李現(xiàn)勇

(青島市教育科學(xué)研究院 266001)

著名數(shù)學(xué)家丘成桐說過：“學(xué)數(shù)學(xué)不要求快，一定要學(xué)慢學(xué)細(xì)”.數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，決定了數(shù)學(xué)教學(xué)絕不可片面地追求速度.但在一線教學(xué)中，仍存在著“提問多，啟發(fā)少；節(jié)奏快，思考少；容量大，內(nèi)涵少；指定多，探究少”等一系列問題，教師一味地追求教學(xué)速度與進(jìn)度，將知識全盤托出，甚至填鴨式教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生對知識一知半解，對公式、定理的掌握僅僅停留在記憶與應(yīng)用的層面上.如此一來，學(xué)生只是被動接受，沒有思維的鍛煉與能力的提升，這與數(shù)學(xué)教育的初衷背道而馳，因此，實(shí)施“慢”教育，對改善學(xué)生思維現(xiàn)狀、提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)具有重要意義.

“慢”教育，并非指單純拖延教學(xué)進(jìn)度、降低課堂效率、減少課堂容量的“慢”，而是追求與學(xué)生身心發(fā)展同步，關(guān)注學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的“慢”.“慢”教育主張給學(xué)生充分的“想”和“悟”的時(shí)間，本質(zhì)上來說，就是要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓他們充分體驗(yàn)、深入理解、透徹領(lǐng)會，從而真正掌握數(shù)學(xué)的精髓與真諦.那么，數(shù)學(xué)課堂的“慢”，具體體現(xiàn)在哪些環(huán)節(jié)呢？以下將結(jié)合具體案例，從三個方面展開論述.

1 “慢”在概念形成

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容.數(shù)學(xué)概念的形成過程要求學(xué)生將已有知識外延，構(gòu)建新的知識，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想.因此，實(shí)施“慢”教育，先從概念形成過程開始.數(shù)學(xué)概念的“慢”教學(xué)，要講清概念的來龍去脈，要循序漸進(jìn)地進(jìn)行引入.

如，對于函數(shù)極值的概念，設(shè)計(jì)這樣引入：

提出問題在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以判斷函數(shù)的增減.如果函數(shù)在某些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，那么在這些點(diǎn)處函數(shù)有什么性質(zhì)呢？

思考觀察下圖，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t=a時(shí)，高臺跳水運(yùn)動員距水面的高度最大.那么，函數(shù)h(t)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點(diǎn)附近的圖象有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么變化規(guī)律？

探究如下圖，函數(shù)y=f(x)在x=a,b,c,d,e等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？y=f(x)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么規(guī)律？

在實(shí)際教學(xué)中，教師可以從單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)值正負(fù)的關(guān)系進(jìn)行引入，“我們已經(jīng)研究了導(dǎo)數(shù)值為正或負(fù)時(shí)分別對應(yīng)的函數(shù)單調(diào)性情況”，接著自然而然地拋出問題：“那么，當(dāng)導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，函數(shù)性質(zhì)又是怎樣的？”學(xué)生首先聯(lián)系前面所學(xué)，“利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以判斷函數(shù)的增減”，引發(fā)思考：“若某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，則函數(shù)在這一點(diǎn)處有何性質(zhì)”.學(xué)生就會結(jié)合導(dǎo)數(shù)為0的條件，在腦海中想象出對應(yīng)的函數(shù)圖象，或想到熟悉的、符合條件的函數(shù)解析式，而在這個過程中便產(chǎn)生了形與數(shù)的結(jié)合，是對學(xué)生直觀想象能力和數(shù)學(xué)抽象能力的一種培養(yǎng)與鍛煉.

