曾 豪，李朝玉,徐 瑞，郝 平，彭 坤

(1.北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094；2.北京理工大學(xué)，北京 100081)

0 引 言

獨(dú)特的空間環(huán)境觀測(cè)位置與行星際探測(cè)的低耗能中轉(zhuǎn)站使得三體系統(tǒng)平動(dòng)點(diǎn)在空間任務(wù)中的應(yīng)用價(jià)值逐步凸顯[1-3]。地月系統(tǒng)平動(dòng)點(diǎn)軌道能夠?yàn)樵虑蛱綔y(cè)中繼星的部署提供落腳點(diǎn)，支持著陸器與巡視器的月球背面導(dǎo)航任務(wù)[4-5]。借助地月空間擬周期軌道分析月球磁性層與空間環(huán)境[6]。其次，地月L1點(diǎn)與L2點(diǎn)計(jì)劃用于未來(lái)載人空間任務(wù)，將空間站部署于月球附近三體平動(dòng)點(diǎn)軌道，能夠完成空間物資運(yùn)輸與燃料補(bǔ)加[7-8]、載人火星[9]與小行星探測(cè)任務(wù)[10]。同時(shí)，通過(guò)月球引力輔助與不變流形理論能夠?qū)崿F(xiàn)飛行器由地球停泊軌道與平動(dòng)點(diǎn)軌道之間的低能量轉(zhuǎn)移，從而有效地提高飛行器攜帶有效載荷的能力，將飛行器的月球探測(cè)任務(wù)作用最大化。

針對(duì)三體軌道支持的登月往返任務(wù)研究，彭坤等[11]分析了空間站部署地月平動(dòng)點(diǎn)Halo的載人月球探測(cè)飛行模式，從燃耗需求、登月窗口和可靠性等多方面進(jìn)行優(yōu)劣分析與定量評(píng)價(jià)，分析表明基于L2點(diǎn)Halo的空間站登月模式可以為載人深空探測(cè)任務(wù)提供支持。Whitley等[8]針對(duì)月球附近的近直線Halo軌道與環(huán)月軌道(LLO)間往返時(shí)間與速度增量等參數(shù)變化特性及全月面可達(dá)域進(jìn)行研究。同樣地，曹鵬飛等提出了一種設(shè)計(jì)變量解析初值搜索策略，結(jié)合不變流形與局部梯度優(yōu)化對(duì)探測(cè)器由Halo軌道飛抵LLO的兩脈沖轉(zhuǎn)移特性與奔月軌道月面可達(dá)范圍進(jìn)行分析[12]。Gao等針對(duì)嫦娥2號(hào)探測(cè)器環(huán)繞地月平動(dòng)點(diǎn)軌道的潛在拓展性試驗(yàn)進(jìn)行分析，借助穩(wěn)定流形分別設(shè)計(jì)了環(huán)月軌道飛抵地月L1點(diǎn)與L2點(diǎn)Halo軌道的三脈沖軌跡[13]。Mingotti等[14]結(jié)合小推力技術(shù)與不變流形理論，采用離散配點(diǎn)法實(shí)現(xiàn)了不穩(wěn)定流形與環(huán)月軌道的最優(yōu)小推力拼接，但存在任務(wù)飛行時(shí)間長(zhǎng)等問(wèn)題。

地月系統(tǒng)三體軌道與環(huán)月軌道之間構(gòu)造最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡需要綜合分析多天體引力相互影響下的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性。同時(shí)，三體軌道與環(huán)月軌道離軌點(diǎn)、捕獲點(diǎn)位置的確定，將對(duì)軌道轉(zhuǎn)移燃耗、時(shí)間等性能指標(biāo)產(chǎn)生影響。因此，如何考慮約束模型，如何借助空間流形快速構(gòu)造初始轉(zhuǎn)移軌跡，如何調(diào)整離軌點(diǎn)與捕獲點(diǎn)確定燃料最優(yōu)軌跡的同時(shí)有效地縮短飛行時(shí)間，均是飛行器往返三體軌道與月球軌道設(shè)計(jì)時(shí)亟需重點(diǎn)考慮和解決的問(wèn)題。

