數(shù)學類比思想

俗話說,有比較才有鑒別. 數(shù)學教學就是要多進行比較教學、類比教學,幫助學生厘清相關(guān)數(shù)學知識的區(qū)別與聯(lián)系,有利于形成知識網(wǎng)絡(luò),把知識學得更牢. 因此,在新法則教學過程中,我們要有意識地將新法則與學過的法則進行比較或類比,把新法則運算融入到所學法則的混合計算中去,讓學生在對比和類比中深度學習.

2.1 與所學法則比較

表1 冪的乘方法則與同底數(shù)冪的乘法法則比較

學生剛學習冪的乘方法則,很容易和前面學的同底數(shù)冪的乘法等法則混淆,為突出該重點和突破該難點,可采取列表的方式進行對比教學.

這里,表格式比較,內(nèi)容具體、對比性強,有利于學生區(qū)分法則. 比較內(nèi)容涉及兩個法則的運算式子、運算結(jié)果、冪的底數(shù)和指數(shù)的變化,便于學生理解和記憶.

2.2 與所做習題比較

新法則教學,我們要有意識地設(shè)計一些與所學法則容易混淆的判斷題或混合計算題,讓學生在運算中進一步理解法則,能檢驗學生是否理解了所學法則.

例1計算: (1)(?x)7·2(x4)3;(2)(y3)2+(y2)3?2y·y5.

這里,(1)題綜合考查學生對乘方法則、同底數(shù)冪乘法法則和冪乘方法則的理解,通過解答,讓學生明白什么時候冪的指數(shù)相加、相乘. (2)題綜合考查學生相同冪的合并、同底數(shù)冪乘法法則和冪的乘方法則,通過解答,讓學生明白什么時候冪的系數(shù)相加減,什么時候冪的底數(shù)、指數(shù)不變,什么時候冪的指數(shù)相加、相乘.

這樣,通過設(shè)計法則的混合運用,強化了學生對所學多個法則的理解,從而主要滲透數(shù)學知識對比與數(shù)學類比思想.

3 在法則運算中滲透數(shù)學整體思想

整體思想,是代數(shù)學習中常用的一種數(shù)學思想方法與技巧. 例如: 求某些條件代數(shù)式的值常用到整體代入;求某些含有多個條件等式的代數(shù)式的值,有時將多個等式進行整體相加(相減、相乘、相除)運算. 在求代數(shù)式值的過程中,通過整體代入、整體求解、整體設(shè)元、整體運算等教學,從而滲透數(shù)學整體思想.

3.1 整體代入

整體代入,就是將某個代數(shù)式當作一個字母(整體),將它的值代入到所求代數(shù)式中去計算. 簡單地理解,整體代入就像把行囊“打包”拎走那樣.

例2已知10m=3,10n=2,求下列各式的值:

(1)103m;(2)103m+2n.

這里, 把已知中的10m和10n當作一個數(shù)(整體) , 將(1)題中的103m向已知轉(zhuǎn)化,變形為(10m)3,再把10m的值代入即可. 將(2)題中的103m+2n向兩個已知轉(zhuǎn)化,變形為(10m)3×(10n)2,再把已知整體代入即可.

本題,我們并不去求出m 和n 的值,而是通過將所求代數(shù)式進行整體構(gòu)造,使之與已知條件關(guān)聯(lián),然后把已知整體代入式子求解,該過程主要滲透了整體代入思想.

3.2 整體運算

整體運算,就是將某個或某幾個代數(shù)式當作一個整體進行運算. 在整體運算中滲透數(shù)學整體思想.

例3計算: (1)(2)[(x ?y)2]3.

(1)題計算有兩種思路: 一是由內(nèi)向外依次去括號計算,兩次運用冪的乘方法則計算得出結(jié)果;二是由外向內(nèi)依次去括號計算,先把(a2)3當成一個冪(整體),用冪的乘方法則計算,接著再進行冪的乘方運算. (2)題直接將底數(shù)x ?y 這個多項式當作一個字母(整體),直接用冪的乘方法則計算.在本題教學中,主要滲透了整體運算思想.

4 在法則活用中滲透數(shù)學轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學轉(zhuǎn)化思想,就是將數(shù)學問題變成學過的數(shù)學問題解決、復雜數(shù)學問題變成幾個簡單數(shù)學問題解決. 轉(zhuǎn)化思想是我們解答數(shù)學題的重要思想方法. 解答數(shù)學問題的過程,就是一個將所求解問題不斷地進行轉(zhuǎn)化的過程,最終把所求問題化為容易問題而加以解決. 就冪的乘方法則而言,在靈活運用法則過程中,通常要轉(zhuǎn)化冪的底數(shù)或指數(shù),從而滲透數(shù)學轉(zhuǎn)化思想.

4.1 轉(zhuǎn)化冪的底數(shù)

例4計算: (p ?q)3[(q ?p)3]2.

