劉 翠，周 偉

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070)

混沌系統(tǒng)是一種確定性的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，它看起來(lái)是無(wú)序和隨機(jī)的[1].混沌理論的起源可以追溯到Lorenz[2]對(duì)天氣預(yù)報(bào)系統(tǒng)的研究.從數(shù)學(xué)上講，混沌指的是一種非常特殊的不可預(yù)測(cè)性對(duì)初始條件非常敏感的確定性行為.混沌動(dòng)力系統(tǒng)初始條件的微小變化可能會(huì)導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)行為的巨大變化.在過(guò)去的幾十年中，人們研究了博弈模型的非線性動(dòng)力學(xué)和混沌行為，在不同的情況下取得了顯著的成果[3].尤其在金融領(lǐng)域，人們已經(jīng)采用混沌理論使他們的預(yù)測(cè)更有經(jīng)驗(yàn)上的魯棒性[4].此外，一些研究人員對(duì)供應(yīng)鏈的混沌行為、決策、排隊(duì)系統(tǒng)等也進(jìn)行了研究[5].

許多經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)是動(dòng)態(tài)的.從Katz等[6]開(kāi)始，人們對(duì)網(wǎng)絡(luò)外部性相關(guān)的問(wèn)題進(jìn)行了一系列的研究，網(wǎng)絡(luò)外部性是指一個(gè)產(chǎn)品用戶對(duì)另一個(gè)人的產(chǎn)品價(jià)值的影響[7].當(dāng)產(chǎn)品對(duì)消費(fèi)者的好處隨著相同或兼容產(chǎn)品的用戶數(shù)量的增加而增加時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生這種效果[8].在軟件市場(chǎng)上，由于文件兼容性、可移植性、經(jīng)驗(yàn)共享和各種應(yīng)用軟件程序的可用性，可以廣泛觀察到網(wǎng)絡(luò)外部性[7].

在實(shí)際環(huán)境中，軟件公司發(fā)布不同質(zhì)量產(chǎn)品的多個(gè)版本.“質(zhì)量差異”一詞是指任何軟件在總功能上的差異.例如，Adobe公司發(fā)行了PDF文件閱讀器軟件的兩個(gè)版本，即Adobe reader和Adobe acrobat[6].Adobe acrobat是一個(gè)高質(zhì)量的版本，與低質(zhì)量的對(duì)應(yīng)產(chǎn)品Adobe reader相比，它具有更多的功能.Adobe reader已經(jīng)發(fā)布，以吸引更多的消費(fèi)者.提供低質(zhì)量的版本有利于建立更大的網(wǎng)絡(luò)，從而提高高質(zhì)量版本的網(wǎng)絡(luò)效用[7].與高質(zhì)量的軟件相比，低質(zhì)量的版本更便宜，甚至是免費(fèi)的.在一定條件下，低質(zhì)量版本的發(fā)行可以促進(jìn)高質(zhì)量版本的銷售[5].本文分析網(wǎng)絡(luò)外部性存在下軟件市場(chǎng)演化的動(dòng)力學(xué)過(guò)程的目的，在于驗(yàn)證在具有網(wǎng)絡(luò)外部性的軟件市場(chǎng)中，低質(zhì)量版本軟件產(chǎn)品的發(fā)布可能導(dǎo)致的市場(chǎng)混沌現(xiàn)象.

1 模型構(gòu)建

假設(shè)本文所建立的是一個(gè)完全壟斷市場(chǎng)演化模型，在這個(gè)模型中，壟斷廠商提供了同一類軟件產(chǎn)品的兩種不同質(zhì)量版本的產(chǎn)品，即低質(zhì)量版本的產(chǎn)品A和高質(zhì)量版本的產(chǎn)品B.低質(zhì)量版本通常是為了吸引消費(fèi)者而生產(chǎn)的，它們的創(chuàng)建也是為了促進(jìn)高質(zhì)量版本的銷售，這就是為什么他們以較低的價(jià)格提供或免費(fèi)提供[5].

在本研究中，低質(zhì)量版本A在時(shí)間段t的市場(chǎng)份額用x(t)表示，而高質(zhì)量版本B的市場(chǎng)份額用y(t)表示，并且其中x(t)+y(t)≤2.消費(fèi)者從低質(zhì)量版本產(chǎn)品A和高質(zhì)量版本產(chǎn)品B中獲取的總效用分別為

U1(t)=M1(t)+I1,U2(t)=M2(t)+I2.

