楊 瑋，吳瑩瑩，王 婷

陜西科技大學 機電工程學院，西安 710021

子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)（Shuttle-Carrier Storage and Retrieval System，SCS/RS）作為一種典型的模塊化密集倉儲系統(tǒng)，其提升機和穿梭車獨立運動且配合作業(yè)，等待時間少，與傳統(tǒng)自動化立體倉庫相比，更為靈活高效。“精益物流”要求企業(yè)以最小的投入得到最大的產出，研究SCS/RS的資源配置問題，能夠在建設初期減少浪費，降低企業(yè)的物流成本，提高倉儲系統(tǒng)的社會效益和經濟效益，為加快企業(yè)進行轉型升級提供可靠的方案。

系統(tǒng)資源配置是一個典型的多目標優(yōu)化問題，大多數(shù)研究考慮了倉儲布局、貨架配置或運行設備數(shù)量優(yōu)化。優(yōu)化目標主要有系統(tǒng)效率、系統(tǒng)成本等。馬文凱等[1]以系統(tǒng)分揀效率和訂單揀選時間為性能評估參數(shù)，建立了單任務周期下系統(tǒng)配置優(yōu)化模型，并設計進化算法求解模型。楊朋等[2]針對多載具自動化立體倉庫，以最小化存取貨作業(yè)行程時間為目標建立貨位分配模型，并設計混合遺傳算法對其進行求解。陳璐等[3]提出整數(shù)規(guī)劃模型解決物料動態(tài)儲位的問題，設計兩階段的啟發(fā)式算法求解，并采用禁忌搜索算法進行改進，實例驗證該模型可以提高堆垛機的利用率和倉儲空間的利用率。

蔡安江等[4-5]建立了堆垛機調度模型，以堆垛機執(zhí)行任務所需總時間為評價指標，另外還建立了適合同端式出入庫立體倉庫的多目標貨位分配模型，并設計多目標遺傳算法，仿真結果表明該算法性能優(yōu)越。魯建廈等[6]針對SCS/RS 的復合作業(yè)三維路徑規(guī)劃問題，考慮碳排放成本和設備作業(yè)時間建立了多目標數(shù)學模型，并設計了混合智能水滴求解模型，仿真結果表明該算法性能較好。歐陽永強等[7]針對堆垛機式立體倉庫，考慮堆垛機的加減速過程，建立以能耗、平均吞吐時間和成本為目標的多目標優(yōu)化模型，并采用非支配排序遺傳算法進行求解，得到的解集為系統(tǒng)設計參數(shù)。周奇才等[8]建立了多層穿梭車倉儲系統(tǒng)仿真模型，分析了單命令周期和雙命令周期下如何配置多穿系統(tǒng)倉庫，使得穿梭車與提升機效率匹配，避免設備冗余。但該方法未考慮穿梭車換層作業(yè)。陳國真[9]針對多層穿梭車系統(tǒng)，建立了以總出庫時間最小為目標的配置優(yōu)化模型，得到的結果可以為企業(yè)安排穿梭車數(shù)量提供理論依據(jù)。Borovin?ek等[10]提出了一種用于SBS/RS設計的多目標優(yōu)化模型。該模型綜合考慮了平均吞吐時間的最小化與系統(tǒng)能耗。

現(xiàn)有文獻中，針對子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)的研究集中在調度路徑優(yōu)化和性能評估方面。Marchet等[11]提出了一個開放排隊網絡模型來估計SCS/RS 績效指標（行程時間和等待時間），通過仿真驗證了該模型的有效性。Tappia等[12]開發(fā)了一個排隊網絡模型，用于估計單層穿梭車和多層穿梭車系統(tǒng)的性能。仿真結果表明，多層系統(tǒng)中使用專用穿梭車有利于提高系統(tǒng)的性能。Zou等[13]使用Fork-Join排隊網絡方法（Fork-Join Queueing Network，F(xiàn)JQN），基于提升機和穿梭車的并行處理策略對SCS/RS 進行了建模，并通過一種近似排隊網絡方法來評估系統(tǒng)性能。仿真結果顯示，當系統(tǒng)中的層數(shù)小于10 時，并行處理策略的性能將達到最佳。Lerher 等[14-15]建立了行程時間模型，考慮了提升機和穿梭車運行特性，如加速、減速以及最大運行速度。隨后的研究針對單命令周期和雙命令周期提出了行程時間模型，以估計系統(tǒng)中平均行程時間。所提出的雙深位穿梭車系統(tǒng)的優(yōu)點是需要的通道更少，從而可以更有效地利用地面空間。程飛[16]提出了子母車分離調度策略，在出庫策略方面考慮縮短訂單間隔以及增加緩沖區(qū)等，通過實際案例驗證了該優(yōu)化調度策略提高了系統(tǒng)效率。