結(jié)合以上問(wèn)題，同時(shí)考慮到Lambert理論求解兩點(diǎn)邊值問(wèn)題時(shí)[15]，二體模型與三體模型差異導(dǎo)致的部分工況軌道設(shè)計(jì)初值收斂性較差的問(wèn)題。本文直接以三體模型下平動(dòng)點(diǎn)軌道與不變流形構(gòu)型為基礎(chǔ)，通過(guò)微分修正迭代求解初始轉(zhuǎn)移軌跡，確定設(shè)計(jì)變量初值。然后采用配點(diǎn)法與局部?jī)?yōu)化算法(SQP)，構(gòu)造出滿足近月點(diǎn)約束的環(huán)月軌道與平動(dòng)點(diǎn)軌道之間燃料最優(yōu)往返轉(zhuǎn)移。設(shè)計(jì)過(guò)程中采用時(shí)間變量表征三體軌道上狀態(tài)量，迭代優(yōu)化求解確定轉(zhuǎn)移軌道最佳的離軌點(diǎn)與捕獲點(diǎn)。本文以月球附近Halo與DRO為研究對(duì)象，對(duì)不同幅值三體軌道、環(huán)月軌道傾角及任務(wù)飛行時(shí)間對(duì)變軌機(jī)動(dòng)增量的影響重點(diǎn)分析，驗(yàn)證所提設(shè)計(jì)方法的有效性與通用性，為未來(lái)登月任務(wù)規(guī)劃提供理論支持與數(shù)據(jù)借鑒。

1 軌道設(shè)計(jì)模型與研究目標(biāo)

1.1 圓型限制性三體模型

針對(duì)飛行器往返環(huán)月軌道與三體軌道的空間狀態(tài)變化特性分析，本文以地球、月球及飛行器組成的圓型限制性三體模型(CR3BP)進(jìn)行研究，如圖1所示。

圖1 會(huì)合坐標(biāo)系與三體軌道Fig.1 Rotating reference frame and three-body orbits

根據(jù)能量法并對(duì)時(shí)間、質(zhì)量、長(zhǎng)度等參數(shù)無(wú)量綱化處理，飛行器在質(zhì)心會(huì)合坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)模型為：

(1)

式中:

(2)

1.2 三體軌道與狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

在地月三體空間中，月球附近包含著構(gòu)型各異的周期軌道，本文基于大幅值逆行軌道(Distant retrogr-ade orbit,DRO)與暈軌道(Halo orbit,Halo)兩種類型的往返軌跡進(jìn)行設(shè)計(jì)與特性分析，如圖2所示。

Halo軌道為平動(dòng)點(diǎn)附近的暈軌道，通過(guò)L2點(diǎn)Halo軌道能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)月球背面可見(jiàn)(嫦娥四號(hào)中繼星任務(wù)軌道)。同時(shí)，由圖2(a)與(b)可知，Halo軌道附近穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形，能夠?yàn)橥弟壍涝O(shè)計(jì)提供幫助。

DRO軌道為圍繞月球的逆向運(yùn)行共振軌道。研究可知，DRO具有Lyapunov穩(wěn)定性，雖然空間天體引力會(huì)破壞DRO的穩(wěn)定性，但此軌道仍適合于長(zhǎng)時(shí)間的天體繞飛任務(wù)與日地觀測(cè)任務(wù)[16]。

在CR3BP模型中設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)移軌道與不變流形時(shí)，可采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣描述下一時(shí)刻對(duì)當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)量的敏感性，提高軌道計(jì)算效率與降低設(shè)計(jì)難度，滿足：

(3)

圖2 地月空間Halo與DRO分布特性Fig.2 Characteristic of Halo and DRO in cislunar space

2 約束模型與設(shè)計(jì)方案分析

2.1 往返軌跡約束建模

針對(duì)環(huán)月軌道與三體軌道之間往返特性分析，為降低軌道設(shè)計(jì)難度，本文直接以三體軌道與不變流形為基礎(chǔ)，構(gòu)造燃料最優(yōu)飛行軌跡，如圖3(a)所示。