接下來，教師設(shè)計(jì)從具體實(shí)例——跳水模型入手，描繪出跳水運(yùn)動員跳水過程中的運(yùn)動曲線，引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)在最高點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值、該點(diǎn)附近的圖象特點(diǎn)等一系列問題.接下來，由一個極大值點(diǎn)拓展到若干個極大(小)值點(diǎn)：給出特殊函數(shù)y=f(x)的圖象，引導(dǎo)學(xué)生探究在各個極大(小)值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值、附近導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、函數(shù)圖象等一系列特點(diǎn)，由此最終得出函數(shù)極值的概念.

上述過程中，學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，由已知到未知，由具體到抽象，由特殊到一般，自然而然地歸納出函數(shù)極值的概念.而這樣的“慢形成”方法，使學(xué)生在獲得極值概念的同時(shí)，還發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

不僅是數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，對于定理和法則同樣如此.對于概念、定理和法則，它們從何而來？因何而起？具有怎樣的數(shù)學(xué)背景和數(shù)學(xué)意義，蘊(yùn)含怎樣的數(shù)學(xué)文化和應(yīng)用價(jià)值？“慢形成”教學(xué)，要求給學(xué)生足夠的思維時(shí)空，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的抽象過程和定理的證明過程，通過研讀教材、巧妙設(shè)計(jì)來引導(dǎo)學(xué)生追溯數(shù)學(xué)家的思維方式，發(fā)現(xiàn)問題研究的源頭.

2 “慢”在問題探究

教師是課堂的主導(dǎo)，而學(xué)生是課堂的主體.在面臨問題解決時(shí)，教師應(yīng)把課堂更多地交給學(xué)生，由“傳授型”課堂轉(zhuǎn)變?yōu)椤疤骄啃汀闭n堂；而在設(shè)計(jì)探究性課堂時(shí), 要求教師不僅要關(guān)注所探究的問題是否符合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，更要關(guān)注是否符合學(xué)生發(fā)展需要[1].因此，在探究過程中所設(shè)計(jì)的問題，務(wù)必是精心設(shè)計(jì)的、有層次感的，不能是碎片化的.通過剝繭抽絲、逐層深入的問題串，將知識進(jìn)行有效的串聯(lián)，為學(xué)生提供思維方向的指引，從而引發(fā)學(xué)生遞進(jìn)式、多角度的思考.問題串的設(shè)置，使整個課堂慢下來，在“慢探究”中，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性與自主性，使其親身經(jīng)歷探究與歸納的過程，從而加深對問題的理解，豐富自身的學(xué)習(xí)感悟與體驗(yàn).

如，在函數(shù)概念的引入中，可以依據(jù)教材，設(shè)置如下問題串：

情境一：某“復(fù)興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí).列車行進(jìn)的路程為S(單位：km)，運(yùn)行時(shí)間t(單位：h).

問題1：這段時(shí)間內(nèi)，列車行進(jìn)路程S與運(yùn)行時(shí)間t的關(guān)系可以表示為？

問題2：列車行進(jìn)路程S是運(yùn)行時(shí)間t的函數(shù)嗎？

情境二：下圖是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index，簡稱AQI)變化圖.

問題3：如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時(shí)刻th的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的值I？

