王小安 李佳偉 黃躍申

1. 上海建工集團股份有限公司 上海 200080；

2. 上海高大結構建造工藝與裝備工程技術研究中心 上海 201114

混凝土布料機是用于進行混凝土出料導向的關鍵設備。在超高層建筑建造過程中布料機構的合理選擇對保證工期與質量尤為重要。隨著超高層建筑工程施工現(xiàn)場工業(yè)化建造方式的不斷發(fā)展，混凝土布料機呈現(xiàn)出新的發(fā)展趨勢和要求，其與整體鋼平臺模架等大型裝備逐漸要求實現(xiàn)一體化，其施工操作也逐漸要求實現(xiàn)智能化[1-3]。

超高層建筑施工過程中，結構頂部通常布置有大型塔機、施工升降機等高出結構施工面的機械設備，對同樣布置在結構頂部的混凝土布料機構而言，為實現(xiàn)高效連續(xù)的混凝土澆筑，其需要具備繞過大型塔機等障礙物實現(xiàn)背面區(qū)域混凝土布料施工的能力。目前常用的豎折臂布料機雖然布料能力強，但避讓障礙物的能力較差，現(xiàn)場常常存在澆筑死角區(qū)域。針對上述問題，有關研究人員提出一種橫折臂混凝土布料機構[4]，它主要由一個可全回轉的基座、水平臂架和連接臂架的關節(jié)組成，連接臂架的關節(jié)平置、轉軸豎直，臂架在水平面內轉動。目前混凝土布料機構的智能化控制技術研究多集中在傳統(tǒng)的豎折臂布料機上[1,5-6]，針對橫折臂布料機構的研究基本空白。為確保橫折臂布料機具有有效的避障能力，有必要將其置于具有大型塔機等障礙物的超高層結構頂部實際環(huán)境中，進行澆筑全覆蓋能力分析。

分支限界法是按照廣度優(yōu)先的方式對解空間（狀態(tài)空間）進行搜索求得最優(yōu)解，對有約束條件的優(yōu)化問題的求解尤為高效[7-10]。因此，在橫折臂布料機構躲避障礙物可行性分析中可應用該方法。

本文針對橫折臂混凝土布料機構，對其躲避障礙的可行性進行理論分析，并基于分支限界法設計高效可行的求解算法，為橫折臂混凝土布料機構智能化控制技術研究提供了理論基礎。

1 橫折臂混凝土布料機構的簡化模型

解決橫折臂混凝土布料機構避障布料問題的關鍵在于橫折臂混凝土布料機構臂架和障礙區(qū)域的相對位置關系分析，因此應首先建立包含表征橫折臂布料機構、結構布料區(qū)域和障礙區(qū)域的位置函數(shù)的數(shù)學模型。

1.1 橫折臂布料機構狀態(tài)函數(shù)

1.1.1 三折臂布料機構的狀態(tài)函數(shù)

為描述橫折臂布料機構的空間布料位置，需建立一個統(tǒng)一坐標系。由于橫折臂各臂節(jié)在同一平面內相對轉動，同時考慮到建筑結構布料區(qū)域和障礙區(qū)域用平面位置描述不影響問題的求解，因此建立一個以橫折臂布料機構的中心（起點）為坐標原點O的平面坐標系，坐標系的x、y軸可參考建筑結構軸線和障礙區(qū)域的位置，以簡化模型的原則確定，如圖1所示。

圖1 橫折臂布料機構數(shù)學模型

在該坐標系中可以唯一確定3節(jié)橫折臂布料機構各臂節(jié)的位置狀態(tài)的一組函數(shù)稱為該橫折臂布料機構的狀態(tài)函數(shù)。橫折臂布料機構有3個臂節(jié)，每個臂節(jié)所在位置可簡化為有向直線段，故橫折臂布料機構的狀態(tài)函數(shù)FL可用一組3條有向線段表示，記為L，如圖1所示。由于各線段是直線，線段的起點為坐標原點，則橫折臂布料機構的3條線段的終點坐標分別為：{(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)}，則線段組L上的點可用式（1）表示：

