萬志國，賀王鵬，廖楠楠，竇益華，郭寶龍

(1.西安石油大學 機械工程學院，陜西 西安 710065；2.西安電子科技大學 空間科學與技術(shù)學院，陜西 西安 70071)

作為重大裝備的關(guān)鍵基礎(chǔ)部件，齒輪系統(tǒng)的健康狀態(tài)是影響整機安全，使其高效運行的關(guān)鍵因素。針對齒輪系統(tǒng)故障頻發(fā)的現(xiàn)象，國內(nèi)外學者提出了許多性能優(yōu)良的信號處理與故障診斷方法，如二代小波分解、EMD分解及稀疏分解[1-2]。然而，基于所見即所得的故障診斷方法，難以對故障機理進行清晰的解釋[3]。因此，近些年來，許多學者致力于通過齒輪動力學仿真來揭示故障的振動響應(yīng)機理。考慮輪齒延長嚙合效應(yīng)，文獻[4]分析了齒根裂紋對齒輪系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響。文獻[5]提出了累積積分能量法，建立斜齒圓柱齒輪的動力學模型并分析了裂紋的振動響應(yīng)機理。文獻[6]基于能量法分析了沿齒寬方向非均勻分布的齒根裂紋對齒輪嚙合剛度的影響，通過動力學仿真研究了此類故障的振動響應(yīng)特征。文獻[7]考慮齒輪裂紋對時變嚙合剛度的影響，分析了齒根裂紋故障的邊頻特性。文獻[8]采用Timoshenko梁單元模型，研究了不同情況下齒輪裂紋對系統(tǒng)模態(tài)特征的影響。文獻[9]提出了一種基于概率分布描述的齒輪點蝕新模型，基于能量法分析了點蝕對時變嚙合剛度的影響。文獻[10]建立齒輪系統(tǒng)非線性動力學模型，研究了齒輪系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子裂紋故障的振動響應(yīng)特征。文獻[11]基于能量法分析了齒面點蝕及剝落故障的振動響應(yīng)特性。考慮齒輪基體的復雜形狀，文獻[12]提出了一種解析-有限元方法，分析了齒根裂紋對嚙合剛度的影響。文獻[13]建立了含有齒根裂紋故障的行星齒輪動力學模型，分析裂紋對系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響。

由于齒根裂紋與齒面剝落故障在信號特征上的相似性以及工程實際中強烈背景噪聲的干擾，目前常見的齒輪故障診斷方法還無法精確辨識齒根裂紋與齒面剝落故障。針對齒輪故障機理研究的不足，筆者提出基于動力學建模與仿真技術(shù)的齒輪局部損傷故障機理分析方法，指出了齒根裂紋與齒面剝落故障振動響應(yīng)的不同之處，為這兩種類型故障的精確診斷提供了理論基礎(chǔ)。

1 齒根裂紋及齒面剝落故障對時變嚙合剛度的影響分析

齒輪發(fā)生局部損傷故障后，嚙合剛度的改變是導致系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)發(fā)生變化的關(guān)鍵因素。目前，國內(nèi)外研究學者一般采用能量法對嚙合剛度進行求解。

1.1 能量法求解齒輪嚙合剛度的基本原理

如圖1所示，能量法首先將輪齒簡化為基圓上的變截面懸臂梁。在嚙合力的作用下輪齒產(chǎn)生彈性變形，變形能以剪切變形能Us、彎曲變形能Ub、徑向壓縮變形能Ua和赫茲接觸能Uh4種形式的能量儲存在輪齒中。這4種變形能分別與4種類型的剛度(剪切剛度ks、彎曲剛度kb、徑向壓縮剛度ka和赫茲接觸剛度kh)相對應(yīng)。齒輪在嚙合過程中，除了輪齒的變形外，齒輪基體同樣會產(chǎn)生柔性變形，與此變形相對應(yīng)的剛度稱之為齒基剛度，一般用kf表示。根據(jù)彈性力學、材料力學的基本知識，剛度與變形能之間的關(guān)系可表示為

圖1 輪齒懸臂梁模型圖

(1)

(2)

(3)

(4)

其中，F(xiàn)為嚙合點處的輪齒嚙合力，方向沿嚙合線方向；Fa、Fb分別為嚙合力F沿水平與豎直方向的兩個分力；E為彈性模量；G為剪切模量；Ax、Ix分別代表與齒輪基圓距離為x處的輪齒截面的截面積與慣性矩；d表示嚙合點與基圓之間的水平距離；Rb、Rf分別表示齒基圓與齒根圓半徑；x1為齒基圓半徑與齒根圓半徑之差。

一對齒輪副的總嚙合剛度可以通過上述各剛度的串聯(lián)形式進行等效，齒輪時變嚙合剛度可表示為

(5)