其中：Ii為消費(fèi)者從軟件產(chǎn)品i(i=1,2)中獲得的內(nèi)在效用，它是用戶從產(chǎn)品自身固有的特性中獲取的，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在此，本文假定消費(fèi)者從產(chǎn)品中獲得的內(nèi)在效用和質(zhì)量是相等的[7]；Mi(t)為消費(fèi)者從軟件產(chǎn)品i(i=1,2)中獲得的網(wǎng)絡(luò)效用，它是由軟件產(chǎn)品的網(wǎng)絡(luò)外部性產(chǎn)生的，并且會(huì)隨著產(chǎn)品用戶數(shù)量的增加而增加.因?yàn)榈唾|(zhì)量版本產(chǎn)品受到的網(wǎng)絡(luò)外部性的影響不是很強(qiáng)烈，因此假設(shè)顧客從低質(zhì)量版本產(chǎn)品A中獲得的的網(wǎng)絡(luò)效用與產(chǎn)品的質(zhì)量成正比，從高質(zhì)量版本產(chǎn)品B中獲得的網(wǎng)絡(luò)效用只與其網(wǎng)絡(luò)規(guī)模有關(guān)，并且高質(zhì)量版本產(chǎn)品的網(wǎng)絡(luò)外部性強(qiáng)度高于低質(zhì)量版本產(chǎn)品的[7].假設(shè)低質(zhì)量版本產(chǎn)品A的網(wǎng)絡(luò)外部性系數(shù)為θ1(I1/I2)，而高質(zhì)量版本產(chǎn)品B的網(wǎng)絡(luò)外部性系數(shù)為θ2，并且θ2>θ1>0.信息產(chǎn)品有一個(gè)突出的特點(diǎn)就是具有兼容性，因此信息產(chǎn)品的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模與產(chǎn)品兼容性系數(shù)有關(guān)，在此用α∈[0,1]來(lái)表示高質(zhì)量版本產(chǎn)品和低質(zhì)量版本產(chǎn)品之間的兼容性系數(shù)，α=0表明兩個(gè)版本的產(chǎn)品是完全兼容的，α=1表明兩個(gè)版本的產(chǎn)品是完全不兼容的[7].因此

M1(t)=θ1(I1/I2)(x(t)+αy(t)),M2(t)=θ2(αx(t)+y(t)).

考慮在具有網(wǎng)絡(luò)外部性的信息產(chǎn)品市場(chǎng)中,消費(fèi)者除了能從購(gòu)買產(chǎn)品中獲得基本效用之外，還能獲得與產(chǎn)品網(wǎng)絡(luò)規(guī)模相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)效用，消費(fèi)者根據(jù)其購(gòu)買產(chǎn)品所獲凈效用制定其購(gòu)買決策[10].因此，根據(jù)上述分析將市場(chǎng)份額演化的過(guò)程定義為如系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)模型

(1)

其中:γ1>0和γ2>0分別表示低質(zhì)量版本產(chǎn)品A和高質(zhì)量版本產(chǎn)品B的市場(chǎng)演化速度;Q>0為所有消費(fèi)者的總數(shù)量;ν1∈(0,1)和ν2∈(0,1)分別表示在每一個(gè)時(shí)間段內(nèi)消費(fèi)者放棄使用低質(zhì)量版本產(chǎn)品A和高質(zhì)量版本產(chǎn)品B的比例[7].

2 穩(wěn)定性分析

為了求上述動(dòng)力學(xué)模型的不動(dòng)點(diǎn)，令

(2)

由此得到系統(tǒng)(1)的兩個(gè)均衡點(diǎn)

均衡點(diǎn)E1和E2稱為邊界均衡點(diǎn)，是一個(gè)壟斷均衡解[9].由穩(wěn)定性理論，為了研究均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，可以通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)(模型)的Jacobi矩陣來(lái)分析[9].計(jì)算系統(tǒng)(1)在任意點(diǎn)的Jacobi矩陣為

(3)

其中：

J11=1-2γ1θ1(I1/I2)x-γ1(1+α)θ1(I1/I2)y+Qγ1θ1(I1/I2)-γ1I1-ν1;

J12=-2γ1αθ1(I1/I2)y-γ1(1+α)θ1(I1/I2)x+Qγ1αθ1(I1/I2)-γ1I1;

J21=-2γ2αθ2x-γ2(1+α)θ2y+Qγ2αθ2-γ2I2;

J22=1-2γ2θ2y-γ2(1+α)θ2x+Qγ2θ2-γ2I2-ν2.

證明：將均衡點(diǎn)

代入式(3)，得到

J1=J(E1)=

(4)

其中:A=γ1[αI1θ2-I2θ1(I1/I2)];B=αν1θ2;C=Qγ1θ1(I1/I2);D=Qγ2θ2.

對(duì)應(yīng)的特征方程為

P(λ)=λ2-Tr(J1)λ+Det(J1)=0,

(5)

這里Tr(J1)表示均衡點(diǎn)E1處的跡；Det(J1)表示均衡點(diǎn)E1處的行列式。其中：

(6)

(7)

因此

(8)

(9)

(10)

證明：將均衡點(diǎn)

代入式(3)，得到

J2=J(E2)=

(11)

其中:M=γ2[I1θ2-I2αθ1(I1/I2)];N=αν2θ1(I1/I2).