式中，i＝1時，出現(xiàn)的(x0,y0)為線段L的起點，即原點(0,0)。由于xi－1、xi的相對大小關系不定，為便于推導計算，規(guī)定線段Li的定義域x∈[ximin,ximax]，ximin＝min{xi－1,xi}、ximax＝max{xi－1,xi}。線段定義域在y坐標軸上的，可作相應規(guī)定和推導，下同。定義域所在坐標軸的不同對問題的分析推導沒有本質影響，故下文推導默認各線段的定義域在x坐標軸上。

顯然，通過式（1）的描述，線段組L與這3條線段的終點坐標組成的一組有序點列{(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)}唯一對應，則3節(jié)橫折臂布料機構的狀態(tài)可用這組空間點列表示，即式（2）：

L:{(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)} （2）

另一方面，有向線段可用向量表示，向量的起、終點分別為臂節(jié)的近端、遠端，方向為臂節(jié)的近端指向遠端，單獨考察每個臂節(jié)的向量，可表示為式（3）：

由于現(xiàn)場施工控制中，橫折臂布料機構的臂節(jié)方位角無法精準辨別，而相對于方位角，臂節(jié)之間的角度或轉動關節(jié)的轉角直觀可測，便于直接應用，故橫折臂布料機構的狀態(tài)函數(shù)以臂節(jié)相對轉角的表示形式FL(β1,β2,β3;R1,R2,R3)有更大的參考作用，有利于橫折臂布料機構的數(shù)字化控制。

1.1.2 結構布料區(qū)域位置函數(shù)

建筑結構布料區(qū)域是指建筑施工過程中需要混凝土澆筑的墻、柱等位置，一般來說結構的布置多為直線段。因此在上述坐標系中，可以用同樣的線段表達方式確定建筑結構布料區(qū)域的位置。若建筑結構布料區(qū)域由N條線段組成，則建筑結構布料區(qū)域位置函數(shù)FS(x,y)為式（8）：

1.1.3 障礙區(qū)域位置函數(shù)

建筑結構施工現(xiàn)場一般有塔機和施工升降機等機械設備，施工升降機最高點通常高出作業(yè)面（平臺）3～4 m，可適當提高橫折臂布料機構的高度，以越過施工升降機的高點，而塔機的高差較大，難以采取經濟有效的方法克服，布料機構工作時的障礙一般有施工用的塔吊。

一般地，假設存在某一障礙區(qū)域S，該區(qū)域S邊界Lobs可通過M條線段無限逼近，且M條線段是封閉的，則邊界Lobs可以用M條線段表示。同樣的，由于各線段是直線，邊界Lobs與這V條線段的終點坐標組成的一組有序點列{(x1,y1), ,(xj,yj), ,(xM,yM)}唯一對應。

由于區(qū)域S邊界封閉，第1條線段的起點應是第M條線段的終點，為便于表示和推導分析，在上述有序點列{(x1,y1), ,(xj,yj), ,(xM,yM)}前增加一個點(x0,y0)，并令(x0,y0)＝(xM,yM)，即障礙區(qū)域的邊界表示為一組有序點列〔式（9）〕：

1.2 橫折臂混凝土布料機構避障分析

橫折臂混凝土布料機構能夠避開障礙區(qū)域，幾何上分析即線段組L與障礙區(qū)域S無公共點，其充要條件是線段組L與邊界Lobs各組成線段無公共點，當且僅當邊界Lobs中的所有線段與線段組Li(x)（i＝1,2,3）均無公共點時，認為橫折臂混凝土布料機構可以避開障礙區(qū)域。一般地，先分析線段組Li(x)（i＝1,2,3）與邊界Lobs中任意線段Lobsj的幾何位置情況，然后分析邊界Lobs中所有線段的幾何位置情況。

1.2.1 避開障礙線段

3節(jié)橫折臂布料機構可以避開該障礙線段Lobsj，則線段組L中的每條Li與障礙線段Lobsj不相交，即方程（11）均無解。

方程無解的情況很多，沒有一個可執(zhí)行的通用公式計算，求解難度較大。通過考察線段組Li(x)（i＝1,2,3）和障礙線段Lobsj定義域的關系，可將方程無解的情況總體分為2種：