問題4：你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎？

問題5：上述情境1和情境2中的函數(shù)都有哪些共同特征？你能用文字語言歸納并概括一下嗎？

問題6：如何根據(jù)以上共同特征，用符號語言給出函數(shù)的定義？

問題7：你能舉一些我們學(xué)過的函數(shù)的例子嗎？

情境一中，問題1引導(dǎo)學(xué)生觀察行進(jìn)路程與時(shí)間之間的關(guān)系，并給出關(guān)系式.從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)建模的過程，問題1的設(shè)置使學(xué)生對問題形成初步的感知，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思維和能力；問題2使學(xué)生思考初中所學(xué)的函數(shù)定義，進(jìn)一步感知變量間的關(guān)系，為函數(shù)概念的得出奠定基礎(chǔ).情境二中的問題3和問題4，則以曲線圖的方式呈現(xiàn)，使學(xué)生從另外的角度感知變量關(guān)系.問題5和問題6則通過引導(dǎo)學(xué)生觀察猜想、歸納概括，使其發(fā)現(xiàn)函數(shù)的本質(zhì)特征，經(jīng)由口頭表述、文字語言表達(dá)，最終凝練成符號語言，這一過程鍛煉了學(xué)生的歸納推理能力、語言表達(dá)能力和總結(jié)概括能力，同時(shí)訓(xùn)練了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng).用符號語言表達(dá)的函數(shù)定義畢竟是抽象的，有的學(xué)生不容易理解，而問題7的設(shè)置使學(xué)生列舉自己學(xué)過的函數(shù)，對函數(shù)定義進(jìn)行驗(yàn)證，如此一來，使抽象概念具體化，有利于加快學(xué)生對函數(shù)概念的理解和消化.

“慢探究”課堂是歸納和體驗(yàn)的交融與統(tǒng)一.學(xué)生通過不斷地經(jīng)歷觀察、歸納和體驗(yàn)的過程，可以多角度、全方位地辨析概念，形成對概念更全面、更立體的理解與認(rèn)識.在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)設(shè)有深度、有層次的問題，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，鼓勵其積極思考、自主學(xué)習(xí)，從而加深對知識的認(rèn)識，提高直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

3 “慢”在交流碰撞

教師鼓勵學(xué)生自主探究和合作探究，要給學(xué)生留出充裕的思考時(shí)間和交流時(shí)間，“慢交流”通過師生對話、生生對話等使學(xué)生經(jīng)歷知識的融匯、碰撞與整合，最終形成自己的想法，獲得對問題的思考與解答.

如，在立體幾何部分棱柱概念的教學(xué)中，棱柱的定義是“有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱”.此時(shí)教師拋出問題，“‘相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行’這一條件可不可以去掉？”，“通過棱柱的概念我們得知，棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，那么，可不可以改為‘有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體叫做棱柱’？”立體幾何部分非?？疾鞂W(xué)生的直觀想象能力，而立體感和直觀想象能力是要通過日常訓(xùn)練來培養(yǎng)的.因此，問題拋出后，切記不要迅速給出答案，要學(xué)會等待，給學(xué)生留足思考時(shí)間，使其經(jīng)歷充分的思考和想象，先與自己對話；然后安排小組討論，進(jìn)行生生對話，思維角度的不同使學(xué)生產(chǎn)生自主交流的欲望，小組討論的過程便是學(xué)生互相之間思想交流和碰撞的過程，最后是師生間的對話，請學(xué)生闡述問題探究中的困惑與收獲，總結(jié)問題解決的方法，體會數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)密，培養(yǎng)細(xì)致的習(xí)慣.

課堂對話是另一種形式上的“慢”教學(xué)，它使學(xué)生在相互交流的過程中，感悟不同的思考方式、思考方法，完善自己的認(rèn)知，借鑒同伴的優(yōu)點(diǎn)，豐富學(xué)習(xí)體驗(yàn)與學(xué)習(xí)感悟.“慢交流”使學(xué)生學(xué)得細(xì)致，學(xué)得深入，學(xué)得透徹，提高學(xué)生多角度分析問題的能力及團(tuán)結(jié)協(xié)作能力.

“教育是慢的藝術(shù)”，唯有自由之時(shí)間，才能有自由之思想；數(shù)學(xué)有思考，才能靈動[3].在快速行進(jìn)的課堂中，學(xué)生是被“拽”著往前走的，是被動的；所以“慢”教育理念給教育提供了新的視角.“慢”教育的目的是在“慢”中給學(xué)生足夠的空間，使他們勇于思考；在交流碰撞中學(xué)會思考，在收獲的喜悅中樂于思考.教師應(yīng)該積極探索如何在實(shí)際教學(xué)中把握好“慢”，何時(shí)“慢”，何處“慢”？要在“慢”中尋高效，向“慢”要能力提升，唯有如此，才能讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，真正會用數(shù)學(xué)的方法去思考問題、解決問題，從而提升自身學(xué)科素養(yǎng).