由上述文獻可知，雖然部分文獻研究了子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)的資源配置，但多為單目標優(yōu)化，或只研究了簡單的單命令周期，而且模型中未考慮穿梭車的跨層作業(yè)。由于子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)作業(yè)過程的復雜性，上述研究成果難以應用到子母式穿梭車密集倉儲系統(tǒng)的優(yōu)化配置上。

本文從集成優(yōu)化的角度對子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)的配置問題進行研究，考慮穿梭車跨層作業(yè)以及設備能耗成本，以最小化平均吞吐時間和成本為目標，建立多目標優(yōu)化模型，采用帶精英保留策略的非支配排序遺傳算法進行求解，得到的Pareto解集可為企業(yè)選用資源配置方案提供參考。

1 問題描述及基本假設

子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)的配置優(yōu)化主要是在滿足企業(yè)對吞吐能力要求的情況下，進行合理的資源配置，使得成本最小化，吞吐效率最大化。在SCS/RS中，提升機和子母穿梭車同時獨立運動，配合完成貨物的存取作業(yè)。圖1 為SCS/RS 示意圖，坐標原點為系統(tǒng)I/O 站臺，X軸為子車行走方向（貨架排方向），Y軸為母車行走方向（貨架列方向），Z軸為提升機垂直運動方向（貨架層方向），以此建立空間直角坐標系。

圖1 SCS/RS示意圖

本文主要考慮如何建立考慮吞吐效率和成本的多目標優(yōu)化模型，對于吞吐時間模型部分，不同復合作業(yè)形式以及設備配置情況，都會影響系統(tǒng)的吞吐時間。對于成本模型而言，設備在不同運動狀態(tài)下的能耗也不同。因此，本文給出子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)的雙目標優(yōu)化模型。該模型的優(yōu)化目標是最小化平均吞吐時間和成本，決策變量為貨架規(guī)格參數(shù)（單元貨架數(shù)量、層、列、排）和設備的運行參數(shù)。由這些決策變量確定系統(tǒng)的配置參數(shù)，即貨架的規(guī)格以及設備選型。

為了研究方便又不失一般性，本文提出如下假設：

（1）貨物提升機的升降臺初始位置為I/O站臺，子母穿梭車初始位置為層I/O 點，任務結束后二者需回歸初始位置；

（2）穿梭車提升機的升降臺初始位置位于最底層的巷道末端，每次輸送穿梭車作業(yè)完成后，停留在當前位置點，等待執(zhí)行下次任務；

（3）提升機和穿梭車每次只能裝載單個貨物，且其運行速度不受裝載貨物影響；

（4）提升機和子母車均存在加（減）速度且加（減）速度為定值，同一個設備的加速度與減速度數(shù)值大小相等；

（5）立體倉庫存儲策略采用隨機存儲，即每個貨位執(zhí)行出入庫作業(yè)的概率相同；

（6）貨架尺寸足夠使設備達到最大速度，貨格間隙忽略不計。

子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)適合存放輕型貨物，加上提升機和穿梭車的抗沖擊性較好，因此其加速度變化忽略不計，可看作是定值。設備先做勻加速運動，達到最大速度時做勻速運動，接著做勻減速運動直至停止，其速度時間關系如圖2所示[17]。

圖2 設備運動速度-時間關系圖

根據(jù)Borovin?ek 等人[10]的研究，當立體倉庫采用隨機存儲策略時，輸送設備的位移及時間可通過概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)計算。原點到隨機點之間的單程位移可通過式（2）和式（3）計算，隨機兩點之間的兩目標間位移可通過式（4）和式（5）計算。

2 數(shù)學建模

子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)的資源配置優(yōu)化主要考慮兩方面，分別是系統(tǒng)吞吐能力的最大化和系統(tǒng)成本最小化。系統(tǒng)吞吐能力通常用平均吞吐時間來衡量，而系統(tǒng)成本應包括原始投資成本和后期使用過程中系統(tǒng)能耗引起的耗電成本。二者存在“效益背反”關系，但通過建立多目標優(yōu)化模型，可以找到一個均衡點，使二者都達到最優(yōu)狀態(tài)?；趥}儲貨架參數(shù)和設備參數(shù)，設置13個決策變量，建立的目標模型如下