乍看,本題兩個冪的底數(shù)不同,無法計算. 但引導學生仔細觀察發(fā)現(xiàn),兩個底數(shù)是互為相反數(shù)的,我們只要改變兩底數(shù)中任何一個底數(shù)的符號,式子便轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪乘法和冪乘方的混合運算,從而滲透數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想和整體思想.

4.2 轉(zhuǎn)化冪的底數(shù)和指數(shù)

例5已知2x+3y ?7=0,求4x·8y的值.

乍看,本題已知和所求式子毫不相干. 引導學生仔細觀察和分析發(fā)現(xiàn),方程2x+3y ?7=0 和4x·8y中的字母、系數(shù)、底數(shù)有著內(nèi)在聯(lián)系. 通過逆用冪乘方法則和同底數(shù)冪乘法法則,將所求式子4x·8y朝著已知條件轉(zhuǎn)化,去改變換冪的底數(shù)和指數(shù): 4x·8y=(22)x·(23)y=22x·23y=22x+3y,再把已知化為2x+3y =7,整體代入即可.

通過本題教學, 我們既培養(yǎng)了學生的逆向思維與能力,又滲透了轉(zhuǎn)化思想和整體構(gòu)造、整體代入等數(shù)學思想方法.

5 在法則逆用中滲透數(shù)學分類思想

數(shù)學法則多以等式(公式)形式出現(xiàn),具有可逆性. 比如,將冪的乘方法則倒過來寫,得到amn= (am)n= (an)m(m,n 為正整數(shù)) . 這里, 積相等的兩個指數(shù)不確定, 如312 =(31)12=(32)6=(36)2=(33)4=(34)3等. 正是這種不確定性,在解答過程中滲透了數(shù)學分類思想.

例6小明和小華比較3500,4400,5300的大小. 小明說:“因為3500的指數(shù)最大,所以3500的值最大”;而小華卻不服氣地說:“因為5300的底數(shù)最大,所以5300的值應(yīng)該最大.”同學們,他們倆誰說得對呢?

本題屬大數(shù)的大小比較問題,無法硬算,難度較大. 引導學生探究發(fā)現(xiàn),將冪的底數(shù)和指數(shù)分別進行整體構(gòu)造轉(zhuǎn)化能夠求解. 這里, 有兩種構(gòu)造轉(zhuǎn)化思路: 一是將三個冪化成同底,去比較指數(shù)大小;二是將三個冪化成同指數(shù),去比較底數(shù)大小. 因三個底數(shù)3、4、5,既有奇數(shù)又有偶數(shù),我們不能將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)的冪,于是只能通過化同指數(shù)來解決.

那么, 三個指數(shù)500、400、300 向哪個正整數(shù)轉(zhuǎn)化呢? 顯然, 只能找其公約數(shù), 如100, 50, 10, 5, 2 等. 于是, 將3500, 4400, 5300轉(zhuǎn)化成(35)100,(44)100,(53)100, 即(243)100,(256)100,(125)100. 這樣,只需比較三個底數(shù)的大小即可. 很顯然,小明和小華均沒說對,是4400最大.

這樣,通過本題教學,我們重點滲透了數(shù)學的分類思想和轉(zhuǎn)化思想.

6 結(jié)束語

以上,我們從數(shù)學思想視角出發(fā),以初中“冪的乘方”教學為例, 探討了數(shù)學法則教學滲透數(shù)學思想的途徑與方法,這對我們的中學數(shù)學法則教學和提高課堂數(shù)學教學質(zhì)量具有一定的參考價值和教學指導作用. 在這里,我們還特地說明三點: 一是數(shù)學思想滲透須有載體. 我們不能僅在一節(jié)課最后小結(jié)時生硬地、輕描淡寫地說出本節(jié)課涉及到了哪些數(shù)學思想,而要在數(shù)學法則的引出、比較、運用等教學過程中有機地滲透數(shù)學思想,讓學生真正地體會數(shù)學思想,真切感受到數(shù)學思想的重要性. 這是因為,數(shù)學思想是對數(shù)學知識的本質(zhì)認識,是高于具體數(shù)學內(nèi)容的一種指導思想和普遍適用的方法[5],它不同于配方法、換元法等具體方法學生容易接受,重點要讓學生去體會才行. 二是數(shù)學思想的教學不能一蹴而就,需要我們在平時教學中不斷滲透,讓學生不斷接受數(shù)學思想的熏陶, 培養(yǎng)學生在數(shù)學思想指導下解題的習慣,從而提高數(shù)學教學質(zhì)量. 三是為行文方便,在法則教學的每個環(huán)節(jié),我們重點探討了一種數(shù)學思想滲透,但這并不意味著各環(huán)節(jié)只能滲透一種數(shù)學思想,而實際情況恰恰相反,一個教學環(huán)節(jié)往往滲透著多種數(shù)學思想.