為了更好利用三體平動(dòng)點(diǎn)軌道特性降低設(shè)計(jì)難度，基于逆向積分策略進(jìn)行往返軌跡求解。通過(guò)時(shí)間變量τ表征三體軌道對(duì)應(yīng)時(shí)刻的狀態(tài)量，優(yōu)化搜索τ可快速地確定去程離軌點(diǎn)與回程捕獲點(diǎn)最佳位置。同時(shí)，為了設(shè)計(jì)出滿足給定約束的最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡，結(jié)合多重打靶法與序列二次規(guī)劃算法對(duì)初始參考軌道進(jìn)行分段處理，能夠有效降低設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感性。

具體地，最優(yōu)軌跡求解時(shí)設(shè)計(jì)變量C包含去程三體軌道離軌點(diǎn)或者回程捕獲點(diǎn)時(shí)間變量τ與三軸速度增量ΔVOI、拼接點(diǎn)之間飛行時(shí)間Ti及狀態(tài)量Xi。設(shè)計(jì)變量與約束方程滿足：

(4)

C1=[ΔVOI,Tf]T

(5)

若限制轉(zhuǎn)移時(shí)間固定，則在式(4)中考慮時(shí)間約束，即T1+T2+…+Tn-1=T*。

圖3 月球往返轉(zhuǎn)移與多重配點(diǎn)策略示意圖Fig.3 Diagram of round-trip transfers and multiple collocation strategy

2.2 設(shè)計(jì)初值猜想策略

針對(duì)設(shè)計(jì)變量初值搜索問(wèn)題，Halo軌道附近存在著不穩(wěn)定流形與穩(wěn)定流形，可以通過(guò)施加脈沖對(duì)不變流形結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，使得轉(zhuǎn)移軌道終端滿足約束方程中部分條件。而DRO軌道較為穩(wěn)定，無(wú)法基于空間流形確定軌道初值，但DRO為平面周期軌道，關(guān)于y軸近似對(duì)稱，同樣能夠通過(guò)調(diào)整速度增量確定合適的初始轉(zhuǎn)移軌道，如圖4所示。

圖4 初始參考軌跡迭代過(guò)程Fig.4 Iteration process of designing initial reference path

具體設(shè)計(jì)步驟可描述為(以去程軌跡為例)：

1)構(gòu)造目標(biāo)三體Halo軌道與DRO軌道，初步選取離軌點(diǎn)，合適的位置位于xy平面內(nèi)x軸向距離月球最遠(yuǎn)端附近。

2)確定Halo軌道不穩(wěn)定流形與DRO軌道上航跡角為零的位置，如圖4中圓點(diǎn)所示，進(jìn)而確定轉(zhuǎn)移時(shí)間Tf。

3)結(jié)合微分修正算法，考慮轉(zhuǎn)移終端環(huán)月軌道高度hm與航跡角γm約束，迭代修正設(shè)計(jì)變量C1，能夠快速設(shè)計(jì)出滿足約束的轉(zhuǎn)移軌跡，如圖4所示。

微分修正算法中需要結(jié)合狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和軌道末端點(diǎn)狀態(tài)量，確定約束變量關(guān)于自由變量的微分關(guān)系式，即:

(6)

針對(duì)環(huán)月軌道高度約束，滿足:

(7)

其中:rm=rf-[1-μ,0,0]T。

飛行航跡角關(guān)于狀態(tài)量的偏導(dǎo)數(shù)為:

(8)

2.3 局部?jī)?yōu)化約束方程梯度信息

上述軌道初值求解策略僅滿足環(huán)月軌道高度與航跡角約束，且三體軌道離軌點(diǎn)(或捕獲點(diǎn))相對(duì)固定，無(wú)法保證轉(zhuǎn)移方案的最優(yōu)性。應(yīng)通過(guò)局部?jī)?yōu)化SQP算法對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)一步迭代求解，確定最優(yōu)軌跡的設(shè)計(jì)變量參數(shù)值。同時(shí)，結(jié)合多重打靶法對(duì)初始參考軌道分段處理降低軌道設(shè)計(jì)難度。目標(biāo)函數(shù)滿足:

(9)

推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)、約束方程的梯度關(guān)系。其中，目標(biāo)函數(shù)僅包含為ΔVOI與ΔVLMO，即:

(10)

近月點(diǎn)軌道高度與相對(duì)月球航跡角的偏導(dǎo)數(shù)如式(7)與式(8)所示。類傾角及其關(guān)于末端點(diǎn)狀態(tài)量的微分關(guān)系滿足:

(11)

根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t與矢量運(yùn)算法則:

(12)

其次，拼接點(diǎn)位置與速度矢量約束關(guān)于設(shè)計(jì)變量的梯度滿足:

(13)

(14)

若考慮轉(zhuǎn)移時(shí)間約束，則拼接點(diǎn)時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)?Ti/?Ti=1。約束方程的梯度矩陣階數(shù)為(6n-2)×(7n+1)，部分項(xiàng)由式(7)～(14)構(gòu)成，其他項(xiàng)均為零。

3 月球往返軌道方案分析

本文基于地月空間限制性三體系統(tǒng)及月球往返軌道設(shè)計(jì)方法，分析不同構(gòu)型Halo與DRO轉(zhuǎn)移軌道特性，重點(diǎn)討論環(huán)月軌道傾角與三體軌道幅值變化對(duì)任務(wù)燃耗與飛行時(shí)間的影響。在任務(wù)規(guī)劃時(shí)，設(shè)定環(huán)月軌道高度300 km，相對(duì)月球的飛行航跡角為0°。

3.1 基于Halo軌道的月球往返軌道設(shè)計(jì)

3.1.1往返轉(zhuǎn)移軌道特性分析

圖5描述了考慮環(huán)月軌道類傾角90°，目標(biāo)Halo軌道法向幅值8000 km，飛行時(shí)間分別為2天與3.5天往返轉(zhuǎn)移軌跡。由圖可知，不同工況下Halo軌道上合適的離軌點(diǎn)與捕獲點(diǎn)位于遠(yuǎn)離月球一端的弧段，環(huán)月軌道機(jī)動(dòng)點(diǎn)分布于xy平面附近。針對(duì)2天往返轉(zhuǎn)移軌道，飛行器施加292.863 m/s速度增量從Halo軌道上離軌，飛行2天后在近月點(diǎn)沿速度方向機(jī)動(dòng)614.713 m/s完成環(huán)月軌道捕獲，回程軌跡中環(huán)月軌道與Halo軌道機(jī)動(dòng)速度增量分別為617.469 m/s與262.084 m/s。

圖5 Halo軌道往返最優(yōu)Fig.5 The round-trip optimal transfers of Halo scenario

針對(duì)3.5天往返轉(zhuǎn)移任務(wù)，去程與回程軌跡在Halo軌道上變軌機(jī)動(dòng)分別為161.354 m/s與144.963 m/s，環(huán)月軌道上特征點(diǎn)變軌速度增量分別為600.337 m/s與603.351 m/s。比較兩種工況可知，增加轉(zhuǎn)移時(shí)間，能夠一定程度上降低燃料消耗，即去程降低145.885 m/s與回程減少131.239 m/s。若為載人登月任務(wù)軌道，時(shí)間增加1.5天后需要考慮熱控、食品消耗等因素的影響。因此，需要根據(jù)任務(wù)指標(biāo)綜合考慮燃耗與其他消耗選取飛行軌跡。