對(duì)應(yīng)的特征方程為

P(λ)=λ2-Tr(J2)λ+Det(J2)=0,

(12)

這里Tr(J2)表示均衡點(diǎn)E2處的跡;Det(J2)表示均衡點(diǎn)E2處的行列式.其中:

(13)

(14)

3 數(shù)值模擬

上一節(jié)對(duì)系統(tǒng)的均衡點(diǎn)進(jìn)行了分析，在這一部分，本文主要討論系統(tǒng)在不同參數(shù)范圍下的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，利用雙參數(shù)分岔圖、單參數(shù)分岔圖及對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖、吸引盆等工具來(lái)研究其動(dòng)力學(xué)特性[9].在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)和壟斷環(huán)境下，由于網(wǎng)絡(luò)外部性的影響導(dǎo)致低質(zhì)量版本信息的產(chǎn)品市場(chǎng)混亂，因此本文主要將低質(zhì)量版本信息產(chǎn)品A的各項(xiàng)參數(shù)作為主要研究對(duì)象，研究其動(dòng)力學(xué)行為.

3.1 參數(shù)γ1和I1對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

本文希望低質(zhì)量版本信息產(chǎn)品A的調(diào)整速度γ1具有一個(gè)穩(wěn)定變化的趨勢(shì)，對(duì)始于穩(wěn)定參數(shù)空間區(qū)域的值，隨著調(diào)整速度的增加，會(huì)失去其穩(wěn)定性[9]，而且對(duì)于所構(gòu)建的壟斷系統(tǒng)模型，低質(zhì)量版本信息產(chǎn)品A的內(nèi)在效用的相關(guān)值會(huì)產(chǎn)生一定的分岔，基于以上分析，為討論低質(zhì)量版本產(chǎn)品A調(diào)整速度γ1和內(nèi)在效用I1的變動(dòng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，設(shè)定參數(shù)：I2=0.200 2，ν1=0.622 4，v2=0.622 4，Q=2，α=0.333 3，γ2=0.672 7，θ1=0.393 5，θ2=1.627 5，研究參數(shù)γ1和I1對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，如圖1所示.

圖1呈現(xiàn)了系統(tǒng)在參數(shù)空間(γ1,I1)的雙參圖，其中：1為深灰色；2為灰白色；4為淺灰色.深灰色區(qū)域表示穩(wěn)定域，當(dāng)(γ1,I1)的取值在這個(gè)區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)將趨于一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)；灰白色區(qū)域表示二周期區(qū)域，淺灰色區(qū)域表示四周期區(qū)域等等.

圖1 系統(tǒng)在參數(shù)空間(γ1,I1)的二維分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram of the system in the parameter space (γ1,I1)

圖2是在圖1參數(shù)下關(guān)于γ1的單參圖以及最大Lyapunov指數(shù)圖.

圖2 系統(tǒng)(1)關(guān)于γ1的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.2 Bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent of the γ1 in system (1)

由圖2可以看出，當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)小于0時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)γ1≥0.647 9時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)開(kāi)始出現(xiàn)大于0的情況，并且包含有部分小于0的瞬時(shí)情況，其中當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)大于0的時(shí)候，系統(tǒng)處于一個(gè)混沌狀態(tài)，而小于0的時(shí)候，意味著系統(tǒng)出現(xiàn)了周期窗口.

圖3是在圖1參數(shù)下關(guān)于I1的單參圖以及最大Lyapunov指數(shù)圖.由圖3可以看出，當(dāng)I1≥0.552 3時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)開(kāi)始出現(xiàn)大于0的情況，并且也包含有極少部分小于0的情況，其中最大Lyapunov指數(shù)大于0的情況對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的混沌狀態(tài)，而小于0的情況代表著系統(tǒng)出現(xiàn)了周期窗口.

基于以上數(shù)值模擬分析，可以看出在壟斷模式下，當(dāng)?shù)唾|(zhì)量版本信息產(chǎn)品的調(diào)整速度或低質(zhì)量版本信息產(chǎn)品質(zhì)量都較小時(shí)，市場(chǎng)會(huì)穩(wěn)定一些，而當(dāng)其調(diào)整速度或內(nèi)在效用逐漸增大時(shí)，會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)版本信息產(chǎn)品的市場(chǎng)份額發(fā)生周期變化，甚至出現(xiàn)混沌狀態(tài)[7].

