山東省平度市實驗中學 劉玉鵬

一、數(shù)學化歸思想概述

作為重要的現(xiàn)代數(shù)學思想，化歸思想需要將數(shù)學問題完成由難到易、由繁到簡的處理，整個過程需要完成轉(zhuǎn)化與歸結，因此被稱為化歸。從化歸思想特點來看，包含數(shù)學化、代數(shù)化和計算化。著名的數(shù)學家笛卡爾就曾經(jīng)指出：“把一切問題化歸為代數(shù)問題”，將化歸思想當成解決問題的“萬能方法”。在初中代數(shù)學習中，包含較多細碎知識點，想要在解題中做到熟練運用，還要做到運用化歸思想完成知識方法的不斷轉(zhuǎn)化，從而完成代數(shù)基本建構。

二、化歸思想在初中代數(shù)基本建構中的運用

（一）樹立思想，深化理解

在初中代數(shù)學習中，教師常常會提到化歸思想，但也總是停留在“提到”階段，如在解題時簡單敘述“這道題采用化歸思想解答”，給學生留下了抽象印象，難以真正理解化歸思想。對于學生來講，由于教師未能向?qū)W生充分展示化歸思想與解題規(guī)律的關系，學生較難從中獲得啟示，因此難以樹立化歸思想。教師應在初中代數(shù)教學中指導學生樹立化歸思想，能夠深入理解化歸方法。例如，學習“不等式”的內(nèi)容，針對“利用不等式不同性質(zhì)比較2a與a的大小(a ≠0)”的問題進行講解，不能一味強調(diào)學生對不等式知識的理解和運用，還要引導學生通過思考將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，完成問題嚴密推理，從而加強化歸思想的理解和把握。具體來講，就是可以先要求學生嘗試運用之前學到的知識進行問題解答，學生利用“作差法”，能夠得到：

∵2a>a ∴2a - a>a - a ∴a>0。

（二）加強運用，鍛煉思維

在學生理解化歸思想后，教師還要指導學生加強化歸思想運用，以便得到思維鍛煉，做到熟練運用化歸思想解題。在初中代數(shù)解題中，時常會遇到各種復雜問題，導致學生產(chǎn)生畏懼心理。運用化歸思想訓練學生解題，能夠使學生反復將復雜問題簡化為多個簡單問題，得到思維鍛煉的同時，學會借助化歸思想對復雜題目進行推敲，完成關鍵知識點提煉，繼而順利完成問題解答。例如，求解“實數(shù)a，b 滿足a +b2= 1，求2a2+ 4b2的最小值”這一題，其中包含兩個字母，屬于二元問題。運用化歸思想，可以得到：

∵a + b2= 1∴b2= 1- a∵2a2+ 4b2= 2a2+4(1- a)= 2(a - 1)2+ 2。 ∵a= 1- b2≦1∴a= 1時，2a2+ 4b2最小，取值為2。在進行代數(shù)多元問題求解時，要求學生根據(jù)題目結構特征對元與元關系展開分析，學生可以學會將問題化歸為一元問題。除了用于求解簡單多元方程，化歸思想也能用于求解高次方程，使方程轉(zhuǎn)化為低次。因此在鍛煉學生化歸思維時，可以引入這類方程。例如，“已知方程x3+(a + 17)x2+(38- a)x - 56= 0，兩根為大于2的連續(xù)整數(shù)，求a值和方程根”這一問題屬于三次方程，學生剛接觸容易感到無從下手。運用化歸思想進行分析，可以發(fā)現(xiàn)各項系數(shù)和為0，原方程的根為1。而在方程中，只需要對x - 1 因子進行提煉就能轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，解題如下：

∵x3+(a + 17)x2+(38- a)x - 56

=(x - 1)[x2+(a + 18)x + 56]

= 0

又∵方程x2+(a + 18)x + 56= 0 的根為比2 的連續(xù)整數(shù)，假設分別為x1和x2，假設x2= x1+ 1

∴x1+(x1+ 1)=-(a + 18)，x1(x1+ 1)= 56

∴x1= 7，a=-33，x2= 8，為原方程三個根。

反復指導學生運用化歸思想解題，能夠使學生完成從模仿到自主思考的過渡，使化歸思想得以融入學生知識體系中，成為學生解題的重要手段。習慣運用化歸思想思考問題，能夠使學生做到有序思考，解題時迅速找到思路。

（三）引導反思，建構模型

經(jīng)過一段時間的代數(shù)學習，學生基本可以形成運用化歸思想將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，憑借已經(jīng)掌握的知識求解問題。在此基礎上，教師需要引導學生進行反思，總結化歸思想主要用于哪些問題求解。但化歸思想作為將一種狀況向另一種狀況轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，并非僅僅停留在復雜問題簡化層面。教師適時提出“將一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題”的化歸思想，能夠拓展學生的思維，最終對化歸思想產(chǎn)生全面理解，完成代數(shù)化歸模型的建構，繼而為代數(shù)學習奠定扎實基礎。例如，教師可以要求學生求解“(20192+ 4)/(20212+ 20172)”這一問題，題目中擁有特殊數(shù)字，按照常規(guī)方法求解需要完成復雜運算。但運用化歸思想，可以利用字母x 對數(shù)字進行表示，根據(jù)三個數(shù)字關系進行題目重新整理，得到：

假設x= 2019，則2017= x - 2，2021= x + 2，

(20192+ 4)/(20212+ 20172)

=(x2+ 4)/[(x + 2)2+(x - 2)2]

=(x2+ 4)/2(x2+ 4)

= 1/2

通過題目求解，學生能夠從中獲得啟示，發(fā)現(xiàn)化歸思想也可以用于對代數(shù)問題進行特殊化處理，從而簡化題目求解過程，直接獲得結果。在初中代數(shù)學習階段，許多問題如果采用常規(guī)方法需要完成復雜運算，都可以運用化歸思想進行處理，以便使解題效率得到提高。

三、結語

在初中代數(shù)教學中，教師還應逐步實現(xiàn)化歸思想滲透，促使學生逐步完成代數(shù)基本建構。在實踐教學中，教師將化歸思想與代數(shù)問題求解充分融合，能夠幫助學生理解化歸思想，并在解題鍛煉中得到思維鞏固，最后通過反思得到思維拓展，做到靈活運用化歸思想學習代數(shù)。