1）線段組Li(x)（i＝1,2,3）和障礙線段Lobsj無重合的定義域，則方程必然無解。

2）線段組Li(x)（i＝1,2,3）和障礙線段Lobsj有重合的定義域，這種情況下只需驗證定義域重合的線段不相交即可。

這種驗證式的求解方法較為簡單，求解也容易，可大大降低求解難度，提高求解效率。

1.2.2 定義域重合關系判別

針對障礙線段Lobsj對每個線段Li(x)（i＝1,2,3）進行定義域關系分析。由于障礙線段Lobsj定義在x∈[xobsjmin,xobsjmax]上，因此僅需考察每個線段Li(x)（i＝1,2,3）的定義域與[xobsjmin,xobsjmax]的關系即可。記線段Li(x)（i＝1,2,3）中定義域與[xobsjmin,xobsjmax]有交集的線段組成的集合為{L*ij}( {Li(x),i＝1,2,3})，滿足該條件的線段{L*ij}要求其定義域[ximin,ximax]中至少有一點落在區(qū)間[xobsjmin,xobsjmax]內，記該點為x*。根據定義域的定義，可得到式（12）和式（13）：

實際上，式（14）是2個線段定義域重合的判別條件。針對任意的障礙線段Lobsj，通過該式均可以找出所有線段組Li(x)（i＝1,2,3）中與線段Lobsj有重合定義域的線段。而當Li(x)（i＝1,2,3）中不存在滿足式（14）的線段時，則沒有重合定義域，方程式（11）無解。

1.2.3 重合定義域下避障條件

綜上，可以得出橫折臂混凝土布料機構避開障礙區(qū)域的充要條件如下：

在障礙區(qū)域的邊界Lobs中，針對任意的障礙線段Lobsj，橫折臂布料機構的狀態(tài)函數(shù)FL所對應的線段組Li(x)（i＝1,2,3）不滿足式（14）或在滿足式（14）的條件下同時滿足式（15）。

1.3 橫折臂布料機構布料范圍

布料范圍是混凝土布料機構的重要工作性能參數(shù)，一般與布料機構各臂節(jié)長度和臂節(jié)間轉角范圍有關。這里將各臂節(jié)間關節(jié)視為全回轉關節(jié)，即其轉角范圍為（－π,π）。根據向量的模的運算，易得橫折臂布料機構布料距離的上限和下限，得出混凝土布料機構的布料范圍如式（16）所示：

橫折臂布料機構的布料范圍的確定，對橫折臂布料機構的設計有重要意義，在之后的求解過程中作為約束條件，也有劃分解空間的重要作用。結構布料施工時，橫折臂混凝土布料機構臂節(jié)長度參數(shù)已知，其布料范圍可以通過式（16）進一步確定，因此在避障布料問題求解時可以作為已知約束條件加以使用。

1.4 最佳布料狀態(tài)

布料機構在布料作業(yè)時的終端在建筑結構布料區(qū)域位置函數(shù)上，由于3節(jié)橫折臂布料機構的關節(jié)是全回轉的，所以一般情況下，3節(jié)橫折臂布料機構仍有一個自由度，(β1,β2,β3)有無窮多種組合，即橫折臂布料機構的狀態(tài)函數(shù)有無窮多解。引入一個評價函數(shù)記為V(x,y)，衡量在相應位置布料時的橫折臂布料機構的狀態(tài)優(yōu)劣程度，其最佳狀態(tài)下的解即是最優(yōu)解。

結合工程實際，當橫折臂關節(jié)所受的彎矩越大時，橫折臂布料機構的整體安全穩(wěn)定性越差，在橫折臂臂節(jié)長度和質量分布確定的情況下，關節(jié)所受的彎矩與關節(jié)的轉角大小正相關。橫折臂布料機構避障布料的評價函數(shù)可按式（17）選?。?/p>

由表達式可知，該評價函數(shù)的值域為（0,1]，其工程意義在于評價函數(shù)的值越大表示橫折臂布料機構關節(jié)的轉角越小，機械關節(jié)損害越小，整體受力上也更為安全可靠。