為了更好地給出環(huán)月軌道傾角與飛行時(shí)間對(duì)速度增量的影響，對(duì)固定飛行時(shí)間區(qū)間T∈(2.0, 3.5)天，環(huán)月軌道類傾角(10°，170°)(即月球低緯度至高緯度)的轉(zhuǎn)移軌道特性進(jìn)行分析，如圖6所示。由圖可知：1)針對(duì)Halo轉(zhuǎn)移方案，在給定的時(shí)間范圍內(nèi)，隨著飛行時(shí)間的增加，往返轉(zhuǎn)移速度增量總體呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。2)固定飛行時(shí)間，隨著類傾角逐步增大，相比于小傾角工況，完成大傾角轉(zhuǎn)移任務(wù)所需速度增量增加。3)去程軌跡與回程軌跡速度增量范圍分別介于(716.883，915.823)m/s與(702.589，938.409)m/s。

圖6 飛行時(shí)間、類傾角與速度增量的變化關(guān)系Fig.6 The maps of time, velocity increment and analogy inclination

圖7 類傾角10°與170°的往返轉(zhuǎn)移軌跡Fig.7 Round-trip transfers of analogy inclination 10°and 170°

3.1.2Halo法向幅值對(duì)轉(zhuǎn)移效果的影響

分析不同幅值Halo軌道的轉(zhuǎn)移特性，能夠?yàn)檐壍莱叽绲倪x取提供依據(jù)。本文針對(duì)法向幅值介于[5000, 27000]km(每隔1000 km進(jìn)行取值)的去程轉(zhuǎn)移軌跡，以及變軌增量、任務(wù)時(shí)間參數(shù)變化進(jìn)行分析，如圖8與圖9所示。

對(duì)比飛行軌道及各項(xiàng)關(guān)鍵參數(shù)，不同Halo法向幅值的轉(zhuǎn)移軌道離軌點(diǎn)分布與環(huán)月軌道捕獲點(diǎn)位置相近。轉(zhuǎn)移總速度增量隨著法向幅值的增大而逐步減小，介于(647.056，808.365)m/s，其中飛行器離軌機(jī)動(dòng)滿足42.367 m/s與196.985 m/s范圍內(nèi)。飛行時(shí)間呈現(xiàn)增大趨勢(shì)，但改變量較小，僅為5.829-5.577=0.252天。

當(dāng)Halo軌道法向幅值為5000 km時(shí)，飛行器完成離軌機(jī)動(dòng)后195.460 m/s，飛行5.586天后施加增量611.441 m/s完成月球捕獲機(jī)動(dòng)。當(dāng)法向幅值為27000 km時(shí)，飛行器在Halo軌道上離軌速度增量為66.777 m/s，航行5.811天后在上施加604.364 m/s進(jìn)入目標(biāo)環(huán)月軌道。

圖8 Halo-月球往返轉(zhuǎn)移軌跡Fig.8 Round-trip transfer orbit between Halo and the Moon

圖9 不同條件的Halo轉(zhuǎn)移變軌增量與時(shí)間變化Fig.9 The curves of impulse increment and transfer time of different Halo scenarios

3.2 基于DRO的月球往返轉(zhuǎn)移特性分析

針對(duì)飛行器去程與回程速度增量與飛行時(shí)間對(duì)比分析，速度增量最小差值與最大差值分別為0.117 m/s(類傾角66°)與1.014 m/s(類傾角10°)。具體地，當(dāng)環(huán)月軌道類傾角為10°時(shí)，飛行器完成月球往返轉(zhuǎn)移約8.65天，近月點(diǎn)施加的速度增量為628.812 m/s與629.072 m/s，實(shí)現(xiàn)DRO離軌與捕獲變軌分別為125.723 m/s與126.478 m/s。

圖10 環(huán)月軌道-DRO最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡Fig.10 The optimal round-trip transfers between the LMO and DRO

圖11 不同類傾角下速度增量與轉(zhuǎn)移時(shí)間變化關(guān)系Fig.11 The relationship of velocity increment and transfer time in different scenarios