式中，各剛度的下標數(shù)字1、2分別代表主、從動齒輪，如ka2表示從動輪的徑向壓縮剛度；i表示嚙合輪齒的對數(shù)。各參數(shù)的具體求解過程見文獻[14]。

1.2 齒根裂紋故障的時變嚙合剛度求解

當齒根產(chǎn)生疲勞裂紋時，輪齒的漸開線齒廓并未受到影響，因此齒根裂紋不會影響齒輪嚙合的赫茲接觸剛度。嚙合力沿水平方向的分力Fa使裂紋壓緊處于閉合的狀態(tài)，因此裂紋也不會影響徑向壓縮剛度。而嚙合力沿豎直方向的分力Fb傾向于使裂紋張開，從而影響到輪齒的嚙合剛度。因此，與Fb相關(guān)的兩個剛度(彎曲剛度和剪切剛度)會受到齒根裂紋的影響。如圖2所示，當存在齒根裂紋時，距離齒輪基圓x處輪齒截面的有效面積Ax和慣性矩Ix可以表示為

圖2 齒根裂紋故障模型

(6)

式中，L代表齒輪寬度，hc代表裂紋尖端到輪齒中心線的垂直距離，hx代表距離基圓x處的齒廓到輪齒中心線的距離，gc代表裂紋尖段對應(yīng)齒廓到基圓的水平距離。

將式(6)帶入到式(1)～(5)中，經(jīng)過化簡可以得到含有齒根裂紋故障的齒輪時變嚙合剛度計算公式。假設(shè)齒根裂紋尺寸為2 mm，主、從動輪齒數(shù)分別為55、75，齒輪模數(shù)為 2 mm，齒寬為20 mm。由上述理論計算可得如圖 3所示的齒根裂紋故障的時變嚙合剛度曲線。由圖3可知，當裂紋輪齒進入嚙合時，齒輪的嚙合剛度減小，嚙合剛度的減小貫穿從裂紋輪齒開始嚙合到退出嚙合的全過程。隨著齒輪的轉(zhuǎn)動，嚙合點從齒根位置逐漸向齒頂位置過渡，嚙合點距離齒根的距離越大，齒根裂紋對輪齒變形的影響也就越大。因此，隨著齒輪的轉(zhuǎn)動，齒根裂紋對時變嚙合剛度的影響也逐漸增加。

圖3 齒根裂紋故障時變嚙合剛度圖

1.3 齒面剝落故障的時變嚙合剛度求解

齒輪嚙合過程中，主、從動齒輪在節(jié)線附近的相對滑動方向相反，形成脈動循環(huán)載荷并引發(fā)齒面剝落故障。如圖4所示，當齒面發(fā)生剝落故障時，剝落位置處的截面慣性矩、截面積以及有效接觸齒寬將發(fā)生變化，從而改變剝落區(qū)的4個嚙合剛度分量。在剝落區(qū)所對應(yīng)的齒寬范圍內(nèi)，距離齒輪基圓x處的輪齒截面的有效面積Ax和慣性矩Ix可以表示為

圖4 齒面剝落故障模型

(7)

其中，ΔL為剝落區(qū)域所對應(yīng)的齒輪寬度；Δh為剝落深度；xs、xe為剝落區(qū)的上、下邊界到齒基圓的距離。

將式(7)帶入到式(1)～(5)中，經(jīng)過化簡可得到齒輪剝落區(qū)域所對應(yīng)的齒寬范圍內(nèi)的齒輪嚙合剛度的計算公式，如彎曲剛度可以表示為

(8)

其中，彎矩M=Fb(d-x)-Fah、M1=Fb(d+x1)-Fah。

由于剝落區(qū)域內(nèi)齒輪的接觸線長度有所減小，因此剝落區(qū)內(nèi)的赫茲接觸剛度表示為

(9)

其中，E為彈性模量，v為泊松比。

假設(shè)齒面剝落故障沿齒寬方向的寬度ΔL為6 mm，沿齒面方向的寬度為3 mm，根據(jù)上述理論計算得到齒面剝落故障的時變嚙合剛度如圖5所示。當齒輪存在齒面剝落故障時，由于剝落區(qū)截面積、慣性矩及接觸長度的變化，齒輪時變嚙合剛度的減小主要發(fā)生在剝落區(qū)，這與齒根裂紋故障的時變嚙合剛度的減小存在本質(zhì)的區(qū)別。對于矩形剝落而言，當輪齒的嚙合點進入剝落區(qū)并開始嚙合時，時變嚙合剛度發(fā)生突變，嚙合點退出剝落區(qū)時，時變嚙合剛度同樣發(fā)生突變。而對于橢圓形剝落而言，由于剝落區(qū)截面積、慣性矩及接觸長度隨齒輪的轉(zhuǎn)動逐漸變化，因此橢圓形剝落的時變嚙合剛度是逐漸變化的。