2 基于分支限界法的避障布料求解分析

2.1 分支限界法

結合工程實際，模型中的求解目標是驗證橫折臂布料機構在避開障礙的條件下對所有建筑結構布料的能力基礎上，找到每個位置的最佳布料狀態(tài)，式（18）則是最佳布料狀態(tài)的衡量指標。

分支限界法的基本思想是對有約束條件的優(yōu)化問題的所有可行解空間進行搜索。在橫折臂布料機構避障布料問題中，其解是針對所有建筑結構區(qū)域的任意位置找到一組可避開已知障礙區(qū)域的最優(yōu)布料狀態(tài)。

基于上述分析結果，橫折臂布料機構布料范圍、障礙區(qū)域關鍵影響范圍、橫折臂布料機構臂節(jié)角度等約束條件都可構成可行解空間的分割條件。因此相較于窮舉法等傳統(tǒng)算法，在本工程中應用分支限界法求解具有明顯的優(yōu)勢。

2.2 算法求解步驟分析

針對橫折臂布料機構避障布料問題，應用分支限界法的求解流程如圖2所示。結合本工程所具有的約束條件，生成的分支限界算法求解步驟如下：

圖2 算法求解流程

1）初始化數(shù)學模型，對橫折臂布料機構狀態(tài)函數(shù)、障礙區(qū)域函數(shù)、結構布料區(qū)域函數(shù)進行賦值。

① 以橫折臂布料機構的中心（起點）為坐標原點，建立全局平面直角坐標系，將工程實際各臂節(jié)長度值賦值給算法程序中的相應參數(shù)，初始化橫折臂布料機構狀態(tài)函數(shù)FL(β1,β2,β3;R1,R2,R3)。

② 在全局平面直角坐標系下，輸入障礙區(qū)域邊界的角點坐標，初始化障礙區(qū)域位置函數(shù)Lobs(x,y)。

③ 在全局平面直角坐標系下，輸入結構布料區(qū)域各線段端點坐標，初始化結構布料區(qū)域位置函數(shù)FS(x,y)。

2）根據橫折臂布料機構布料范圍條件劃分可行解空間。根據式（16）可知，通過橫折臂布料機構各臂節(jié)長度即可確定該橫折臂布料機構可布料的范圍，因此可將解空間分割為3個子空間，分別為A1、A2、A3，如圖3所示。顯然，子空間A1、A3中無法找到滿足狀態(tài)函數(shù)FL(β1,β2,β3;R1,R2,R3)的解，說明這種情況橫折臂布料機構在該區(qū)域沒有布料能力，子空間A1、A3的評價函數(shù)值為0。

圖3 布料機構布料范圍劃分的解空間

3）根據障礙區(qū)域關鍵影響范圍條件劃分可行解空間。如果相鄰臂節(jié)不共線，臂節(jié)之間存在一定夾角，則在臂節(jié)關節(jié)處會產生一定彎矩和偏心應力，不利于機構的安全和穩(wěn)定性，因此橫折臂布料機構最佳的布料狀態(tài)是所有臂節(jié)共線。將橫折臂布料機構中心點視為光源，如圖4所示，根據障礙區(qū)域是否遮擋光線，將解空間劃分為B1、B2子空間。對于沒有被障礙區(qū)域遮擋的子空間B1，其中的布料位置可與橫折臂布料機構中心點通視，狀態(tài)函數(shù)FL(β1,β2,β3;R1,R2,R3)的求解十分容易，可直接應用評價函數(shù)求解子空間的最優(yōu)解。對于障礙區(qū)域遮擋的陰影部分，橫折臂布料機構不能直線到達這部分區(qū)域位置上布料，這加大了橫折臂布料機構布料難度，子空間B2的評價函數(shù)因障礙區(qū)域的影響難以直接確定，繼續(xù)劃分解空間求解。

