吳金波

摘? ?要：在求解力學極值問題中，常見的教輔資料上的處理方法是代數(shù)法，該法需要學生有較強的數(shù)學推演能力，往往很多學生不具備這種能力。文章通過三道例題，采用學生在受力平衡的動態(tài)分析問題中已經很熟悉的力的矢量三角形法求解，與代數(shù)解法相比，力的矢量三角形法可以大大簡化運算過程，降低了問題切入的門檻，提高了學生突破極值問題的信心，拓展了學生的科學思維。

關鍵詞：受力平衡;動態(tài)分析;力的矢量三角形法;極值問題;科學思維

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2021）1-0056-3

在高三物理備考過程中，經常遇到各種臨界問題。所謂臨界問題，就是指當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常常會有“剛好”或者“恰好”等字眼給予暗示。在這些變化過程中，又伴隨著極值出現(xiàn)。本文所討論的極值，是平衡態(tài)（靜態(tài)平衡或者動態(tài)平衡）問題中的極值。所謂力的平衡問題中的極值，是指在力的變化過程中，某些力會出現(xiàn)最大值或者最小值問題。

這里談到的力的矢量三角形法，是指一個物體受到三個力而平衡（靜態(tài)平衡或者動態(tài)平衡）時，由這三個力矢量首尾依次相連得到的矢量三角形。這三個力的特點分別是：①一個恒力（一般是指受力物體的重力）;②一個變力，其方向不變而大小變化;③另外一個變力的大小和方向都在變化。通過大小和方向都在變化的那個力的方向變化情況，畫出滿足條件的力的矢量三角形，直接從幾何圖形中可以看出兩個變力的變化情況，從中很容易找到變力的極值位置。

筆者發(fā)現(xiàn)，大部分學生在已經比較熟練地掌握了受力平衡的動態(tài)分析的矢量三角形法的情況下，對于求極值這類問題的計算題的處理上，很多數(shù)學基礎薄弱的學生，總是沒有信心去解答這類問題。因為學生在處理這類計算題時，總是從力的平衡條件入手列出平衡方程，然后經過一系列相對復雜的數(shù)學推演，才能得到某個變力與一個（或者幾個）恒力（往往是重力）以及某個角度的代數(shù)關系，然后由數(shù)學求極值的方法討論出結果。筆者還發(fā)現(xiàn)，大部分的教輔資料在求極值計算題的問題上，都是采用代數(shù)法來處理?？赡苁鞘艿浇梯o資料解法的影響，也可能是很多授課老師（筆者聽過幾個公開課的老師就是這么講的）也是這么處理問題，導致學生在處理動態(tài)分析的極值問題上，面對這類問題的計算題時，只會利用代數(shù)法求極值，并且感到困難。既然學生用代數(shù)法處理極值問題有困難，教師就有責任引導學生熟悉同種問題的兩種方法，拓展、提高學生的科學思維能力。

例1 如圖1所示，重力為G的小球用輕繩懸于O點，用力F拉住小球，使輕繩保持偏離豎直方向60°角且不變，當F與豎直方向的夾角為θ時F最小，則θ、F的值分別為（? ? ）

代數(shù)法的解析 分解小球重力如圖2，沿繩OA的分力FOA方向確定，另一分力F′方向不確定，但由三角形定則可以看出，另一分力F′的大小與θ角的大小有關。由數(shù)學知識可知，當F′的方向與繩OA垂直時F′最小，力F最小，所以θ=30°，F(xiàn)min=Gcos30°=G，故答案為B選項。

力的矢量三角形法的解析 首先對A球受力分析（如圖3），然后將G、F和FOA首尾依次相連，構成力的矢量三角形（如圖4），由于A球受力情況滿足受力平衡的動態(tài)分析方法之力的矢量三角形法的三個特點：G為恒力，F(xiàn)OA的方向與豎直方向的夾角恒為60°，F(xiàn)的大小和方向都可以變化，動態(tài)矢量三角形如圖4所示，很容易看出，當F與豎直方向的夾角θ=30°時，F(xiàn)有最小值，即Fmin=G。

當然，對于這類相對比較簡單的極值問題，用代數(shù)法和幾何法處理的難度都不大，哪種方法學生都容易掌握。但是，對于一些需要較復雜的數(shù)學推演和討論才能求解的極值問題，對于數(shù)學基礎薄弱的學生，就顯得捉襟見肘了。這時，如果授課老師引導學生利用學生已經熟知的力的矢量三角形法處理，會讓學生有種醍醐灌頂?shù)母杏X。

例2 如圖5所示，質量為M的斜劈傾角為θ，在水平面上保持靜止，當將一質量為m的木塊放在斜面上時正好勻速下滑。如果用與斜面成α角的力F拉著木塊沿斜面勻速上滑。已知m=1 kg，θ=15°，g=10 m/s2，求F的最小值以及對應的α的取值。

這種解法很粗糙，每個運動狀態(tài)都沒有相應的受力分析，這不是一個好的示范解法。

力的矢量三角形法的解析 木塊在斜面上向下勻速下滑，對m受力分析如圖6所示，由平衡條件有：mgsinθ=μmgcosθ，得μ=tanθ。

在拉力F作用下勻速向上滑動時，對m受力分析如圖7所示。

教學啟示 通過三個例題，分析了力學動態(tài)分析中極值問題的兩種解法：代數(shù)法和力的矢量三角形法。大部分高三復習資料在處理這類極值問題時，都是采用代數(shù)法，而很多學生的數(shù)學能力又達不到能力要求。很多學生已經掌握了力的矢量三角形法，只是思維的角度沒有達到，經過教師的引導，特別是物體受四個力的動態(tài)分析極值問題時，有了教師的指導，大部分學生會有一種醍醐灌頂?shù)母杏X。所以，在這個問題的處理上，建議授課教師可以兩種方法都用，拓展學生的科學思維能力。

（欄目編輯? ? 羅琬華）