其次，針對(duì)固定時(shí)間轉(zhuǎn)移任務(wù)，即5.917天，總機(jī)動(dòng)增量變化曲線如圖12(b)所示。隨著雅克比常數(shù)逐步增加，速度增量變化滿足743.176 m/s至762.974 m/s，此工況下，飛行器實(shí)現(xiàn)小雅克比常數(shù)DRO轉(zhuǎn)移任務(wù)所需的速度增量增加。最小速度增量位于C=2.918086，完成任務(wù)總速度增量為743.176 m/s，其中離軌點(diǎn)速度增量113.688 m/s，月球捕獲機(jī)動(dòng)629.488 m/s。

圖12 可變與固定時(shí)間的機(jī)動(dòng)參數(shù)變化曲線Fig.12 The curve of impulse increment at a variable and fixed time

3.3 關(guān)鍵參數(shù)對(duì)比分析

分析地月平動(dòng)點(diǎn)Halo與DRO軌道支持的登月模式的燃耗需求與時(shí)間需求，圖6與圖11燃料最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 不同月球往返軌道的速度增量與時(shí)間需求Table 1 Demand for velocity increment and flight time for different orbits in lunar exploration

對(duì)比Halo與DRO兩種模式的往返環(huán)月軌道的轉(zhuǎn)移方案，完成Halo與DRO轉(zhuǎn)移任務(wù)需要的機(jī)動(dòng)增量相當(dāng)，但Halo轉(zhuǎn)移更適合于短時(shí)間任務(wù)。DRO模式為降低任務(wù)燃耗，轉(zhuǎn)移時(shí)間將會(huì)增加。應(yīng)注意，三體軌道幅值(即雅克比常數(shù))對(duì)轉(zhuǎn)移任務(wù)指標(biāo)存在一定的影響，需根據(jù)實(shí)際任務(wù)需求確定軌道幅值。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)飛行器往返月球附近Halo或DRO與環(huán)月軌道設(shè)計(jì)問(wèn)題，結(jié)合不變流形理論與三體軌道構(gòu)型特性，解決了軌道設(shè)計(jì)初值猜想問(wèn)題，結(jié)合局部?jī)?yōu)化算法與多重打靶法對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)一步迭代優(yōu)化，重點(diǎn)分析了不同構(gòu)型三體軌道與環(huán)月軌道對(duì)任務(wù)燃耗與飛行時(shí)間等關(guān)鍵指標(biāo)的影響。研究表明：

1)針對(duì)特定的三體軌道，Halo與DRO的往返軌道特征點(diǎn)變軌增量、轉(zhuǎn)移時(shí)間相近。隨著環(huán)月軌道類傾角的增大，Halo轉(zhuǎn)移速度增量逐步增大，而DRO轉(zhuǎn)移呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)，轉(zhuǎn)移時(shí)間降低。

2)針對(duì)Halo轉(zhuǎn)移方案分析，不同環(huán)月軌道類傾角條件下，單程轉(zhuǎn)移時(shí)間介于2～3.5天對(duì)應(yīng)的速度增量在702.589～938.409 m/s范圍內(nèi)。當(dāng)飛行時(shí)間差異在0.5天內(nèi)時(shí)，選取大幅值Halo作為任務(wù)軌道，能夠較好地降低往返轉(zhuǎn)移速度增量。

3)針對(duì)DRO轉(zhuǎn)移方案分析，不同類傾角工況下往返速度增量介于734.337～754.84 m/s，時(shí)間區(qū)間介于5.917～8.062天范圍。相比于Halo轉(zhuǎn)移方案，完成飛行任務(wù)的時(shí)間增加。

4)比較兩者登月模型任務(wù)，Halo轉(zhuǎn)移是綜合考慮時(shí)間與燃耗的最佳轉(zhuǎn)移方案，而DRO燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移適合于對(duì)時(shí)間要求不高的飛行任務(wù)。

上述設(shè)計(jì)方法與分析結(jié)論，對(duì)于考慮環(huán)月軌道與三體軌道間往返軌道設(shè)計(jì)及變量選取具有重要的參考價(jià)值。同時(shí)應(yīng)注意，SQP算法為局部迭代優(yōu)化算法，后續(xù)可進(jìn)一步考慮全局優(yōu)化算法對(duì)結(jié)果優(yōu)化求解。