其中，X為通用決策變量，L為貨架層數(shù)，C為貨架列數(shù)，R為貨架排數(shù)，N為貨架數(shù)量，S為子母穿梭車成套數(shù)量，vA為貨物提升機最大速度，aA為貨物提升機加速度，vB為穿梭車提升機速度，aB為穿梭車提升機加速度，vx為子車最大速度，ax為子車加速度，vy為母車最大速度，ay為母車加速度，Xl為變量范圍的下限，Xu為變量范圍的上限。

2.1 基本參數(shù)

基本參數(shù)如表1所示。

表1 基本參數(shù)

2.2 最小化平均吞吐時間TSCS/RS

2.2.1 貨物提升機執(zhí)行任務時間

提升機在執(zhí)行復合作業(yè)時，步驟如下：①貨物提升機執(zhí)行入庫指令，載著待入庫貨物從I/O 站臺出發(fā)至入庫層I/O點，將貨物釋放至緩存區(qū)；②執(zhí)行出庫指令，從入庫層I/O 點運行至出庫層I/O 點；③載著待出庫貨物由出庫層I/O 點回到I/O 站臺，此時單次復合作業(yè)任務完成。提升機執(zhí)行一次復合作業(yè)如圖3所示，提升機作業(yè)時間模型計算應包括兩段單程時間①和③，一段兩目標間行程時間②，以及四段貨物提升機搬運/釋放貨物時間：

圖3 提升機作業(yè)示意圖

2.2.2 子母穿梭車執(zhí)行任務時間

穿梭車在執(zhí)行復合作業(yè)模式時，需要考慮存取貨物位置以及穿梭車配置，分為單層作業(yè)和跨層作業(yè)四種子情況，即M1、M2、M3和M4，如圖4所示。

圖4 復合作業(yè)模式分析

由概率論基本公式，待入庫貨物與待出庫貨物同層的概率P1=S/L，作業(yè)層有穿梭車的概率P2=S/L，則子母穿梭車在不同復合作業(yè)模式下執(zhí)行指令的概率分別為P(M1)=P1×P2,P(M2)=P1×(1-P2),P(M3)=(1-P1)×P2,P(M4)=(1-P1)×(1-P2),可以得出每套子母穿梭車執(zhí)行一次復合作業(yè)任務的平均行程時間TSC為：

（1）M1模式

此模式下，待入庫貨物與待出庫貨物同層且該層有穿梭車，此時為單層作業(yè)，子母穿梭車的平均行程時間模型為：

式中，TS-y為母車單程行駛時間，TB-y為母車兩目標間行駛時間，TS-x為子車單程行駛時間。

（2）M2模式

此模式下，待入庫貨物與待出庫貨物同層，但該層沒有穿梭車，需提前進行穿梭車的預換層作業(yè)，此時為跨層作業(yè)。由以往研究可知，單次復合作業(yè)時，穿梭車的行駛時間大于同時作業(yè)的穿梭車提升機行駛時間[8]，即當子母車換層到層I/O點時，提升機早已到達，因此換層作業(yè)不單獨計算穿梭車提升機從上一任務結束位置到下一任務目標層巷道末端點的行駛時間。子母穿梭車換層作業(yè)的平均行程時間TSC-change模型如式（11），該模式下子母穿梭車的平均行程時間模型如式（12）：

式中，TB-liftB為穿梭車提升機兩目標間行駛時間，即從穿梭車所在層巷道末端到目標作業(yè)層巷道末端的行駛時間。

（3）M3模式

此模式下，待入庫貨物與待出庫貨物分布在不同層，但入庫層有子母穿梭車。此時為跨層作業(yè)模式，預期行程時間模型應計算四段母車單程行駛時間，四段子車單程行駛時間以及一段穿梭車兩目標間行駛時間，還有四次母車裝卸子車的時間、四次子車裝卸貨物的時間以及兩次穿梭車提升機裝卸子母車的時間。

（4）M4模式

此模式下，待入庫貨物與待出庫貨物分布在不同層，且作業(yè)層沒有穿梭車，此時的跨層作業(yè)需要在M3模式上先將穿梭車換層到目標作業(yè)層，因此需要先將穿梭車換層到待入庫貨位所在層，而后執(zhí)行M3模式。

結合式（1）～（5），各時間計算分別如下：

由圖1貨架設備布置情況所示，母車在貨架列方向上的最遠行駛距離為貨格長度乘以貨格數(shù)（忽略貨格間隙），即dy=LSR=lcell×C，子車在貨架排方向上的最遠行駛距離為貨架總寬度的1/2，即dx=WSR/2=wcell×R/2，在進行穿梭車換層作業(yè)時，穿梭車提升機在垂直方向上的最遠行駛距離 dz′=hcell×L/S時，此時TSC整理為：

