李勝

(湖南省交建工程集團(tuán)有限公司， 湖南 株洲 412007)

分形理論旨在對自然界中不穩(wěn)定、無序、非平衡狀態(tài)目標(biāo)的自相似程度、不規(guī)則程度進(jìn)行定量分析，在不規(guī)則材料描述方面，分形理論比傳統(tǒng)幾何語言具有更大的優(yōu)越性。瀝青混合料組成成分相似，具有一定的自相似性，滿足分形理論對研究目標(biāo)的基本原則，可利用分形理論對瀝青混合料進(jìn)行分析。

1 分形理論簡介

在幾何數(shù)學(xué)中，n段長為r的線段可組成長為1的直線段，即n×r=1；n個邊長為r的小正方形可組成面積為1的正方形，即n×r2=1；n個體積為r的小正方體可組成體積為1的正方體，即n×r3=1?？梢?，傳統(tǒng)幾何數(shù)學(xué)中，r的冪次D即為幾何體的空間維數(shù)，可表示為：

(1)

在海岸線長度測量過程中，若尺子長度為r1，度量次數(shù)為N1，則海岸線長度L1≈N×r1；若尺子長度為r2(r2N1)，則海岸線長度L1≈N×r1；若尺子長度為rn，度量次數(shù)為Nn，則海岸線長度Ln≈N×rn。由于度量過程中忽略了度量尺中間的曲線長度，最終海岸線度量值L1

lgL∝blg(1/r)

(2)

設(shè)尺子長為r，度量次數(shù)為n，則海岸線長L=n×r，得：

(3)

lgL=lgn+lgr

(4)

由上述公式可推出D=1-b(b為海岸線長度與測量精度之間的比例關(guān)系，從某種意義上說是兩者在坐標(biāo)圖上對應(yīng)關(guān)系的斜率)，得：

(5)

若D=1，則海岸線在傳統(tǒng)幾何學(xué)意義中表現(xiàn)為光滑曲線，L=L0；若r=L0，則L=L0；度量尺長r趨向于零時，海岸線長L趨向于無窮大，此時采用傳統(tǒng)幾何學(xué)將無法對其進(jìn)行準(zhǔn)確描述，亟待尋求其他參數(shù)進(jìn)行表征。

分形理論突破傳統(tǒng)幾何學(xué)中空間維數(shù)為整數(shù)的界限，提出分維空間的概念，分析自然界中無規(guī)則又自相似的物體。將式(5)推廣，可得：

A(r)=A0(r/rmax)E-D

(6)

式中：E表征研究目標(biāo)的空間維數(shù)，E=0時，研究目標(biāo)為點(diǎn)，A(r)和r表征研究目標(biāo)點(diǎn)的個數(shù)；E=1時，研究目標(biāo)為線，A(r)和r表征研究目標(biāo)的長度值；E=2時，研究目標(biāo)為面，A(r)表征研究目標(biāo)的面積，r表征研究目標(biāo)的長度；E=3時，研究目標(biāo)為立體，A(r)表征研究目標(biāo)的體積，r表征研究目標(biāo)的長度；A0為E=D時A(r)的值；rmax為碼尺最大長度；D為分維數(shù)。

具有無規(guī)則又自相似性的形態(tài)廣泛存在于自然界中，如山川、云朵等。分形理論認(rèn)為，若所研究目標(biāo)滿足式(6)，則研究目標(biāo)可采用分形維數(shù)D來度量其空間結(jié)構(gòu)的無序程度，即式(6)可看作分形理論的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

根據(jù)相關(guān)研究成果，集料粒徑、瀝青混合料傳統(tǒng)設(shè)計理論均具有一定分形特征，可采用分形理論表達(dá)式表征。集料粒徑分布的分形表達(dá)式如下：

(7)

級配分形函數(shù)的分形表達(dá)式如下：

lgP(x)∝(3-D)lgx

(8)

N法的分形表達(dá)式如下：

lgP(x)∝nlgx

(9)