圖5 齒面剝落故障時變嚙合剛度圖

2 齒輪系統(tǒng)非線性動力學模型的建立

根據(jù)齒輪系統(tǒng)的有限元建模理論[10]，建立如圖6所示齒輪系統(tǒng)動力學模型。傳動軸采用Timoshenko梁單元進行建模，軸承采用Jones擬靜力學模型進行剛度的求解，齒輪采用10自由度的齒輪副動力學模型進行建模。在得到各子結(jié)構(gòu)的動力學方程后，根據(jù)齒輪、軸承的中心位置與傳動軸有限元節(jié)點之間的對應(yīng)關(guān)系，將齒輪副系統(tǒng)與軸承系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度等特征矩陣疊加到傳動軸有限元模型相對應(yīng)的有節(jié)點上，從而得到系統(tǒng)整體的動力學方程

圖6 齒輪傳動系統(tǒng)動力學模型

(10)

其中，M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，G為陀螺矩陣，K為剛度矩陣，F(xiàn)為系統(tǒng)所受載荷，q為模型中各節(jié)點的位移向量。

3 齒根裂紋與齒面剝落故障的動力學仿真與分析

假設(shè)齒根裂紋的長度為2 mm，齒面剝落故障的寬度為6 mm，主、從動輪齒數(shù)分別為55、75，齒輪模數(shù)為2 mm，齒寬為20 mm，傳動軸直徑為30 mm，主動軸的轉(zhuǎn)頻為5 Hz。將圖3、圖5所示的正常及故障齒輪的時變嚙合剛度分別帶入式(10)所示的動力學方程中，利用NewMark-β數(shù)值積分法對式(10)求解，得到如圖7所示的齒輪系統(tǒng)振動響應(yīng)的時域仿真信號。

圖7 齒輪系統(tǒng)振動響應(yīng)的時域仿真信號

由圖7(b)可知，當齒輪存在齒根裂紋故障時，系統(tǒng)在運行過程中產(chǎn)生了以故障齒輪所在軸的轉(zhuǎn)頻為周期的振動沖擊響應(yīng)。由圖7(c)與圖7(d)可知，無論齒面剝落故障的形狀是矩形還是橢圓形，剝落故障都會使系統(tǒng)產(chǎn)生周期性的振動沖擊響應(yīng)，與齒根裂紋故障的振動響應(yīng)特征基本一致。這種類似特征正是造成目前齒輪故障診斷方法無法對這兩類故障進行精確區(qū)別診斷的主要原因之一。

仿真信號的優(yōu)點之一在于可以避免真實系統(tǒng)中噪聲信號的強烈干擾，便于觀察故障信號的細節(jié)特征。將圖7進行局部放大，把故障輪齒引起的振動沖擊信號示于圖8中。圖8中雙向箭頭表示故障輪齒從開始進入嚙合到退出嚙合的全過程，圖中數(shù)字代表嚙合過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的振動沖擊響應(yīng)的編號。由圖8(a)可知，一個正常的輪齒從開始嚙合到退出嚙合的過程中會產(chǎn)生4個振動沖擊響應(yīng)。對比圖8(a)與(b)可知，齒根裂紋故障所產(chǎn)生的振動沖擊響應(yīng)在數(shù)量上沒有變化，但2、3、4號沖擊響應(yīng)幅值有明顯變化。對比圖8(a)與(c)可知，矩形剝落故障所產(chǎn)生的振動響應(yīng)不但在幅值上發(fā)生明顯變化，而且還產(chǎn)生了圖8(c)所示的5、6號兩個新的沖擊響應(yīng)，這兩個沖擊響應(yīng)分別對應(yīng)剝落區(qū)的嚙入與嚙出沖擊。而對比圖8(c)與(d)可知，矩形剝落與橢圓形剝落產(chǎn)生的振動沖擊響應(yīng)又有所不同。由于橢圓形剝落故障對時變嚙合剛度的影響是一個較為平滑的過渡過程，因此橢圓形剝落區(qū)的嚙入與嚙出引起的振動沖擊響應(yīng)并不明顯。

4 總 結(jié)

筆者從故障機理研究的角度出發(fā)，基于能量法建立了用于求解齒根裂紋及齒面剝落故障時變嚙合剛度的解析計算模型，分析了兩種故障對時變嚙合剛度影響的不同內(nèi)在機理。通過故障建模與仿真技術(shù)揭示了齒根裂紋與齒面剝落故障在振動響應(yīng)上的異同點。研究表明，齒根裂紋與齒面剝落故障在一個嚙合周期內(nèi)產(chǎn)生的振動沖擊響應(yīng)的數(shù)量及規(guī)律存在一定差異。本研究為齒輪系統(tǒng)局部損傷故障(剝落或裂紋)的精確診斷提供了理論基礎(chǔ)。