由于穿梭車與提升機同時獨立運動完成作業(yè)，系統(tǒng)平均吞吐時間為貨物提升機和穿梭車作業(yè)時間的最大值，因此整個系統(tǒng)的平均行程時間：

綜上，整個系統(tǒng)平均吞吐時間TSCS/RS為：

式中，λSCS/RS為SCS/RS 每小時的吞吐能力；k為單次復合作業(yè)模式下的交易次數(shù)(k=2)。

2.3 最小化成本計算模型CSCS/RS

2.3.1 原始投資成本

SCS/RS建設初期的投資成本包括系統(tǒng)設備購置成本CE、貨架建造成本CSR以及廠房租賃成本CR，各部分計算如下所示：

式中，CliftA為貨物提升機單價；CliftB為穿梭車提升機單價；Cshuttle-carrier為單套穿梭車價格；Ccell為貨格建造成本；CA為單位面積廠房租金；TP為系統(tǒng)使用壽命。

2.3.2 系統(tǒng)能耗成本

子母穿梭車系統(tǒng)中包含N個單元貨架，因此整個系統(tǒng)的能耗成本為：

式中，P為單元貨架系統(tǒng)運行的總功率；Tday為系統(tǒng)每天工作小時數(shù)；nw-days為系統(tǒng)每周工作天數(shù)；nweeks為系統(tǒng)每年的工作周數(shù)；ηSCS/RS為系統(tǒng)的效率；CSE為單位工業(yè)用電費用。

每個單元貨架配備一臺貨物提升機，一臺穿梭車提升機和S套子母穿梭車。因此，單個貨架系統(tǒng)的運行總功率P如式（24）所示：

設備運動主要由電機做功產生的牽引力或者制動力來帶動，分為加速階段、勻速階段和減速階段三個階段。忽略空氣阻力，功率計算可由得出，牽引力（或制動力）計算可由基本力學平衡公式得出。

提升機在垂直方向上運動，子母穿梭車在水平方向上運動，二者運動可看作是同時進行，貨物提升機、穿梭車提升機的平均功率如式（25）和式（26）所示，母車沿主巷道運行的平均功率如式（27），子車沿貨物巷道運行的平均輸出功率如式（28）：

式中，PAa、PAv、PAb分別為貨物提升機加速運動、勻速運動、減速運動的功率；tAa、tAv、tAb分別為貨物提升機加速運動、勻速運動、減速運動的時間；PBa、PBv、PBb分別為穿梭車提升機加速運動、勻速運動、減速運動的功率；tBa、tBv、tBb分別為穿梭車提升機加速運動、勻速運動、減速運動的時間；Pya、Pyv、Pyb分別為母車加速運動、勻速運動、減速運動的功率；tya、tyv、tyb分別為母車加速運動、勻速運動、減速運動所需時間；Pxa、Pxv、Pxb分別為子車加速運動、勻速運動、減速運動的功率，txa、txv、txb分別為子車加速運動、勻速運動、減速運動的時間，具體計算過程如下。

（1）貨物提升機平均功率計算

貨物提升機勻加速運動時，牽引力計算如下：

則貨物提升機勻加速運動時平均功率為：

式中，ηe為貨物提升機的效率。

貨物提升機勻速運動時，牽引力計算如下：

則貨物提升機勻速運動時平均功率為：

貨物提升機勻減速運動時，受到的制動力如下：

勻加速運動時間tAa、勻速運動時間tAv、勻減速運動時間tAb計算如下：

（2）穿梭車提升機平均功率計算

計算步驟與貨物提升機類似，各運動階段平均功率及時間計算如下：

（3）母車平均功率計算

母車勻加速運動時，牽引力計算如下：

式中，kir為旋轉質量因子；kr為滾動摩擦系數(shù)。則母車平均功率計算為：

式中，ηe為母車的效率。

母車勻速運動時，牽引力計算如下：

則母車的平均功率為：

母車勻減速運動時，牽引力計算：

則母車平均功率為：

母車各個運動階段所用時間為：

（4）子車平均功率計算

與母車類似，子車勻加速、勻速、勻減速運動時，功率計算如下：

則子車勻加速運動時平均功率為：

綜上所述，總成本模型為：

3 算法求解

帶精英保留的非支配排序遺傳算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm，NSGA-II）在求解多目標優(yōu)化問題時具有優(yōu)越性。該算法由Deb等人[18]提出，采用快速非支配排序法，大大降低了算法的復雜度，且擁擠度的引入保證了種群的多樣性，引入精英保留策略擴大采樣空間，防止最佳個體的丟失，提高了算法的運算速度和魯棒性。算法流程圖如圖5所示。