I法的分形表達(dá)式如下：

lgP(x)∝-3.32lgilgx

(10)

K法的分形表達(dá)式如下：

lgP(x)∝-3.32lgKlgx

(11)

粒子干涉理論的分形表達(dá)式如下：

(12)

貝雷法(PCS為第一控制篩孔、SCS為第二控制篩孔、TCS為第三控制篩孔)的分形表達(dá)式如下：

(13)

(14)

(15)

由式(9)～(15)可知：各級配理論均具有一定相通性。這是因為無論何種理論，其最終目的都是使瀝青混合料內(nèi)部組成結(jié)構(gòu)更合理，表現(xiàn)出更優(yōu)良的路用性能。

2 礦料級配設(shè)計

2.1 粗集料逐級填充試驗

對單一粒徑粗集料進(jìn)行逐級填充分析，可得到各檔粒徑材料對混合料整體的影響效果。采取逐級填充的方式對所組成的混合集料進(jìn)行密度試驗，同時參照土工CBR試驗進(jìn)行承載比試驗。以密度與承載比試驗結(jié)果作為評價依據(jù)，得出粗集料內(nèi)部各粒徑集料最優(yōu)比例構(gòu)成。試驗流程見圖1。

由圖1可知：混合料最大密度與最大承載比并未同時出現(xiàn)，若僅以最大密度作為級配設(shè)計最終目標(biāo)，級配各項性能難以達(dá)到最佳狀態(tài)，仍存在較大優(yōu)化空間。

圖1 逐級填充試驗的流程

對試驗確定的8個不同內(nèi)部組成比例的粗集料進(jìn)行編號，通過式(5)分別計算其對應(yīng)的分形維數(shù)，計算結(jié)果見圖2、圖3。

由圖2～3可知：隨著粗集料分形維數(shù)Dc的增加，密度與承載比均呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。推薦粗集料分形維數(shù)取值范圍為1.09～1.388 5。

圖2 密度與Dc的關(guān)系

圖3 承載比與Dc的關(guān)系

2.2 細(xì)集料逐級填充試驗

膠漿理論認(rèn)為，細(xì)集料在瀝青混合料中主要起填充作用，為使細(xì)集料對粗集料骨架間隙填充效果達(dá)到最佳，細(xì)集料內(nèi)部空隙率應(yīng)足夠小。對細(xì)集料進(jìn)行逐級填充試驗，使細(xì)集料達(dá)到最大密實狀態(tài)，并對該狀態(tài)下細(xì)集料內(nèi)部各粒徑分布進(jìn)行分析。試驗流程見圖4。

圖4 細(xì)集料逐級填充試驗的流程

通過細(xì)集料逐級填充試驗，可得到細(xì)集料達(dá)到最大密實狀態(tài)時細(xì)集料各檔的通過率。對各篩孔尺寸與對應(yīng)的通過率取對數(shù)后建立坐標(biāo)系，并進(jìn)行線性擬合，求得其回歸方程為lgP(x)=0.474lgx+1.730 96，相關(guān)系數(shù)R2=0.973，二者之間擬合度較高。根據(jù)式(5)，此時細(xì)集料分形維數(shù)Df=3-kf=2.526 2(kf為細(xì)集料回歸曲線的斜率)。

2.3 粗、細(xì)集料混合比例的確定

控制關(guān)鍵篩孔4.75 mm通過率為30%，將前文所得各粗、細(xì)集料進(jìn)行混合料，得到8組內(nèi)部組成不同的礦質(zhì)混合料。分別對8組混合料進(jìn)行密度與承載比試驗，試驗結(jié)果與其分形維數(shù)計算值D′的關(guān)系見圖5、圖6。

圖5 密度與分維數(shù)D′的關(guān)系

圖6 承載比與分維數(shù)D′的關(guān)系

由圖5、圖6可知：隨著分維數(shù)的增大，密度整體呈現(xiàn)增大趨勢，礦質(zhì)混合料逐漸趨向于密實；承載比整體呈現(xiàn)減小趨勢，混合料骨架作用越來越強(qiáng)。