圖4 障礙區(qū)域關鍵影響范圍劃分的解空間

4）根據橫折臂布料機構臂節(jié)角度條件分解可行解空間。針對上述子空間B2區(qū)域內的某一布料位置，如圖5所示，尋找橫折臂布料機構可避開障礙的狀態(tài)函數(shù)的最優(yōu)解。臂節(jié)的關節(jié)可全回轉，故每個臂節(jié)角度范圍為（－π,π]。但當布料位置確定后，各臂節(jié)的長度一定，決定了臂節(jié)間關節(jié)角度處在一個有限范圍內。因此可以將解空間繼續(xù)分割優(yōu)化求解。根據三角形的三邊關系定理，第一節(jié)臂節(jié)的終點到布料位置的距離有上下限，因此橫折臂布料機構第一臂節(jié)角度β1（方位角α1）限定在一個范圍。結合子空間B2區(qū)域，根據角度β1的范圍將解空間劃分為4個子空間，分別為C1、C2、C3、C4，如圖5所示。

圖5 布料機構臂節(jié)角度劃分的解空間

5）對分支可行解空間分別求解，并對解進行評價驗證。該層級下各子解空間為末枝子空間，應用評價函數(shù)V對各個解進行評估，最終得出最優(yōu)解。

3 工程算例分析

3.1 工程概況

某超高層建筑采用鋼筋混凝土核心筒-鋼框架結構，其核心筒結構典型平面圖如圖6所示。核心筒結構施工采用整體爬升鋼平臺模架技術，施工用塔機采用內置爬升式M900D型塔機，安裝位置如圖中所示。擬采用3節(jié)橫折臂布料機構進行核心筒結構的混凝土澆筑施工，臂節(jié)長度參數(shù)依次為11、8、6 m，橫折臂布料機構的基座安裝在整體鋼平臺上。

圖6 某超高層建筑核心筒結構典型平面

3.2 計算模型

將上述求解算法采用Matlab軟件進行參數(shù)化編程。以橫折臂混凝土布料機構的基座點為原點建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，提取結構布料區(qū)域和障礙區(qū)域的坐標，將坐標和臂節(jié)長度的參數(shù)輸入Matlab程序進行計算。

3.3 結果分析

通過Matlab程序計算，得到了橫折臂混凝土布料機構避障布料的結果。結果顯示，該臂節(jié)長度組合的布料機構可滿足該建筑核心筒結構的混凝土布料，并且具備避讓障礙的能力。選取部分具有代表性的布料位置（P1ü P10）的最優(yōu)解求解結果，其橫折臂混凝土布料機構的最佳布料狀態(tài)如圖7、圖8所示。從圖中可以看出對于P1ü P10等布料位置，橫折臂混凝土布料機構均可滿足布料要求，而圖中P4、P5、P6在障礙區(qū)域的影響范圍內，其最佳布料狀態(tài)則顯示布料機構的臂節(jié)分別需向障礙區(qū)域的上方、下方轉動。

圖7 P1—P5布料位置的最佳布料狀態(tài)求解結果

結構布料位置（P1ü P10）的評價函數(shù)值如圖9所示。圖中可以看出不同布料位置的最佳布料狀態(tài)不同，各布料位置的評價函數(shù)值均在0.6以上。

圖9 P1—P10布料位置的評價函數(shù)值

通過算例分析結果可以看出，基于分支限界法設計的橫折臂混凝土布料機構避障布料最佳狀態(tài)的求解算法高效可行，對于結構混凝土布料施工具有一定的指導意義。

4 結語

本文基于分支限界算法，對橫折臂布料機的避障可行性進行了分析，主要得到如下結論：

1）通過對橫折臂混凝土布料機構、建筑結構布料區(qū)域、障礙區(qū)域的合理簡化，在平面坐標系下建立了橫折臂混凝土布料機構避障布料的數(shù)學模型，推導了橫折臂布料機構考慮關節(jié)轉角的狀態(tài)函數(shù)。

2）通過對橫折臂布料機構狀態(tài)函數(shù)和障礙區(qū)域邊界函數(shù)的位置關系分析，在線段定義域重合的判別條件的基礎上，推導了橫折臂混凝土布料機構避開障礙區(qū)域的充要條件。

3）結合模型的約束條件，基于分支限界算法，進行了橫折臂布料機構避障布料問題的求解算法設計，并通過工程算例驗證了算法的高效可行。