圖5 NSGA-II算法流程圖

NSGA-II算法具體步驟如下：

（1）種群初始化

隨機產生初始父代種群P0，并對種群進行非支配排序，使每個個體被賦予秩，即每一個解都被分配到一個和非支配層級（1是最優(yōu)層級）相應的適應度值。

（2）產生子代種群

選擇二進制錦標賽對初始種群進行選擇、交叉、變異操作，得到新的種群大小為N的子代種群Q0。

（3）非支配排序

合并父代與子代為新的群體Rt=Pt+Qt，對Rt進行非支配排序，依次得到非支配解集Z1,Z2,…。

（4）擁擠距離排序

將非支配解集Zi按照擁擠距離進行排序，選擇最好的N個個體組成新父種群Pt+1，即采用精英保留策略。

4 案例分析

4.1 參數(shù)設置

本文以某SCS/RS倉儲設備供應商以及某電商配送中心提供的實驗參數(shù)為基礎進行研究，各固定參數(shù)設置如表2，決策變量取值范圍如表3。

表2 參數(shù)值

表3 決策變量取值范圍

4.2 算法求解

采用NSGA-II 求解時，算法參數(shù)設置如表4 所示，最終結果為100 組不同配置組合方案，得到Pareto 前沿如圖6所示。表5列出按平均吞吐時間由低到高排序的前10組解，表6按成本由低到高排序的前10組解。

從圖6 可以看出，吞吐時間減少的同時，總成本在增加，這與二者之間的“效益背反”關系一致，由此可驗證模型結果的正確性。表5中，平均吞吐時間最短可至2.3 s，此時系統(tǒng)配置方案為：倉庫設置5個貨架，每個單元貨架為 4 層、48 列、22 排，并且配備 4 套子母穿梭車，即每層配備一套穿梭車，易知系統(tǒng)進行單層作業(yè)時效率更高，但同時該方案花費較大，適合對貨物周轉率要求極高的電商物流中心等。

表4 算法參數(shù)設置

圖6 Pareto前沿

表5 按平均吞吐時間排序

表6 按成本排序

成本從低到高進行排序，成本最低方案中，系統(tǒng)只包含一個單元貨架，貨架為15 層，兩套子母車，此時系統(tǒng)平均吞吐時間為27.14 s，可知這是由于頻繁的換層作業(yè)導致作業(yè)時間較長。該方案適合占地面積有限且對吞吐時間要求不高的企業(yè)。

分析模型結果，SCS/RS 高吞吐效率要求高設備水平，企業(yè)需要投入高資金成本，因此在進行早期倉儲規(guī)劃時，企業(yè)應結合自身需求以及能力，選擇適合整體發(fā)展目標的倉儲配置方案，并不是一味追求越快越好。合理的資源配置方案將為企業(yè)節(jié)省一定的成本，這就是本文研究的目標。

5 結束語

本文針對子母式穿梭車倉儲系統(tǒng)的配置問題，進行了資源分配問題的詳細分析。通過分析影響系統(tǒng)資源配置的因素，考慮子母穿梭車是否換層以及提升機和子母穿梭車的加減速度特性，以此建立了以系統(tǒng)平均吞吐時間、成本最小為目標的多目標優(yōu)化模型。針對該問題，本文采用非支配排序遺傳算法，引入精英策略，防止獲得的Pareto 最優(yōu)解丟失。最后，數(shù)據(jù)實驗結果顯示，本文的模型結果可為企業(yè)進行資源配置提供優(yōu)質方案。隨著自動化立體倉庫的迅速發(fā)展與應用，資源配置方案的研究仍具有廣闊的研究空間。本文資源配置的結果為一組Pareto最優(yōu)解，企業(yè)在選擇時還需要根據(jù)自身需求進行甄選。本文的研究方法和思路可為后續(xù)建立資源配置系統(tǒng)提供經驗和方法，為企業(yè)定制個性化資源配置方案提供理論依據(jù)。由于實際情況下，系統(tǒng)中單一作業(yè)和復合作業(yè)同時存在，而本文單考慮了設備的復合作業(yè)，因此如何確定混合作業(yè)模式下的系統(tǒng)吞吐時間還有待進一步研究。