2.4 最佳瀝青用量的確定

通過馬歇爾試驗確定各組礦質(zhì)混合料的最佳油石比，計算最佳油石比下各檔粒徑集料的通過率及對應(yīng)的分形維數(shù)D，結(jié)果見表1。

表1 最佳油石比下各檔集料通過率及分維數(shù)

3 瀝青混合料的路用性能

3.1 高溫穩(wěn)定性

釆用車轍試驗與單軸貫入試驗對比研究上述瀝青混合料的高溫性能，試驗結(jié)果見表2。動穩(wěn)定度、無側(cè)限破壞荷載與分維數(shù)D的關(guān)系見圖7。

表2 瀝青混合料車轍試驗與貫入試驗結(jié)果

由圖7可知：瀝青混合料動穩(wěn)定度與無側(cè)限破壞荷載的相關(guān)性較好，同一級配動穩(wěn)定度大，則其破壞荷載較高。隨著分維數(shù)D的增大，動穩(wěn)定度及無側(cè)限破壞荷載均小幅下降。究其原因，分維數(shù)D越大，混合料越密實，混合料中粗集料的骨架效應(yīng)降低，表現(xiàn)為瀝青混合料高溫性能小幅下降。

圖7 瀝青混合料級配與高溫穩(wěn)定性指標(biāo)的關(guān)系

3.2 低溫抗裂性

采用小梁彎曲試驗進(jìn)行瀝青混合料低溫穩(wěn)定性研究，試驗結(jié)果見表3。

表3 瀝青混合料低溫彎曲試驗結(jié)果

由表3可知：通過逐級填充試驗所確定的瀝青混合料均具有良好的低溫穩(wěn)定性能，且隨著分維數(shù)D的變化，混合料的低溫性能變化較小。D值較小時，混合料骨架結(jié)構(gòu)較理想；D值較大時，混合料中瀝青膠漿含量較多。因此，不同分維數(shù)的瀝青混合料均表現(xiàn)出良好的抗低溫性能。

3.3 水穩(wěn)定性

水穩(wěn)定性是指瀝青混合料抵抗水損害的能力，常用試驗方法有浸水馬歇爾試驗與凍融劈裂試驗。以浸水馬歇爾試驗評價所設(shè)計瀝青混合料的水穩(wěn)定性，結(jié)果見表4。

表4 瀝青混合料水穩(wěn)定性試驗結(jié)果

由表4可知：各級配瀝青混合料均具有良好的水穩(wěn)定性能，且與分維數(shù)D具有較好的相關(guān)性。隨著D的增加，瀝青混合料的殘留穩(wěn)定度呈上升趨勢。表明混合料中各粒徑集料越密實，其抵抗水損害的能力越強(qiáng)。

4 結(jié)論

(1) 傳統(tǒng)級配設(shè)計方法可采用分形表達(dá)式表征，傳統(tǒng)級配設(shè)計方法均具有分形特征，采用分形理論進(jìn)行瀝青混合料級配設(shè)計具有一定的可行性。

(2) 混合后的粗集料密度最大與承載比最大時對應(yīng)的各粒徑組成比例不盡相同，在級配設(shè)計中僅以最大密度作為設(shè)計目標(biāo)難以使礦質(zhì)級配達(dá)到最優(yōu)，有必要進(jìn)行優(yōu)化。

(3) 粗集料分維數(shù)Dc與密度之間存在良好的相關(guān)性，隨著Dc的增大，集料密度與承載比先增大后減小，推薦粗集料分維數(shù)的取值范圍為1.09～1.388 5；細(xì)集料分維數(shù)Df為2.526 2時，可得到最大密實度的細(xì)集料混合料。

(4) 瀝青混合料的分維數(shù)D與其路用性能之間存在良好的相關(guān)性，進(jìn)一步證明分形理論在級配設(shè)計中的可行性與優(yōu)越性；綜合考慮瀝青混合料各項路用性能，混合料分維數(shù)的取值范圍為2.538～2.550 5。