3.2 參數(shù)ν1和α對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

這一小節(jié)，本文討論每一時(shí)間段內(nèi)消費(fèi)者放棄使用低質(zhì)量版本產(chǎn)品A的比例和兩個(gè)版本之間的兼容性的變動(dòng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，假定其他參數(shù)固定：I1=0.244 3，I2=0.579 6，ν2=0.000 016 20，Q=2，γ1=0.612 9，γ2=0.612 9，θ1=0.314 0，θ2=1.776 7，研究參數(shù)ν1和α對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

圖3 系統(tǒng)(1)關(guān)于I1的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.3 Bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent of the I1 in system (1)

圖4展示了系統(tǒng)在參數(shù)空間(ν1,α)的雙參圖，其中：2為灰白色；4為淺灰色；8為深灰色.灰白色區(qū)域表示二周期區(qū)域，淺灰色區(qū)域表示四周期區(qū)域，深灰色區(qū)域表示八周期，黑色表示逃逸區(qū)域.

圖5是在圖4參數(shù)下關(guān)于ν1的單參圖以及最大Lyapunov指數(shù)圖.當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)小于0時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)ν1≥0.268 9時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)開(kāi)始出現(xiàn)大于0的情況，并且包含有小于0的瞬時(shí)情況，此時(shí)最大Lyapunov指數(shù)大于0意味著系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，小于0意味著系統(tǒng)出現(xiàn)了周期窗口.

圖6是在圖4參數(shù)下關(guān)于α的單參圖以及最大Lyapunov指數(shù)圖.

圖4 系統(tǒng)在參數(shù)空間(ν1,α)的二維分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of the system in the parameter space (ν1,α)

圖5 系統(tǒng)(1)關(guān)于ν1的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.5 Bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent of the ν1 in system (1)

由圖6可以看出，當(dāng)α≥0.337 1時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)開(kāi)始出現(xiàn)大于0的情況，同樣也包含有極少部分小于0的情況，其中最大Lyapunov指數(shù)大于0的時(shí)候意味著系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，而當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)小于0的時(shí)候意味著系統(tǒng)出現(xiàn)了周期窗口.在其他參數(shù)固定不變時(shí)，隨著低質(zhì)量版本信息產(chǎn)品A的每一時(shí)間段內(nèi)消費(fèi)者放棄使用低質(zhì)量版本產(chǎn)品A比例ν1和兩個(gè)版本之間的兼容性系數(shù)α足夠大時(shí)，系統(tǒng)將出現(xiàn)奇異吸引子[7].

圖7是在固定參數(shù)：I1=0.244 3，I2=0.579 6，ν2=0.000 016 20，Q=2，γ1=0.612 9，γ2=0.612 9，θ1=0.314 0，θ2=1.776 7，隨著參數(shù)ν1和α的增大奇異吸引子的演化及吸引盆的變化，其中吸引盆的灰白色部分表示吸引子的吸引域，深灰色部分表示吸引子的逃逸區(qū)域.

圖6 系統(tǒng)(1)關(guān)于α的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.6 Bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent of the α in system (1)

圖7 吸引子的演化及其吸引盆Fig.7 Evolution of attractor and its basin of attraction

以上數(shù)值模擬結(jié)果表明，在壟斷模式下，當(dāng)?shù)唾|(zhì)量版本信息產(chǎn)品被放棄的比例越多或低質(zhì)量版本信息產(chǎn)品A和高質(zhì)量版本產(chǎn)品B兩者兼容性都逐漸增大時(shí)，高質(zhì)量版本信息產(chǎn)品B的市場(chǎng)份額會(huì)逐漸減少，接下來(lái)可能造成兩個(gè)版本信息產(chǎn)品的市場(chǎng)份額發(fā)生倍周期分岔現(xiàn)象，甚至出現(xiàn)混沌狀態(tài)[7].當(dāng)完全壟斷市場(chǎng)提供的信息產(chǎn)品之間的兼容性較小時(shí)，廠商更愿意提供低質(zhì)量版本的產(chǎn)品[7].

4 結(jié)語(yǔ)

本文在離散時(shí)間下，建立了一個(gè)具有網(wǎng)絡(luò)外部性的完全壟斷市場(chǎng)演化模型，分析了模型均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，著重討論了低質(zhì)量版本信息產(chǎn)品在網(wǎng)絡(luò)外部性條件下各項(xiàng)參數(shù)對(duì)產(chǎn)品市場(chǎng)份額的影響，并且對(duì)不同參數(shù)下的雙參圖、分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)、奇異吸引子以及吸引盆進(jìn)行了分析.研究表明，在競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中低質(zhì)量版本的信息產(chǎn)品的發(fā)布可能會(huì)促進(jìn)高質(zhì)量版本信息產(chǎn)品的銷量，但也有可能造成市場(chǎng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，因此廠商在提供低質(zhì)量版本信息產(chǎn)品時(shí)，一定要謹(jǐn)慎設(shè)計(jì)其質(zhì)量，既要滿足消費(fèi)者的基本需求，也要避免引起市場(chǎng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象[7].